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出版者:延边大学

作者:刘德广

出品人:

页数:398 页

译者:

出版时间:2008年

价格:18.0

装帧:平装

isbn号码:9787875634240

丛书系列:

图书标签:

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图书简介：《高等代数精讲与习题解析》 面向对象： 重点大学数学及相关专业本科生、考研（硕士研究生入学考试）数学（高数/一/二）的准备者、数学教师及对高等代数有深入学习需求的自学者。 本书定位： 本书并非基础入门教材的简单复述，而是定位于对高等代数核心概念的深度挖掘、理论体系的系统梳理以及复杂计算技巧的精妙展示。它旨在帮助读者跨越“会用”与“理解本质”之间的鸿沟，构建起坚实而灵活的代数思维框架。 --- 第一部分：理论基石的深度重构（Abstract Foundations） 本书的开篇，将聚焦于构建严谨的理论基础，这部分内容是后续所有高级应用与证明的根基。 第一章：集合论与逻辑基础的回顾与深化 集合的运算与函数性质的严谨定义： 不仅限于初级的并、交、补，更深入探讨幂集、笛卡尔积在高维空间结构中的作用。重点阐述函数（映射）的满射、单射、双射的判别及其在构造同构关系中的核心地位。 初等数理逻辑的实践应用： 详细解析“蕴含”（$Rightarrow$）和“等价”（$Leftrightarrow$）的逻辑结构，特别强调反证法、对立命题和数学归纳法在代数结构证明中的精确应用场景与规范格式。 第二章：群论基础：代数结构的心脏 本章是本书的重点之一，旨在将抽象的“群”概念转化为可操作的工具。 群的公理体系的详细剖析： 深入讨论封闭性、结合律、单位元和逆元存在的内在联系。 重要群结构的分类与举例： 循环群： 讨论生成元、子群的唯一性，及其在$mathbb{Z}_n$（模n加法群）中的具体表现。 对称群 ($S_n$) 与二面体群 ($D_n$)： 重点分析置换的乘法、循环分解以及奇偶性的判断，这是理解群作用的基础。 子群与陪集： 详细推导拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的证明及其推论（如 $a^{|G|}=e$）。陪集的划分性质及其在建立商群中的桥梁作用。 同态与同构： 清晰界定两者区别，证明同态的基本性质（如核与像的性质），并引入第一同构定理，揭示结构之间的映射关系。 第三章：环与域：运算的扩展与限制 在群的基础上引入第二个二元运算，构建更丰富的代数环境。 环的定义与基本性质： 区分交换环、单位环。探讨零因子和积分域（整环）的概念。 理想（Ideal）的引入： 将子群的概念推广到环中，区分左理想、右理想和双边理想。重点讨论主理想（由单个元素生成的理想）及其重要性。 域（Field）： 探讨域作为“没有零因子的交换环”的意义，理解它如何保证除法运算的普遍性，并举例说明有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的地位。 --- 第二部分：线性代数的深入解析（The Geometry of Vector Spaces） 本部分将线代的核心工具——向量空间——与抽象代数的结构紧密结合，注重理论的几何直观与计算的精确性。 第四章：向量空间与线性变换的精细结构 向量空间的严格定义： 强调标量域（Field）的选择对空间性质的影响。 基（Basis）与维数（Dimension）： 证明任意向量空间的基都具有相同的“大小”（维度），理解维数是衡量空间复杂度的本质度量。 线性变换的表示： 详细解析线性变换在不同基下的矩阵表示如何通过相似变换联系起来，强调矩阵是观察变换的“窗口”，而非变换本身。 第五章：特征值、特征向量与对角化 本章是应用层面的核心，涉及对动力系统和微分方程的分析基础。 特征值的求解与多重性： 区分代数重数与几何重数，并证明代数重数 $ge$ 几何重数。 对角化理论的完整推导： 阐述一个矩阵可对角化的充分必要条件（特征向量线性无关的数量），并讨论若尔当标准型（Jordan Canonical Form）在不可对角化情况下的地位和求法，作为对角化的终极扩展。 矩阵函数： 基于对角化方法，介绍矩阵指数 $e^A$ 和矩阵函数 $f(A)$ 的计算，这是深入物理和工程问题的关键步骤。 第六章：内积空间与正交性 内积的定义与性质： 探讨内积如何引入长度、角度和距离的概念，将线性代数从代数结构提升到几何度量层面。 正交基的构造： 详细讲解施密特（Gram-Schmidt）正交化过程的每一步细节，及其在求解最小二乘问题中的应用。 对称矩阵的谱定理： 证明实对称矩阵的特征值必为实数，且存在正交基，这是傅里叶分析、主成分分析（PCA）的理论基石。 --- 第三部分：多项式与域扩张的桥梁（Polynomials and Field Extensions） 本部分连接了代数与分析，是伽罗瓦理论（Galois Theory）的预备知识。 第七章：多项式的代数结构 带系数的多项式环 $F[x]$： 讨论多项式环的带余除法、最大公约式（使用欧几里得算法）的求解。 多项式的根与因子分解： 深入探讨有理根定理、爱isenstein判别法在判断不可约性时的强大作用。 多项式的基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）的代数证明思路探讨（不深入复分析证明，侧重于结论的应用）。 第八章：域的扩张与代数数 域扩张的基本概念： 讨论 $[E:F]$（扩张次数）的意义，以及 $F(alpha)$ 这一构造的唯一性。 代数元与超越元： 严格区分有限次方程的根（代数数）和超越数（如 $pi, e$），并论证 $sqrt{2}$ 和 $i$ 是代数数。 有限域的构建： 简要介绍如何利用不可约多项式在 $mathbb{F}_p[x]$ 中构造有限域 $mathbb{F}_{p^n}$，为密码学和编码理论打下基础。 --- 特色与优势 1. 注重“为什么”而非“是什么”： 每引入一个定理，都伴随着对其产生背景和逻辑必然性的深入剖析，避免知识点的孤立。 2. 计算范例的深度： 对于如若尔当标准型的求法、高次方程根的判别等计算难度较大的内容，提供了详尽的、分步的、易于模仿的范例。 3. 章节间的内在联系： 明确指出群论如何为向量空间的线性变换提供抽象视角，以及域扩张如何与多项式的根的性质紧密相关，构建起一个统一的代数体系。 4. 严谨性与可读性的平衡： 采用专业术语，但通过清晰的论述和丰富的几何直观辅助理解，确保了内容的高等性，同时对自学者友好。

