Higher Topos Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Lurie, Jacob

出品人:

页数:960

译者:

出版时间:2009-7

价格:$ 135.60

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691140483

丛书系列:

图书标签:

数学
Topos Theory
Category Theory
Mathematics
Logic
Foundations
Abstract Algebra
Homotopy Theory
Theoretical Computer Science
Pure Mathematics
Algebraic Topology

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具体描述

Higher category theory is generally regarded as technical and forbidding, but part of it is considerably more tractable: the theory of infinity-categories, higher categories in which all higher morphisms are assumed to be invertible. In "Higher Topos Theory", Jacob Lurie presents the foundations of this theory, using the language of weak Kan complexes introduced by Boardman and Vogt, and shows how existing theorems in algebraic topology can be reformulated and generalized in the theory's new language. The result is a powerful theory with applications in many areas of mathematics. The book's first five chapters give an exposition of the theory of infinity-categories that emphasizes their role as a generalization of ordinary categories. Many of the fundamental ideas from classical category theory are generalized to the infinity-categorical setting, such as limits and colimits, adjoint functors, ind-objects and pro-objects, locally accessible and presentable categories, Grothendieck fibrations, presheaves, and Yoneda's lemma. A sixth chapter presents an infinity-categorical version of the theory of Grothendieck topoi, introducing the notion of an infinity-topos, an infinity-category that resembles the infinity-category of topological spaces in the sense that it satisfies certain axioms that codify some of the basic principles of algebraic topology. A seventh and final chapter presents applications that illustrate connections between the theory of higher topoi and ideas from classical topology.

几何、代数与空间的交织：泛函分析与拓扑学的新视野书名：Higher Topos Theory（高阶范畴论）简介：本书《Higher Topos Theory》深入探索了现代数学中一个至关重要且富有挑战性的交叉领域：高阶范畴论。这本书并非仅仅对经典范畴论进行简单的推广，而是着眼于构建一个能够统一处理几何、代数、拓扑乃至逻辑学中复杂结构的全新数学框架。全书以严谨的逻辑和丰富的例子，系统地阐述了从基础概念到前沿研究的多个核心议题。第一部分：基础的再构建——范畴论的提升本书首先回顾了经典范畴论的核心概念，如函子、自然变换和极限/余极限，但很快便将读者的视角提升到更高阶的层次。我们不再满足于对象之间的态射，而是深入探讨态射之间的“形变”——即“2-态射”和更高阶的结构。重点章节详细介绍了2-范畴（或称双范畴）的构建原理。这不仅包括基础的定义，如张量积、单位和交换律的弱化（即“同构”而非“相等”），还着重讨论了如何使用它们来描述各种代数结构之间的关系，例如群的范畴、环的范畴以及模的范畴。我们探讨了如何利用2-范畴来形式化描述张量积的结合性等代数性质，这对于理解非结合性代数结构至关重要。此外，高阶极限与余极限（Higher Limits and Colimits）的引入是本书的一大亮点。不同于经典范畴论中的极限，高阶极限考虑了对特定态射的“泛性”条件，这在几何语境下对应于如何构造更精细的“粘合”结构。我们通过具体的例子，如纤维积和共积在高阶范畴中的推广，展示了这些概念如何自然地从集合论的直觉中涌现出来。第二部分：概型论的范畴化——拓扑与几何的深度融合本书的核心贡献之一是将范畴论的工具应用于几何学的研究，特别是对概型论的重新审视。我们不再将概型视为集合论基础上的“拓扑空间加上结构层”，而是将其视为满足特定范畴论性质的对象。 Grothendieck 顶（Topos）的理论是本部分的基础。我们详细阐述了 Grothendieck 顶的定义，强调其作为“广义空间”的内在结构。重点讨论了如何通过斯通对偶（Stone Duality）的概念，将经典拓扑空间与其上的层（Sheaf）范畴联系起来。书中特别关注了经典拓扑空间与 Grothendieck 顶之间的关系，例如，经典拓扑空间上的层范畴正是“点化”了的顶。随后，我们引入了“域上”的顶（Topoi over a Base Topos）的概念，这允许我们将几何研究提升到更高的抽象层面。例如，在 $mathbb{C}$ 上的代数几何研究中，我们不再仅限于 $ ext{Set}$ 上的层，而是考虑在某个基础顶上的层，这为处理模空间和奇点提供了更强大的语言。我们还探讨了如何利用 Grothendieck 顶来研究非交换几何，通过将空间的概念转化为具有特定交换律的代数结构范畴。第三部分：逻辑与高阶结构——内含逻辑的视角高阶范畴论与数理逻辑之间存在深刻的对偶性。本书的第三部分致力于揭示这种联系，特别是通过研究内含逻辑（Internal Logic）。我们详细考察了笛卡尔闭范畴（Cartesian Closed Categories），这些范畴天然地具有 $lambda$-演算的结构，是实现函数空间的范畴化。在此基础上，我们引入了（$infty, 1$）-范畴和（$infty, infty$）-范畴的概念，这些是处理持续形变（Continuous Homotopies）和高阶同伦的必要工具。高阶同伦论（Higher Homotopy Theory）是本书高潮部分之一。我们通过 $infty$-范畴的语言，重新定义了同伦群和纤维丛。传统拓扑学中复杂的同伦构造，在高阶范畴的框架下变得更加结构化和可计算。我们论证了如何通过 $infty$-范畴的极限和余极限来描述纤维空间的构造，这为代数拓扑提供了一个更具代数性质的视角。最后，本书讨论了高阶范畴论在量子场论和弦理论中的潜在应用，特别是如何用高阶范畴来形式化描述作用量和路径积分中的积分路径形变，以及如何理解Borel构造的更高阶版本。读者对象与准备：本书面向具备扎实的范畴论基础（至少了解经典范畴论和基础拓扑学的读者）。对于代数几何、代数拓扑、数理逻辑以及理论物理的研究生和研究人员而言，本书提供了理解现代数学核心交叉点的关键工具和深刻见解。阅读本书需要对抽象代数和集合论有良好的掌握，并愿意投入精力来理解高阶结构的复杂性。本书旨在激发读者对数学结构本质的思考，超越既有的二维框架，进入多维度的几何与代数交织空间。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，我对《Higher Topos Theory》的阅读体验是充满挑战但又极其充实的。这本书的难度系数无疑是相当高的，它要求读者具备扎实的代数基础和对范畴论有深入的理解。然而，一旦跨越了最初的门槛，你就会发现作者构建的这个数学宇宙的宏伟壮丽。书中对“内在同调理论”和“高阶覆盖理论”的论述，展现了作者对数学物理交叉领域的深刻洞察力。与其他同类书籍相比，本书在处理非阿贝尔（non-abelian）高阶结构时表现出无与伦比的精确性。我尤其欣赏作者在证明过程中所使用的工具，它们大多是作者团队最新发展的成果，使得这本书具有了极强的时效性和前沿性。虽然某些证明细节可能需要查阅外部文献进行辅助理解，但主干思想的清晰传达是无可挑剔的。它更像是一部研究手册，而非入门教材，适合那些已经准备好迎接智力挑战的资深研究者。

