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出版者:科学出版社

作者:

出品人:

页数:219 页

译者:

出版时间:2008年

价格:19.0

装帧:平装

isbn号码:9787870302052

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
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• 概率统计
• 数学
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数学思维的精深探索：严谨、应用与洞察 图书名称：数理逻辑与离散结构导论 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数理逻辑和离散结构基础，帮助读者建立严谨的数学思维体系，并掌握支撑现代计算机科学、信息论及理论物理等领域的核心概念。本书内容涵盖了从基础的集合论与证明方法，到复杂的命题演算、谓词演算，再到图论、组合数学以及代数结构的基础探索。 第一部分：逻辑基石与证明的艺术 本部分聚焦于数学推理的本质，为后续所有抽象结构的理解奠定坚实的基础。我们相信，有效的思考始于清晰的表达和可靠的推理。 第一章：集合论基础与形式化语言 本章首先回顾集合论的基本概念，包括集合的定义、子集、并集、交集、补集运算，以及笛卡尔积。重点在于朴素集合论与公理化集合论（ZFC的基本思想）的初步对比，以理解现代数学的根基。我们深入探讨关系（等价关系、偏序关系）与函数的精确定义，并强调其在数学建模中的作用。 更进一步，本章引入了数学证明的核心技巧。读者将系统学习直接证明法、反证法、逆否命题法、数学归纳法（包括强归纳法和良基归纳法）。我们通过大量的实例，剖析如何将直观的数学猜想到严密的逻辑论证转化为清晰的文本。例如，如何严谨地证明无理数的存在性，或证明一个特定函数的连续性。 第二章：命题演算与逻辑推理 本章是形式逻辑的核心。我们从自然语言中的模糊性出发，引入命题和联结词（$ eg, land, lor, o, leftrightarrow$）。随后，我们将这些符号组织成逻辑公式。 本章的重点在于真值表的构建和等价性的判定。读者将学习如何判断一个公式是否是重言式（Tautology）、矛盾式（Contradiction）或可满足式（Satisfiable）。我们详尽讲解逻辑蕴涵的概念，并探讨如何利用德摩根定律、吸收律等逻辑等价律对复杂公式进行简化和转换。 最后，本章过渡到推理规则的建立，如分离规则（Modus Ponens）和假言三段论。我们将这些规则形式化，展示如何从一组前提中逻辑地推导出结论，为后续的谓词演算做铺垫。 第三章：谓词演算与量词的威力 命题演算的局限性在于无法处理涉及“所有”或“存在”的陈述。本章引入谓词、个体常量、变量和量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）。 我们将学习如何将自然语言语句准确地翻译成一阶谓词逻辑公式，反之亦然。本章详述量词的辖域、自由/约束变量的概念，以及如何在不同的逻辑结构中对量词进行嵌套和操作。尤其重要的是，本章会深入探讨量词与否定词结合时的等价转换，这是高级数学证明中必须掌握的技能。我们将分析诸如“并非所有A都是B”等复杂句式的精确逻辑形式。 第二部分：离散结构的建模与分析 在建立了严谨的逻辑基础后，本书转向离散数学的核心领域——描述和分析非连续的、可计数的结构。 第四章：基础组合数学：计数原理的深化 本章侧重于精确计数的方法论，这是概率论、算法分析乃至统计推断的基础。我们系统回顾加法原理和乘法原理，并将其扩展到更复杂的场景。 核心内容包括：排列（有序选择）和组合（无序选择）的精确公式及其在不同约束条件下的应用（如重复选择、限制性选择）。本章将深入探讨二项式定理和多项式定理，并展示其与集合划分之间的深刻联系。 此外，本章引入鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其推广形式，展示它在证明存在性问题中的强大威力，即使无需明确构造出实例。本章还首次触及生成函数（Generating Functions）的初步概念，作为一种强大的计数工具，为后续的递推关系求解做准备。 第五章：图论基础：网络与关系的可视化 图论是描述系统连接性的强大语言。本章从图的基本定义入手，包括顶点、边、无向图、有向图、多重图和简单图。我们详细探讨图的关键属性，如度数、路径、环路、连通性等。 本章重点分析几种重要的图类型：完全图、二分图、正则图和完全二分图。随后，我们将研究图的遍历问题，包括欧拉路径/回路和哈密顿路径/回路存在的充要条件（如欧拉定理、狄拉克定理的介绍）。 此外，本书深入探讨树结构，作为无环连通图的特性。我们将学习生成树的概念，并介绍最小生成树算法（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）的基本思想，展示如何利用图论解决优化问题。 第六章：代数结构初探：从群到环的桥梁 本部分将逻辑和组合结构提升到更抽象的代数层面。本章介绍代数结构的正式定义，侧重于群论的基础。 我们定义代数系统，引入二元运算的性质（封闭性、结合律、交换律）。随后，我们将重点阐述群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。读者将通过实例（如整数加法群、非零有理数乘法群，以及矩阵的特定子集）来理解群的结构。 本章详述子群、陪集、同态和同构的概念。重点在于拉格朗日定理的理解及其在有限群分析中的应用。通过这些抽象工具，读者将能更深刻地理解对称性、变换以及离散系统的内在规律。 总结与展望 本书的结构设计旨在引导读者完成一个螺旋上升的学习过程：从最基础的逻辑表达能力开始，逐步过渡到结构化的计数技巧和网络建模（离散结构），最终触及抽象代数的优雅性。它不仅仅是一本介绍概念的教材，更是一本关于如何思考、如何证明的训练手册。掌握本书内容，意味着读者将拥有在复杂系统中识别模式、构建严谨论证、并运用抽象工具解决实际问题的能力。本书为进入高等抽象数学、算法设计与理论计算机科学的学习做好了充分的思维准备。

