常微分方程解法与建模应用选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:208

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出版时间:2009-6

价格:45.00元

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isbn号码:9787030248367

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好的，这是一份针对“常微分方程解法与建模应用选讲”之外，可能涵盖的数学、工程或科学领域图书的详细简介，字数控制在1500字左右。 --- 图书名称： 《高维概率空间中的随机过程理论与金融应用》 图书简介 本书深入探讨了现代概率论理论在描述复杂动态系统，尤其是在金融工程和量化投资领域中的核心应用。全书结构严谨，内容兼顾理论深度与实际操作性，旨在为数学、统计学、物理学以及金融工程专业的学生和研究人员提供一套系统的随机过程分析工具。 第一部分：概率论基础与测度论回顾 在深入研究随机过程之前，本书首先对现代概率论的基石——勒贝格-斯蒂尔切斯积分和概率测度论进行了详尽的回顾与拓展。我们假设读者已具备微积分和基础线性代数知识，但将重点强化测度论的抽象概念，特别关注$sigma$-代数、可测函数以及鞅测度（Radon-Nikodym 导数）在信息流理论中的角色。 详细阐述了条件期望的测度论定义，这是构建一切随机过程的基础。通过构造和证明一系列关于条件期望的收敛定理，例如蒙特卡洛方法的收敛性依赖的鞅收敛定理，为后续的动态系统分析奠定了坚实的测度论基础。 第二部分：经典随机过程的深入分析 本部分聚焦于最核心的几种随机过程，并将其分析方法推向深入。 布朗运动（Wiener 过程）的精细结构： 不仅限于定义和独立增量性质，本书详细探讨了布朗运动的二次变差、Hölder 连续性、以及无穷可微性的缺乏。重点分析了伊藤积分（Itô Integral）的构造过程，包括其作为黎曼积分在随机空间上的推广，以及它与经典黎曼-斯蒂尔切斯积分的根本区别。详细论证了伊藤等长式（Itô Isometry）及其在计算随机积分方差中的关键作用。 随机微分方程（SDEs）的解法： 围绕伊藤引理（Itô's Lemma），本书系统性地推导了处理随机非线性系统的微分工具。与常微分方程（ODE）的解析解法不同，SDE的求解往往依赖于概率方法的构造。我们将详述解的存在性与唯一性定理（如Picard迭代在随机空间中的推广），并着重介绍欧拉-马尔可夫方法和Milstein 方法等高阶离散化数值求解技术，特别是在处理具有爆炸或坍缩解的SDE时，这些数值技巧的适用性和局限性。 鞅与最优停止问题： 鞅理论是金融数学的灵魂。本书深入探讨了上鞅、下鞅和鞅的性质，并将其应用于市场定价与对冲理论。核心内容包括Doob-Meyer分解，它将任意局部鞅分解为连续鞅部分和可积过程的预测过程。在此基础上，我们引入最优停止问题，利用可选停止定理（Optional Stopping Theorem），结合粘性解（Viscosity Solutions）的概念，求解在不确定性下何时执行一项金融衍生品或期权交易的最优决策。 第三部分：连续时间马尔可夫链与跳跃过程 本部分将分析时间参数连续、状态空间离散的随机过程，这对于描述金融市场中的“跳跃风险”至关重要。 连续时间马尔可夫链（CTMC）： 详细介绍无穷小生成元（Q 矩阵）的性质，以及如何通过Kolmogorov 前向和后向微分方程来求解系统状态随时间演化的概率。重点分析了首达时间（First Passage Time）的分布，这在可靠性分析和寿命模型中有广泛应用。 复合泊松过程与Lévy过程： 引入Lévy过程的概念，作为更一般的、具有独立且平稳增量的随机过程，它是布朗运动和泊松过程的自然推广。特别关注复合泊松过程，用于建模突发事件（如市场崩盘或极端交易量）的影响，并讨论如何使用指数平滑技术来估计这些过程的参数。 第四部分：随机过程在金融建模中的高级应用 本部分是理论与实践的结合点，展示如何利用前述工具解决实际的金融工程问题。 随机波动率模型： 区别于传统的Black-Scholes模型中波动率的恒定假设，本书详细介绍了基于随机过程的波动率演化模型，如Heston模型（通过一个平方根过程描述波动率的均值回归）和SABR模型（用于描述利率市场的局部随机波动）。我们将推导这些模型的偏微分方程（PDE）形式，并探讨如何利用有限差分法（与常微分方程中的有限差分法有所区别，需要考虑随机项的处理）来数值求解这些两维或更高维的金融衍生品定价方程。 信用风险建模： 利用跳过程来描述违约事件。我们将介绍Jarrow-Turnbull模型，其中交易对手的信用状况由一个连续时间马尔可在不同的状态（如AAA, BBB, Default）之间转移，并探讨如何计算在不同信用评级下的债券生存概率和违约相关性。 量化交易中的最优执行： 引入随机控制理论的初步概念，将最优执行问题建模为一个随机优化问题，目标是在最小化市场冲击成本的同时完成大额订单。这通常需要求解一个涉及随机项的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程，本书将提供该类方程的迭代求解策略概述。 结论： 本书内容深度超越了基础的常微分方程解法，聚焦于处理具有内在不确定性和时间依赖性的动态系统。它为读者提供了一套完备的概率工具箱，以应对现代科学和金融领域中更为复杂、非确定的挑战。全书附有大量的MATLAB/Python 仿真案例，以帮助读者直观理解抽象的随机现象。

