Tores et variétés abéliennes complexes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:EDP Sciences

作者:Olivier Debarre

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-01-01

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9782868834270

丛书系列:

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• Hodge theory
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《复数扭秤与阿贝尔簇》 导言 在数学的宏伟殿堂中，代数几何与复分析交织出令人神往的图景。而在这个交汇点上，《复数扭秤与阿贝尔簇》一书，如同一扇开启了新视角的门，为我们展现了这两个深刻领域的奇妙联系。这本书并非仅仅是对抽象概念的堆砌，而是以一种严谨而富有洞察力的方式，引导读者深入理解复数扭秤（complex tori）及其与阿贝尔簇（abelian varieties）之间密不可分的联系。本书旨在为那些在代数几何、复几何、代数群论以及相关领域有着浓厚兴趣的研究者和高年级学生提供一份详实而全面的指南。 第一部分：复数扭秤的构造与基本性质 本书的开篇，我们将首先聚焦于复数扭秤这一核心概念。扭秤，顾名思义，是基于“扭曲”或“伸展”的几何直觉，而“复数”则将其置于复数域的框架下。一个复数扭秤，其本质是一个由商群 $V/Lambda$ 定义的几何对象，其中 $V$ 是一个复向量空间（通常是 $mathbb{C}^g$），而 $Lambda$ 是一个格（lattice），即 $V$ 中一个离散的、生成性的子群。 我们首先会详细阐述复向量空间 $mathbb{C}^g$ 的拓扑和代数性质，为后续理解格的结构打下基础。格 $Lambda$ 的定义及其重要性质，例如其秩（rank）必须是 $2g$（当 $V = mathbb{C}^g$ 时），以及自由阿贝尔群的性质，都将得到详尽的讨论。 接下来，我们将探讨商空间 $V/Lambda$ 的拓扑结构。由于 $Lambda$ 是离散的，这个商空间将是一个紧致的、连通的、可微的流形。我们将证明，任何一个 $g$ 维的复数扭秤同构于 $(mathbb{R}^{2g}/mathbb{Z}^{2g}) imes mathbb{C}^{g'}$ 的某种形式，其中 $g+g' = g$。更重要的是，我们将证明，任何一个 $g$ 维复数扭秤都同构于 $mathbb{C}^g / Lambda$ 的形式，其中 $Lambda$ 是 $mathbb{C}^g$ 中的一个 $g$ 维格。 本书还将深入研究复数扭秤的解析结构。我们将讨论在扭秤上定义的复解析函数，并引入theta函数（theta functions）的概念。theta函数是复数扭秤上的一类特殊的周期函数，它们在理解扭秤的几何和代数结构中扮演着至关重要的角色。我们将研究theta函数的定义、性质、求值公式以及它们与扭秤的对应关系。 第二部分：从复数扭秤到阿贝尔簇 本书的核心部分，也是其最引人入胜之处，在于揭示复数扭秤与阿贝尔簇之间深刻的几何联系。阿贝尔簇，在代数几何的语境下，可以被看作是光滑的、连通的、代数的簇，其上定义了群运算，并且这个群运算是代数同态。 我们将从一种代数几何的视角出发，重新审视复数扭秤。对于一个复数扭秤 $T = V/Lambda$，我们将展示如何赋予它一个代数簇的结构。这通常通过“嵌入”到射影空间（projective space）中来实现。