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这本《概率论与数理统计学习辅导》的出版，无疑是为我们这些在数理统计的海洋中摸索的学子们投下了一颗定心丸。它的内容编排逻辑清晰，从最基础的概率公理化入手，循序渐进地搭建起整个理论框架。我特别欣赏它在概念阐释上的深度和广度，不像有些教材那样只是干巴巴地给出定义，而是通过大量的实例和图示，将那些抽象的概率分布、随机过程等概念变得生动形象起来。比如，在讲解中心极限定理时，它不仅给出了严谨的数学证明，还结合了实际生活中的例子，让我这个初学者也能领会到其背后的统计学思想。对于那些在期末复习时感到无从下手的同学来说，这本书简直就是及时的雨露，里面的习题解析详尽到令人发指，每一个步骤的推导都清晰可见，让人恍然大悟。

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这本辅导书在习题的选择和难度梯度设置上，体现出了极高的专业水准。它并非简单地罗列教材上的例题，而是精选了大量具有代表性和启发性的考研真题以及竞赛试题的变体。这些题目并非孤立存在，而是被巧妙地组织起来，围绕着一个核心的统计学问题展开，层层递进，引导读者从基础的概率计算，过渡到复杂的统计建模与推断。我发现，即使是那些看似简单的题目，其解题过程也蕴含着重要的统计学思想，这本书的详细解答，就像是为我打开了一扇通往“为什么这么做”的大门，而不是仅仅停留在“怎么做”的层面。这种注重思想而非技巧的教学方式，极大地提升了我的解决复杂问题的能力。

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市面上不乏各种概率论辅导资料，但真正能做到深入浅出、兼顾严谨性与实用性的却凤毛麟角。这本书的独特之处在于它对“建模思维”的强调。统计学本质上是一种用数学语言描述和分析不确定性世界的方法论，而这本书恰恰很好地培养了我们建立这种思维模式的能力。它在讲解如何选择合适的统计模型（比如回归模型、方差分析模型）时，会穿插讲解这些模型的假设条件和适用边界，这对于我们未来从事任何需要数据支撑的领域都是至关重要的基础训练。它不仅仅是教科书的“翻译版”，更是一本培养未来数据科学家的“思维训练手册”，读完之后，我对概率论和数理统计的认识上升到了一个新的维度。

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翻开这本书，最让我眼前一亮的是它在“数理统计”部分的处理方式。很多辅导书往往将重点过多地放在计算技巧上，而忽略了统计推断背后的哲学思想和应用背景。然而，这本辅导书却巧妙地平衡了理论的深度和应用的实践性。它对假设检验、置信区间的讲解，不仅仅是公式的堆砌，更是对不同检验方法适用条件的深入剖析，这对于我们未来从事数据分析工作至关重要。我记得有一次我在做实验数据处理时遇到了一个棘手的方差齐性检验问题，翻阅这本书，里面关于“方差分析的原理与限制”那一节，让我茅塞顿开，找到了解决问题的关键思路。这本书的作者显然对教学方法有着深刻的理解，深知学生在学习统计推断时容易陷入的误区，并在关键节点设置了“陷阱警示”，非常贴心。

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坦率地说，我以前对概率论一直存在一种畏惧心理，觉得它充满了冷冰冰的数学符号和令人头疼的积分。直到我接触到这本《学习辅导》，这种恐惧感才逐渐消散。这本书的语言风格非常亲切，没有那种高高在上的学者腔调，更像是经验丰富的前辈在耐心地手把手教导。尤其是对于随机变量的矩、特征函数等核心概念的讲解，作者采用了类比和直观解释相结合的方式，成功地将这些高深的概念“翻译”成了我们可以理解的白话。我尤其喜欢它在每一章节末尾设置的“思维导图”和“易错点辨析”，这极大地帮助我梳理了知识结构，避免了知识点混淆，为我高效复习提供了极大的便利。

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