降阶法及其在偏微分方程数值解中的应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Zhizhong Sun

出品人:

页数:415

译者:

出版时间:2009-6

价格:89.00元

装帧:

isbn号码:9787030245465

丛书系列:

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• 降阶法
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深度解析：数值分析在现代科学与工程中的基石 本书深入探讨了数值分析这一数学分支的核心概念、方法及其在解决实际工程与科学问题中的广泛应用。我们聚焦于如何将复杂的连续数学问题转化为计算机可以处理的离散形式，并通过高效、可靠的算法进行求解。全书结构严谨，内容涵盖从基础理论到前沿应用的多个层面，旨在为读者建立起坚实的理论基础和实用的计算能力。 第一部分：基础理论与误差分析 本部分是整个数值分析领域的基石。我们首先回顾了在数值计算中至关重要的实数系统与浮点运算。详细阐述了计算机如何表示和处理实数，重点分析了截断误差和舍入误差的来源、量化及其对计算结果稳定性的影响。理解误差的性质是进行可靠数值模拟的前提。 随后，我们深入探讨了函数逼近的核心技术。多项式插值是基础，包括拉格朗日插值和牛顿插值法，分析了它们在节点选择上的局限性，并引出更为平滑和实用的样条插值，特别是三次样条，如何有效地在保持连续性的同时进行局部控制。在函数逼近的广义框架下，本书还详细讨论了最小二乘逼近，这对于处理大量实验数据和拟合模型至关重要，区分了等权最小二乘与加权最小二乘。 紧接着，我们转向数值积分（或称数值微分）。牛顿-科茨公式（牛顿-柯特斯公式）是系统介绍的起点，从梯形法则和辛普森法则出发，展示了复化公式如何提升精度。更进一步，我们讲解了高斯求积公式的原理，强调其在给定节点数下能达到的最高代数精度，这是精确数值积分的典范。 第二部分：线性代数方程组的求解 线性代数方程组是科学计算中最常遇到的问题之一。本书将求解方法分为直接法和迭代法两大类。 直接法的讲解从基础的高斯消元法开始，详细剖析了其操作步骤、计算复杂度和数值稳定性问题。为了克服直接消元法中可能出现的病态问题，我们系统地介绍了矩阵分解技术，包括LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）以及LDLᵀ分解。这些分解方法是高效求解大规模线性系统的核心。此外，本书还专门探讨了矩阵的条件数，作为衡量线性系统稳定性的重要指标，并讨论了病态系统带来的挑战。 迭代法则针对超大规模稀疏系统，提供了节约内存和计算资源的替代方案。我们从最基础的雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代入手，分析了它们的收敛条件。随后，过渡到更快速和实用的加速迭代方法，例如SOR（逐次超松弛）迭代，并简要介绍了求解大型稀疏系统时采用的Krylov子空间方法的基本思想，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES）的适用性背景。 第三部分：常微分方程（ODE）的数值解法 常微分方程是描述动态系统的核心数学工具。本部分专注于如何将初值问题（IVP）转化为可计算的数值序列。 我们首先介绍了最简单但至关重要的单步法，包括欧拉方法（前向和后向），并对其局部截断误差和全局误差进行了严格分析。为了提高精度，我们引入了更高阶的方法，特别是龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，重点分析了经典RK4的结构和性能。 理解方法的稳定性和区域是ODE求解的关键。本书详细讨论了稳定性区域的概念，并区分了绝对稳定和相对稳定的方程。在此基础上，我们转向多步法，包括Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法，分析了它们与单步法的权衡，并介绍了如何通过局部截断误差指导步长自适应控制，确保在保证精度的同时实现计算效率。对于刚性（Stiff）微分方程组，我们强调了隐式方法（如后向欧拉法）在保证稳定性和收敛速度上的重要性。 第四部分：非线性方程与特征值问题 求解代数方程和矩阵特征值是数值分析的另一重要领域。 对于单变量非线性方程 $f(x)=0$，本书系统比较了区间收敛法（如二分法）的安全性和区间开放法（如牛顿法和割线法）的快速收敛性。重点分析了牛顿法在不同初始猜测下的收敛速度和局限性。 在矩阵特征值问题方面，我们专注于寻找矩阵的最大（或最小）特征值和对应的特征向量。幂迭代法是理解这一问题的起点，并通过其推广形式——反幂迭代法，展示了如何有效地求解特定特征值。对于更一般的全特征值求解，我们介绍了QR算法的基本思想，特别是通过Householder变换和Givens旋转将矩阵转化为 Hessenberg 或 Tridiagonal 形式，以加速QR迭代过程。 第五部分：偏微分方程（PDE）的数值方法概述 虽然本书的核心聚焦于通用计算技术，但我们提供了一个坚实的视角来理解偏微分方程（PDE）的离散化基础。我们讨论了将二阶椭圆型、抛物型和双曲型方程的连续问题转化为可以在计算机上求解的代数问题的基本思路。 重点在于网格生成、边界条件的离散化，以及如何将空间导数替换为有限差分近似。我们解释了如何通过泰勒展开来推导不同阶数的差分格式（如中心差分、前向差分），并讨论了这些近似如何影响最终离散系统的稳定性和一致性。这部分内容为读者在后续专业领域学习更高级的有限元法（FEM）或有限体积法（FVM）打下了必要的离散化思维基础。 全书的编写风格强调数学推导的严密性和算法实现的直观性，辅以丰富的算例和对计算复杂度的分析，旨在培养读者不仅会使用数值方法，更能理解其内在机制和局限性的高级分析能力。