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从实际操作层面上来看，这本书对不同能力层次的学习者都表现出了极大的包容性和友好度。对于基础较为薄弱的同学，它在基础题型的解析中，会用非常详尽的代数推导过程，确保每一个小步骤都没有遗漏，保证了“吃得下”；而对于追求高分的尖子生，书中也毫不吝啬地展示了许多巧妙的、更简洁的“奇技淫巧”——当然，这里的“奇技”指的是那些需要更高层次数学直觉才能发现的优化路径。这种梯次分明的难度设置和讲解详略的把控，让这本书真正做到了“因材施教”。我发现，即便是同一个知识点，针对不同难度的例题，作者采用的切入角度都会有所侧重，这说明编者对高中数学考试中对知识点考察的深度和广度有着非常精准的把握，绝非泛泛而谈。

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这本书的装帧设计简直是教科书级别的典范，那种朴实而又不失专业感的封面，拿在手里就让人感到一股严谨的学术气息扑面而来。我特别喜欢它内页的排版，字体大小和行间距的设置都非常考究，长时间阅读下来眼睛也不会觉得特别疲劳，这一点对于我们这些需要长时间对着数学题的“战士”来说，简直是福音。而且，纸张的质量也相当不错，不是那种一折就容易起皱的劣质纸，即使用铅笔在上面演算草稿，也不会有墨水洇开的烦恼。最让我惊喜的是，它在章节内容的组织上，采用了非常清晰的逻辑递进方式，从最基础的概念回顾，到中档题型的剖析，再到压轴难题的攻坚策略，层层深入，像是在铺设一条通往高分的阶梯，每一步都走得踏实而有力。这种结构上的精心打磨，无疑大大提升了学习的效率和阅读的愉悦感，让人感觉不是在啃一本枯燥的教辅书，而是在跟一位经验丰富、循循善诱的老师进行面对面的交流。

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这本书给我带来的最大价值，在于它重塑了我对“解题”这件事情的认知。它教会我的不是“怎么做一道题”，而是“在面对一道数学题时应该如何思考”。书中的许多分析不仅仅停留在数学公式的层面，还融入了一些关于时间管理和考试策略的隐性建议。例如，在讲解一道需要大量计算的复杂题目时，作者会附带提示，在实际考试中遇到这种情况应该如何取舍，是全力以赴求稳，还是应该果断舍弃以保证后面的简单题不失分。这种将解题能力与实战经验相结合的叙事风格，让这本书的实用性大大超越了一般的纯理论指导。它更像是一本“数学思维的养成手册”，引导读者从一个被动的解题执行者，转变为一个主动的、有策略的数学问题解决者。

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说实话，我原本以为市面上这类解题技巧的书籍大多是千篇一律的“套路大全”，但这本书彻底颠覆了我的看法。它似乎更注重培养一种灵活的、举一反三的能力，而不是死记硬背固定的解题模板。在讲解某个特定知识点时，它会引用来自不同章节甚至不同模块的例题来进行横向对比，这种跨领域的联想训练，极大地拓宽了我的数学视野。比如，在解析三角函数与数列结合的题目时，作者巧妙地引入了函数与方程的思想作为桥梁，这种融会贯通的讲解方式，让人豁然开朗，原来数学的各个分支并非孤立存在，而是相互呼应、互相支撑的。这种全景式的教学视角，对我建立起一个完整的、系统化的数学知识体系，起到了至关重要的作用，感觉自己对整个高中数学的“版图”有了更清晰的认识。

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这本书在解题思路的讲解上，展现出了一种令人耳目一新的高度和深度。它没有停留在仅仅给出标准答案和简单步骤的层面，而是煞费苦心地去剖析了每一种题型背后的数学思想本质。比如，在处理那些看似复杂、需要多种知识点交叉运用的综合题时，作者会耐心地拆解出隐藏在题目背后的核心模型，并指出应该优先调动哪一类公式和定理。我尤其欣赏它对“错误示范”的分析环节，书中会列举一些常见的解题误区，并详细说明为什么那样想是错的，这种“反向教学”的方法，比单纯的正面指导更加深入人心，它帮助我修正了许多根深蒂固的思维定势。这种对解题“内功心法”的强调，而不是仅仅停留在招式层面的堆砌，让我在面对从未见过的陌生题型时，也多了一份从容和自信，不再是茫然无措地乱试一通，而是能迅速锁定问题的关键突破口。

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