Lectures on the theory of maxima and minima of functions of several variables pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Harris Hancock

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1902-01-01

价格:USD 16.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781429703178

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 变分法
• 多元函数
• 最优化
• 数学分析
• 高等数学
• 经典著作
• 数学理论
• 函数极值
• 数学史

《多元函数极值理论讲义》内容概述 本书旨在全面、深入地探讨多元函数极值理论的各个方面，为读者提供坚实的数学基础和清晰的分析思路。全书内容围绕函数在多维空间中的局部和全局行为展开，重点剖析了如何确定函数的最大值和最小值，并详细阐述了实现这些极值的必要和充分条件。 第一部分：预备知识与基础概念的奠定 本书伊始，我们首先回顾并系统化了读者在单变量微积分中学到的关键概念，并将其自然地推广至 $mathbb{R}^n$ 空间。这部分内容是理解后续复杂理论的基石。 我们从多变量函数的拓扑性质入手，详细讨论了 $mathbb{R}^n$ 上的距离、开集、闭集、紧集（即有界闭集）等基本概念。特别强调了紧集上的连续函数性质（如Weierstrass极值定理的推广），这为全局极值问题的理论成立提供了基础保障。 随后，转向偏导数与微分的概念。清晰区分了偏导数的定义与方向导数的几何意义，并系统地引入了全微分的概念。全微分的引入是连接局部线性近似与函数性质的关键桥梁。我们详细分析了高阶偏导数，并利用Schwarz引理确立了二阶混合偏导数相等（在连续条件下）的理论依据。 第二部分：无约束优化问题的局部极值分析 本部分是全书的核心，专注于分析函数在未受任何限制条件下的局部极值点。 首先，我们建立了费马定理（Fermat's Theorem）在多元函数中的推广。确定了函数取得局部极值的必要条件：所有一阶偏导数为零的点，即驻点（Critical Points）。我们详细探讨了驻点的寻找方法和意义，指出驻点是极值、鞍点或稳定点（inflection points）的候选点。 接下来，我们引入了二阶条件——利用海森矩阵（Hessian Matrix）来判别驻点的性质。我们详细推导了海森矩阵的定义及其与二阶泰勒展开式之间的关系。判别驻点是局部极大值、局部极小值还是鞍点的关键在于分析海森矩阵的正定性、负定性或不定性。本书提供了判断矩阵定性的多种等价方法，包括： 1. 主子式判别法：通过计算主对角线上子矩阵的行列式符号来判断。 2. 特征值分析法：将正定性与所有特征值均为正联系起来。 3. 二次型分析：将极值条件转化为对相应二次型的分析。 对于海森矩阵不定或半定的情况，本书进行了深入探讨，解释了为何二阶条件不足以提供定论，并指导读者回溯至更高阶导数或使用其他分析方法。 第三部分：无约束优化问题的全局优化与特殊函数类 在确立了局部极值的判定方法后，本部分将目光投向全局最优解的求解，并关注特殊函数类别的处理。 我们讨论了函数在特定区域上的极值问题。结合紧集上的连续函数性质，我们阐明了全局极值一定在边界点或内部驻点（局部极值点）中取得。这部分内容为实际应用中的边界搜索提供了理论依据。 此外，本书专门辟章讨论了凸函数与凹函数在多元空间中的性质。凸函数的定义（使用Jensen不等式或几何定义）被详细阐述。一个至关重要的结论是：对于可微的凸函数，任何局部极小值点即为全局极小值点。我们利用这一特性，为一些特殊函数类（如二次型函数）的全局极值求解提供了高效途径。 第四部分：带约束优化理论——拉格朗日乘数法 现实中的优化问题往往伴随着等式约束或不等式约束。本书系统地介绍了处理等式约束问题的标准工具——拉格朗日乘数法。 首先，我们明确了问题的形式（最小化或最大化 $f(mathbf{x})$ 且满足 $g(mathbf{x}) = c$）。拉格朗日函数的构造原理被详细剖析，即通过引入拉格朗日乘子 $lambda$，将约束优化问题转化为一个无约束优化问题（求解新的系统方程组）。 我们推导了求解必要条件的拉格朗日定理，即 $ abla f(mathbf{x}) = lambda abla g(mathbf{x})$ 加上约束条件本身。本书详细分析了如何求解这个包含 $n+1$ 个变量（$n$ 个自变量和 $lambda$）的方程组。 在分析拉格朗日乘子的经济学或物理意义后，我们进一步讨论了二阶条件在带约束优化中的应用，即如何通过分析受限Hessian矩阵（或Bordered Hessian矩阵）的定性来判断候选点的类型（局部最大值或最小值）。 第五部分：不等式约束的扩展——KKT条件简介 对于包含不等式约束（如 $h(mathbf{x}) leq d$）的问题，本书引入了卡罗什-库恩-塔克（Karush-Kuhn-Tucker, KKT）条件作为推广。 我们首先解释了如何将不等式约束转化为等式约束（引入松弛变量），但更重要的是，直接推导了KKT条件的四个核心组成部分： 1. 平稳性条件：梯度线性组合为零。 2. 原约束条件：等式和不等式约束必须满足。 3. 互补松弛性（Complementary Slackness）：约束函数与拉格朗日乘子必须乘积为零。 4. 可行性：拉格朗日乘子满足特定的非负性要求（对应于不等式约束的乘子）。 本书强调KKT条件是解决实际工程和经济学优化问题的强大工具，虽然其推导依赖于特定的规范性条件（如约束规范），但其在判断候选解上的普适性得到了充分论证。 全书通过大量的理论阐述、详细的计算步骤演示和覆盖不同维度的例题，力求使读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解多元函数极值背后的数学结构和几何直觉。