评分☆☆☆☆☆

这部《Higher Topos Theory》的出版，无疑在数学界投下了一颗重磅炸弹。它所涉及的理论深度，几乎触及了数学结构描述的极限。我印象最深的是作者对“高阶逻辑在范畴论中的编码”那一部分的阐述。这不仅仅是关于数学形式系统的讨论，更是对“真理”和“存在性”在更高层次空间中如何被定义的哲学探讨。书中对“$infty$-群”概念的引入及其在分类空间中的应用，为研究复杂的拓扑不变量打开了大门。作者的写作风格非常内敛且高度技术化，每一个词语的选择都经过了深思熟虑，旨在最大限度地提高信息的密度和精确度。对于希望站在理论前沿，并试图开发新工具来解决现有难题的数学家而言，这本书提供了一个强大的起点和丰富的灵感源泉。它的价值在于提供了一种全新的语言，去描述那些传统工具无法触及的复杂性。

评分☆☆☆☆☆

翻开《Higher Topos Theory》这本书，我立刻被其深邃的数学思想和严谨的逻辑结构所吸引。这本书不仅仅是在罗列定义和定理，更是在引导读者进行一种全新的数学思考方式。作者对“拓扑”概念的重新诠释，通过高阶范畴的语言，为我们理解复杂空间的内涵提供了全新的视角。书中的章节安排极具匠心，从基础的单形复形（simplicial complexes）出发，逐步过渡到更抽象的$infty$-范畴，整个过程如抽丝剥茧般自然流畅。我特别关注了关于“更高维度的同伦论”那几章，作者对这些前沿概念的阐述，避免了过度简化的风险，同时又保证了概念的可消化性。对我来说，这本书最大的价值在于它提供了一个将拓扑、逻辑和代数结构统一起来的强大框架。阅读过程中，我常常需要放慢速度，反复咀嚼作者的论证，以确保完全吸收了其中的精髓。毫无疑问，这本书将成为未来数十年内该领域研究人员的基石读物。

评分☆☆☆☆☆

这本名为《Higher Topos Theory》的书籍，对于任何一个希望深入理解现代代数几何和范畴论前沿的学者来说，都是一本不容错过的珍贵资源。作者在书中对高阶拓扑理论的阐述，不仅详尽而且极富洞察力。书中对基本概念，比如诸如“高阶范畴”的定义和性质，进行了极其细致的梳理，使得即便是初次接触这一复杂领域的读者也能逐步建立起扎实的理论基础。特别是作者在讲解如何通过构造特定的范畴来模拟拓扑空间的高阶结构时，所采用的类比和实例非常精妙，让人能够清晰地把握抽象定义背后的几何直觉。书中大量的图示和计算推导步骤，都展现了作者在教学上的匠心独运，避免了纯粹符号推导带来的晦涩感。我个人尤其欣赏作者在处理层论（sheaf theory）与高阶拓扑之间的联系时所展现的清晰逻辑，这对于理解更深层次的理论结构至关重要。总体而言，这是一部既有理论深度，又兼顾可读性的杰作，是深入该领域的必备参考书。

评分☆☆☆☆☆

阅读《Higher Topos Theory》的过程，更像是一场精神上的探险。这本书的结构，从宏观的理论蓝图到微观的定理证明，都展现出一种令人敬畏的数学美感。我发现作者在介绍新的结构时，总是能巧妙地将它与已知的经典理论（如格罗滕迪克的拓扑理论）进行对比和提升，这极大地帮助了我定位新知识在整个数学知识图谱中的位置。特别是关于“高阶拓扑理论在量子场论中的潜在应用”的章节，虽然只是蜻蜓点水，但其暗示的联系令人兴奋，为跨学科的研究提供了新的方向。这本书的排版和符号系统设计得非常出色，尽管内容本身极其复杂，但良好的视觉呈现确实减轻了阅读的负担。总而言之，这是一部需要反复研读、边做笔记才能真正消化的巨著，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维范式的转变，强烈推荐给所有对数学底层结构有终极探究欲望的读者。

评分☆☆☆☆☆