theta函数在这里再次扮演了关键角色。我们将引入theta函数与阿贝尔簇之间的对应关系，即每个theta函数都定义了一个从扭秤到射影空间的映射，这个映射的像恰好是一个阿贝尔簇。 本书将详细探讨这种对应关系的构造过程。我们将定义阿贝尔簇的“embedding”以及“polarization”的概念。极化（polarization）是对阿贝尔簇的一种额外结构，它赋予了阿贝尔簇更加丰富的几何性质，并且与theta函数的可商性（very ample）性质紧密相关。我们将证明，任何一个具有极化的阿贝尔簇都同构于一个由theta函数定义的扭秤。 反之，我们也证明了每个具有特定条件的复数扭秤都定义了一个阿贝尔簇。这个条件通常涉及到扭秤上的一个“主偏振”（principal polarization），它与theta函数的性质直接关联。我们将深入分析主偏振的定义和构造，并证明它与代数几何中已有的阿贝尔簇的定义是等价的。 第三部分：阿贝尔簇的进阶理论与应用 在建立起复数扭秤与阿贝尔簇的基本联系之后，本书将进一步拓展到阿贝尔簇的更深层次理论。我们将探讨阿贝尔簇的模空间（moduli space）的概念。模空间是一个非常重要的概念，它“收集”了具有特定性质的阿贝尔簇，并赋予了它们一个几何结构。对于低维的阿贝尔簇，其模空间已被充分研究，并展现出令人惊叹的几何和组合性质。 我们将讨论阿贝尔簇的同源理论（homology theory）和上同调理论（cohomology theory）。这些工具对于理解阿贝尔簇的结构和分类至关重要。我们将引入德拉姆上同调（de Rham cohomology）和戈多尔上同调（Gaudy cohomology）等概念，并分析它们与阿贝尔簇的代数结构之间的关系。 此外，本书还将触及阿贝尔簇在不同数学分支中的应用。例如，我们将讨论阿贝尔簇在数论中的作用，特别是它们与代数数论（algebraic number theory）的联系，如椭圆曲线（elliptic curves）作为一维阿贝尔簇在密码学中的应用。我们还会提及阿贝尔簇在代数几何中解决某些具体问题的能力，例如在超曲面（hypersurfaces）的分类和性质研究中的应用。 第四部分：专题与前沿研究 为了使本书内容更加充实和具有前瞻性，我们还将选取一些与复数扭秤和阿贝尔簇相关的专题进行深入探讨。这些专题可能包括： 高维阿贝尔簇的结构与分类： 深入研究更高维度阿贝尔簇的分类问题，例如如何利用极化和自同构群（automorphism group）来刻画和区分它们。 阿贝尔簇的子簇与同源关系： 研究阿贝尔簇内部的子簇结构，以及不同阿贝尔簇之间的同源关系，这对于理解阿贝尔簇的复杂网络至关重要。 theta函数的性质与应用： 进一步拓展theta函数的性质，包括其在表示论（representation theory）和组合学（combinatorics）中的应用。 代数群与阿贝尔簇： 探讨代数群（algebraic groups）的理论，以及阿贝尔簇作为一种特殊的代数群所展现出的独特性质。 theta函数在物理学中的一些隐秘联系： 尽管本书侧重于数学，但部分研究表明theta函数在某些物理模型中也扮演着意想不到的角色，如弦理论（string theory）等，我们会简要提及这些联系，以启发读者的思考。 结论 《复数扭秤与阿贝尔簇》旨在为读者提供一个系统而深刻的视角，去理解和掌握复数扭秤这一基础概念，并在此基础上揭示其与阿贝尔簇之间错综复杂的联系。本书将理论的严谨性与直观的几何解释相结合，力求使读者不仅能够掌握抽象的数学工具，更能体会到其中蕴含的美妙几何思想。通过对theta函数、极化、模空间等关键概念的深入剖析，本书将引导读者领略代数几何与复分析交汇之处的无限魅力，并为进一步的深入研究打下坚实的基础。本书期望成为研究者和学生们探索这一迷人领域的宝贵资源。