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这本书给我的整体感受是，它成功地搭建了一座坚实的桥梁，连接了抽象的数学世界与具体的工程现实。它不仅教会了读者“如何解”，更深入地探讨了“为什么这样解”以及“解的意义何在”。作者的行文风格介于一位严谨的学者和一位耐心的导师之间，既有学术的深度，又不失教育的温度。对于那些渴望系统、深入地掌握常微分方程求解技术，并希望将其转化为解决实际问题的能力的读者来说，这本册子无疑是一份值得珍藏的宝贵资源。它不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的同行，在旁边细心地为你演示如何将数学的“利剑”磨砺得更加锋利，从而能够劈开现实世界中的各种复杂难题。

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翻阅内页，我立刻被其内容编排的逻辑性所折服。它绝非仅仅罗列公式和定理的“工具书”，而更像是一部精心规划的学术“探险地图”。从基础的常微分方程求解技巧，如分离变量法、积分因子法，到更高级的摄动法、相似解法，每一章节的衔接都处理得恰到好处，前后呼应，形成了一个严密的知识体系。尤其值得称赞的是，作者在讲解每种解法时，都会深入剖析其适用范围和潜在的局限性。这对于一个希望真正掌握这门工具而非仅仅会套用公式的人来说，是至关重要的。我特别欣赏它在论证某些定理时所采用的详尽的代数推导过程，每一个步骤都清晰明了，没有跳跃感，这使得即便是需要进行严谨数学推导的章节，读起来也充满了探索的乐趣，让人忍不住想亲手演算一遍来验证其中的精妙。

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这本书的“应用建模”部分，无疑是其最大的亮点，也是它区别于许多同类教材的核心竞争力所在。许多教科书在介绍完数学工具后便戛然而止，留给读者一个“学了有什么用”的困惑。但此书却花费了大量的篇幅，将前面学到的理论工具“武装”起来，应用于多个工程和科学领域。我印象最深的是其中关于非线性振动系统稳定性的分析案例，作者并未满足于定性描述，而是巧妙地引入了相平面分析和李雅普诺夫稳定性理论，并通过对实际物理模型（比如桥梁的共振问题）的模拟，直观地展示了数学建模如何帮助工程师预见并规避灾难性后果。这种理论与实践的无缝对接，极大地激发了我将所学知识应用到我自己的研究方向中的热情，让我体会到了数学作为一种强大“语言”的魅力所在。

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从排版和印刷质量来看，出版社显然投入了不小的精力。纸张的质感上乘，墨色浓淡适中，即使长时间在台灯下阅读，眼睛的疲劳感也明显减轻。更重要的是，书中的数学符号和公式的清晰度达到了专业级别。在处理那些复杂的积分符号、上下标以及希腊字母时，处理得一丝不苟，极大地避免了阅读中因符号辨识不清而产生的挫败感。许多教科书在公式对齐和间距上处理得比较随意，但这本却显得格外规整，体现出一种对知识的尊重和对读者的体贴。这对于需要经常查阅和引用书中公式的读者而言，是一个非常重要的细节加分项。

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这本书的封面设计着实吸引眼球，那种深邃的蓝色调配上简洁的字体，透着一股严谨又不失活泼的气息。我原本是抱着试一试的心态翻开的，毕竟市面上讲这类数学分支的书籍汗牛充栋，真正能让人眼前一亮的实在不多。然而，这本书在开篇就展现出不同凡响的叙事功力。作者似乎深谙如何将枯燥的数学概念“人格化”，用生动的比喻和贴近生活的实例来引入复杂的微分方程理论。例如，在介绍线性常微分方程组的解法时，它没有直接抛出那些让人望而生畏的矩阵运算，而是先构建了一个关于人口动态变化的场景，让读者自然而然地感受到方程组在描述真实世界系统中的必要性和强大。这种循序渐进、寓教于乐的处理方式，极大地降低了初学者的入门门槛，让原本感觉遥不可及的理论知识变得触手可及，阅读体验堪称流畅。

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