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这本书的书名给我一种非常经典的数学教材的印象，那种厚重、严谨的风格扑面而来。我是在寻找关于多元函数极值理论的深入探讨时偶然发现它的。从目录的编排来看，作者显然是想为读者构建一个坚实的基础，从最基本的偏导数、梯度概念开始，逐步过渡到拉格朗日乘数法，再到更复杂的二阶条件和鞍点分析。我特别期待它在处理非凸优化问题时的切入点，因为很多入门级的教材往往只是浅尝辄止地提及了局部最优与全局最优的区别。如果这本书能用清晰的几何直觉来辅助抽象的代数推导，那就太棒了。我希望它不仅仅是公式的堆砌，而是能真正教会读者如何“看透”多维空间中的山峰和山谷。对于那些希望从应用数学或理论物理转向更高阶优化方法的研究者来说，这样的基础奠定至关重要。我打算用它来系统性地复习和加深我对 Hessian 矩阵性质及其在最优化中的作用的理解。

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这本书的标题听起来非常学术化，让我想起大学时代那些让我头疼却又受益匪浅的专业课教材。我推测其难度是偏高的，可能需要读者对实分析和线性代数有扎实的预备知识。我特别想知道作者是如何处理无约束优化问题的全局收敛性分析的。许多算法（如梯度下降法）的收敛性证明往往依赖于一些很强的假设，比如函数是强凸的。如果这本书能够提供更通用的框架，比如利用李雅普诺夫函数或其他能量泛函的概念来论证动态系统的稳定性与最优性的联系，那对于学习控制理论的读者来说，将是一个宝藏。我也好奇它是否涵盖了更现代的“次梯度”方法，用以处理那些不可微的目标函数，这在机器学习领域应用极其广泛。这种对经典理论的全面覆盖和与现代应用的隐性连接，是衡量一本教材价值的重要标准。

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作为一名软件工程师，我接触优化问题通常是通过现成的库函数，但深究其背后的数学原理时，常常感到力不从心。我希望这本书能够弥补我在理论深度上的不足。我对其中关于“KKT 条件”的部分抱有极高的期望。我猜想，这本书不会仅仅罗列出 KKT 条件的必要性，更可能深入探讨其充分性条件，并讨论在何种函数空间和约束条件下这些条件能够保证找到全局最优解，而非仅仅是局部稳定点。此外，如果书中能包含一些历史性的洞察，比如不同数学学派在解决极值问题上的思想演变，那将大大增加阅读的趣味性。我希望它提供的不仅仅是“怎么做”，更是“为什么这样做在数学上是合理的”的深刻解释。如果能辅以一些巧妙的例子，展示特定约束（比如线性约束或等式约束）如何简化或复杂化问题，那就更完美了。

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老实说，我购买这本书是抱着一种“朝圣”的心态，希望能找到一本真正从数学哲学的高度来阐述极值理论的著作。我希望它能深入挖掘“存在性”和“唯一性”这些概念背后的深刻含义。比如，在处理多变量时的“鞍点”问题时，这本书是如何区分一个点是局部极小值、局部极大值，还是一个鞍点，尤其是当海森矩阵的特征值符号分布复杂时，它是否提供了一种系统性的判别流程？我更希望看到的是对“变分法”基础的简要回顾，因为极值理论很多时候是变分法在特定场景下的简化应用。如果能在全书的叙述中保持一种高度的逻辑自洽性和数学美感，即使内容晦涩，也令人心甘情愿地去钻研。我期待它能像一座灯塔，照亮我对高维空间几何直觉的模糊地带。

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拿到这本书的时候，我首先被它那种近乎“老派”的排版风格吸引住了。字体选择和页边距的处理，都带着一种沉淀了时间的味道，让人感觉这不是一本赶时髦的新书，而是一部经过时间检验的经典。内容上，我注意到它似乎非常注重从拓扑学的角度来审视极值问题，这一点在现代的许多工程导向的教材中并不常见。例如，在讨论函数的下确界和最小化存在性时，它会不会引入紧集上的连续函数性质（Weierstrass 定理的推广）？如果它能详细阐述这些背后的拓扑保证，那么对于希望从事理论研究的读者来说，价值就远超一般的计算手册了。我尤其关注它对“退化”情况的处理，比如 Hessian 矩阵不满秩时，如何通过提升维度或者引入其他约束来恢复分析的有效性。这种对边界条件和奇异情况的细致考察，往往是区分优秀教材和普通教材的关键。

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