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这本书带给我的，更多的是一种对数学本质的敬畏感。它不是那种会告诉你“你应该知道什么”的书，而是让你“必须去理解为什么是这样”的书。我尝试着将其与我过去读过的几本代数几何的基础教材进行对比，我发现这本书的切入点更加聚焦于深层次的结构性问题，它似乎假设读者已经完全掌握了基础理论，直接将讨论推向了那些最核心、最微妙的内在联系。对于我而言，它就像是提供了一张通往高级数学殿堂的通行证，但这张证件的使用说明书异常晦涩。我从中体会到了一种“学术的纯粹性”，它不迎合市场，不简化复杂性，只是忠实地记录和阐述那些经过时间考验的、精妙的数学构造。阅读它，就像是与一位德高望重的导师进行了一场漫长而深沉的对话，虽然时常感到力不从心，但每当领悟到一处精妙的连接时，那种成就感是无与伦比的。

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我花了整整一个周末的时间试图啃下这本书的前三章，坦白说，每一次合上它，我都有种在攀登一座知识的珠穆朗玛峰的感觉。它绝不是那种轻松愉快的消遣读物，更像是给你一套精密的探矿工具，要求你必须具备扎实的预备知识才能开始挖掘。最让我印象深刻的是作者在论证过程中展现出的那种近乎偏执的严谨性，每一个步骤的推导都经过了反复的打磨，没有任何含糊不清的跳跃，对于那些习惯了“大体了解即可”的快餐式学习者来说，这无疑是一种煎熬，但对于真正想要掌握深层原理的人而言，这简直是福音。我不得不承认，我的笔记本页边空白处已经被各种圈点、问号和临时绘制的辅助图形占满了，这本书强迫你停下来，思考，反刍，甚至需要查阅其他辅助资料来理解某个特定的构造。它要求读者全神贯注，心无旁骛，这在充斥着各种干扰的现代社会中，反而成了一种难得的专注力训练。

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这本书的章节组织方式体现出一种独特的、非线性的美感。它不像传统的教材那样，层层递进，让你觉得每一步都是在为下一步做准备。相反，它更像是一张编织精密的网，不同的主题和结构相互参照，相互印证。你可能在前一章看到一个抽象的概念被提出，然后在十个章节之后，才在某个看似不相关的证明中发现它最初被埋下的伏笔，这种“回归与重逢”的阅读体验是十分新颖的。这种结构要求读者在阅读时必须时刻保持对全书宏观框架的记忆，否则很容易在细节的海洋中迷失方向，忘记了那些分支的理论最终指向的是哪一个核心目标。因此，我建议对这本书的读者，不妨准备一张大白纸，尝试自己绘制出各个章节之间的逻辑联系图，你会发现，作者构建的这个“复杂体”本身，就是一个令人赞叹的数学对象。这本书考验的不仅是你的计算能力，更是你的全局观和系统思维。

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这本书的封面设计简直是艺术品，那种深邃的蓝与典雅的金色交织在一起，仿佛在邀请你潜入一个充满未知的数学宇宙。我是在一家老式书店的角落里偶然发现它的，当时就被那种低调却又蕴含着强大知识气息的质感所吸引。拿到手中，纸张的触感温润而厚重，显然出版社在装帧上是下了大功夫的。阅读体验本身，就是一场视觉与智力的双重盛宴。虽然内容本身对于非专业人士来说无疑是极具挑战性的，但作者的排版和图示处理，却巧妙地引导着读者的目光，即便是那些复杂的结构图，也显得井井有条，绝不至于让人在初次接触时就望而却步。我尤其欣赏它在引言部分对该领域历史脉络的梳理，那种娓娓道来的叙事方式，让冰冷的代数概念也染上了一层人文的光辉。这本书绝不仅仅是一本教科书，它更像是一部精心制作的工艺品，值得每一个数学爱好者珍藏在书架的最显眼位置，时刻提醒自己，知识的美感可以达到怎样的高度。

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从排版和符号学的角度来看，这本书的处理方式是极具个人风格的。它没有完全屈服于现代学术论文的标准格式，反而保留了一些古典数学著作的优雅和克制。字体选择上，衬线体的应用使得长篇的公式推导读起来意外地流畅，不那么僵硬。然而，这种风格也带来了一些小小的困扰，比如某些关键定义的首字母缩写或者符号的引入，如果没有仔细阅读前言部分对符号系统的说明，很容易在后续的章节中产生混淆。我感觉作者似乎对符号的“美学一致性”看得比“绝对的易读性”更重一些，这使得初次接触的读者需要付出额外的精力去适应这套独特的符号宇宙。我个人倾向于认为这是一种勇敢的选择，它拒绝平庸，但代价是提高了入门的门槛。这本书的价值在于它提供了一个完整的、自洽的逻辑体系，但这个体系的入口，需要读者自己去仔细寻找和开启。

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前六章吧，认真过前面的可以作为一个复几何入门了。

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前六章吧，认真过前面的可以作为一个复几何入门了。

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前六章吧，认真过前面的可以作为一个复几何入门了。