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这本书的封面设计简洁大气，黑白灰的配色显得十分专业和沉稳，一看就知道是面向严肃的科研和工程人员的。我对这个领域的研究很感兴趣，特别是偏微分方程的数值解法，这几乎是现代工程和物理学中不可或缺的工具。从目录上看，作者对“降阶法”这个主题的覆盖非常全面，从理论基础的推导到实际算法的实现，都有详细的论述。特别吸引我的是其中关于稳定性和收敛性分析的部分，这通常是理论研究中最具挑战性也最有价值的环节。我期待书中能有对不同算子（如抛物型、双曲型）应用降阶法时的差异性讨论，以及如何选择最合适的降阶策略来平衡计算成本和解的精度。这本书的篇幅看起来相当可观，相信对于深度钻研这个领域的人来说，绝对是一本不可多得的参考手册。我已经迫不及待想翻阅其中的章节，看看作者是如何将抽象的数学概念转化为可以实际操作的数值算法的。

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这本书的排版和印刷质量简直无可挑剔，这在专业技术书籍中是难能可贵的。每一条公式的推导都清晰可见，符号的使用高度一致，这极大地降低了阅读的认知负担。对于初次接触降阶思想的读者来说，清晰的数学表达至关重要。我注意到书中对某些核心定理的论述非常细致，似乎是经过多次打磨的。我个人在学习这类方法时，最大的障碍往往在于对“投影算子”的理解不够透彻。我希望这本书能够用一种更直观的方式，比如结合几何直观或者物理背景，来解释降维操作的合理性，而不是单纯依赖于泛函分析的工具。如果能提供一些与经典方法（如伽辽金法）的性能对比数据，尤其是关于计算复杂度（FLOPs）的量化比较，那就更完美了。这本书的厚度足以证明其内容的深度和广度，我相信它能成为研究生阶段的经典教材。

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这本书的结构安排显得非常有条理，似乎是从最基础的线性代数背景逐步过渡到高阶非线性系统的处理。对于已经掌握了基础数值分析的读者来说，这样的组织方式能让人快速进入核心技术层面。我特别感兴趣的是书中对“非对称”或“强非线性”偏微分方程应用降阶法的讨论。很多降阶方法在处理线性或弱非线性问题时效果显著，但在面对涉及激波、奇点或强耦合的复杂系统时，其稳定性常常受到挑战。我希望作者能深入探讨如何通过对投影基的动态更新或采用更高级的投影策略来克服这些困难。如果书中附带了算法的伪代码或者至少是关键步骤的逻辑流程图，那就更便于读者将其转化为自己的程序模块。这本书散发着一种严谨的学术气息，承诺为读者打开一扇深入理解数值计算瓶颈的窗户。

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作为一名长期从事计算流体力学（CFD）的工程师，我对求解复杂几何区域上的非定常偏微分方程组有着迫切的需求。市面上很多教科书往往侧重于经典的有限差分或有限元方法，而对于更前沿的、旨在降低维度和计算复杂度的技术介绍得比较零散。这本书的出现，似乎填补了这一空白。我尤其关注它在处理高维问题时的效率提升潜力。如果书中能够详细阐述降阶法在处理涉及时间-空间耦合的复杂系统时的具体流程，比如如何有效处理边界条件和不连续解的捕捉，那将是极大的福音。我希望它不仅仅停留在数学证明层面，而是能提供大量的、具有实际工程背景的案例分析，例如在湍流模型求解或者电磁场模拟中的应用实例。这本书的出版，无疑为我们这些需要在有限资源下追求更高计算效率的实践者，提供了一种新的强力武器。

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我注意到这本书的作者似乎在某一特定应用领域有深厚的积累，从其引言中透露出对现有数值方法局限性的深刻洞察。这本书的价值可能不仅在于介绍降阶法本身，更在于提供了一种“批判性”的视角来看待数值模拟的未来方向。我特别期待书中能探讨如何将机器学习或数据驱动的方法与传统的降阶框架相结合，实现自适应的阶数选择。毕竟，在实际问题中，问题的复杂性往往是随时间和空间变化的。如果作者能提供关于如何构建高效的“基函数”或“模态空间”的经验法则或启发式方法，那就太棒了。这本书的气质是那种经得起时间考验的学术专著，它不追逐时髦的术语，而是专注于解决问题的根本难点——即如何用更少的计算代价获得可信赖的结果。

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