普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2

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作者:课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 编
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:2011-1
价格:5.95元
装帧:
isbn号码:9787107202568
丛书系列:
图书标签:
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具体描述

《代数几何基础与解析探索》 (本书不含《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》所涵盖的全部或任何部分内容) --- 前言 本书旨在为对高等数学前沿领域怀有浓厚兴趣的自学者、高校低年级学生及中学数学教师提供一套系统、深入且富有启发性的代数与几何基础知识体系。我们摒弃了传统高中教材中侧重于计算技巧和机械化应用的模式,转而聚焦于数学概念的内在逻辑、结构美感以及不同数学分支之间的深层联系。全书内容力求在保持严谨性的同时,最大程度地激发读者的探索欲,引导他们从更宏观和抽象的视角理解数学的本质。 第一部分:结构之美——抽象代数初探 本部分脱离了具体的数值计算,深入探讨了数学对象之间的关系与操作的内在规律。 第一章:集合论的严谨基石 本章首先回顾了集合的基本概念,但着重于更高级的集合操作和函数性质的刻画。 1. 集合的分类与构造: 深入讨论可数集与不可数集的概念,引入良序原理及其在集合构造中的应用。重点分析康托尔对角线论证的精妙之处,理解其在证明无穷集合性质时的强大威力。 2. 关系的深度剖析: 详细阐述等价关系与偏序关系。等价关系如何将一个集合“划分”成互不相交的子集(商集的概念引入),以及偏序关系如何构建出有序结构(如格论的雏形)。 3. 函数的性质与范畴: 不仅限于单射、满射、双射,更引入了函数的复合性质、逆函数的唯一性与存在性,并初步接触函数空间(作为向量空间的前导概念)。 第二章:群论的开端:对称与变换 本章将代数结构的探讨提升到“群”这一核心概念。 1. 群的定义与基本性质: 严格定义群的四个公理,并通过实例(如整数加法群、非零有理数乘法群)巩固理解。着重分析单位元、逆元的唯一性证明。 2. 子群与陪集: 子群的判定定理是本章重点。陪集的引入是为了理解拉格朗日定理的铺垫,它揭示了有限群的阶与子群的阶之间的必然联系。 3. 同态与同构: 这是理解结构保持变换的关键。同态保持结构,而同构意味着两个群在结构上是“完全相同”的,只是元素标签不同。介绍核(Kernel)和像(Image)的概念,它们是连接群结构与同态映射的桥梁。 第二部分:空间之维——解析几何与拓扑的萌芽 本部分从欧几里得几何出发,利用代数工具描述空间形态,并为现代微分几何和拓扑学打下基础。 第三章:向量空间的基础框架 本章将二维和三维空间的概念推广到任意维度。 1. 向量空间的公理化定义: 严格列出向量空间对加法和标量乘法的封闭性与运算规则。讲解域(Field)的概念,认识实数域 $mathbb{R}$ 上的向量空间与其他域(如复数域 $mathbb{C}$)上向量空间的区别。 2. 线性组合、跨越集与线性无关性: 这些是描述向量空间内部结构的核心工具。线性无关性的判定方法及其与矩阵的关系(暂不深入矩阵运算)。 3. 基与维度: 维度是向量空间的“大小”的度量。本章证明了任何向量空间的基的数量是固定的,这是理解空间本质的关键定理。 第四章:从欧氏空间到度量结构 本章引入距离和角度的概念,使代数结构带有几何直觉。 1. 内积空间: 内积(点积的推广)的定义及其性质。它允许我们定义长度(范数)和正交性。 2. 正交基与施密特过程: 学习如何将一组基转换为正交基,这极大地简化了投影和坐标变换的计算。 3. 仿射空间的概念: 区分向量空间(原点固定)和仿射空间(没有固定的原点,只关注点之间的相对位置),为理解几何变换提供更广阔的视角。 第三部分:演化与极限——微积分的严谨重构 本部分不侧重于基础的求导积分运算,而是从分析学的角度审视极限、连续性与收敛性。 第五章:极限的ε-δ语言 抛弃直观的“无限接近”,使用严格的数学语言定义极限。 1. 数列极限的严格定义: 深入理解 $epsilon-N$ 语言,这是微积分大厦的基石。通过反证法和构造性证明来掌握其应用。 2. 函数极限的 $epsilon-delta$ 刻画: 详细分析如何用 $epsilon$ 和 $delta$ 来控制自变量和函数值的变化范围,确保极限的精确性。 3. 连续性的深入讨论: 连续性的 $epsilon-delta$ 定义,并探讨连续函数的性质(如有界性定理、介值定理)的严格证明,这些证明过程深刻体现了实数系统的完备性。 第六章:级数与收敛性的判定 本章关注无限求和的有效性。 1. 级数的基本概念: 从序列到级数,理解部分和与收敛的概念。 2. 收敛性的判定标准: 重点分析比值判别法、根值判别法和积分判别法,理解它们适用的范围和背后的数学原理。 3. 幂级数及其展开: 幂级数是连接代数与函数分析的桥梁。讨论幂级数的收敛半径与收敛区间,理解函数如何被无限多项式精确地表示出来。 结语 本书的每一章都试图引导读者超越计算层面,触及数学概念的抽象本质和结构逻辑。我们相信,对这些基础概念的深刻理解,是未来在代数拓扑、微分几何、泛函分析等领域进行深造的坚实阶梯。 --- 适用读者对象: 对数学理论有较高追求,希望从基础代数和几何中挖掘更深层次结构,或准备进入大学学习更高级数学的读者。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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我必须承认,一开始我对《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》的期望值并不高,因为我一直觉得数学学习是一件非常枯燥的事情。但是,当我真正开始阅读这本书时,我的看法彻底改变了。这本书在内容设计上,充分考虑了高中生的认知特点和学习规律。它将原本可能显得枯燥的数学概念,通过生动形象的语言和精美的插图,变得易于理解和接受。特别是在介绍一些抽象的数学概念时,比如复数的几何意义,书中就用了大量的几何图形和向量运算来解释,让我能够直观地感受到数学的几何美感。书中的习题设计也非常有梯度,从基础的巩固练习,到中等难度的应用题,再到一些具有挑战性的探究性题目,都涵盖得非常全面。我喜欢那种需要我结合多个知识点,运用不同解题策略才能解决的题目,这能够很好地锻炼我的逻辑思维能力和解决问题的能力。而且,书中还提供了很多与现实生活紧密相关的数学应用案例,让我看到了数学在各个领域的广泛应用,从而激发了我对数学学习的兴趣。这本书让我觉得,学习数学不再是一件痛苦的事情,而是一次充满发现和乐趣的旅程。

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我一直认为,数学学习最关键的一点在于“理解”,而《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》恰恰在这方面做得非常出色。它不会简单地罗列公式和定理,而是会深入剖析每一个概念的数学内涵和逻辑基础。比如,在讲解数列的极限时,书中用了大量的篇幅去解释“无穷”这个概念的哲学含义,以及epsilon-delta语言的严谨性,这让我从根本上理解了极限的本质,而不是仅仅停留在计算层面。这种严谨的数学思维训练,对我日后的学习大有裨益。书中的例题也并非千篇一律,而是涵盖了各种不同的题型和解题思路,而且每一道例题都给出了非常详尽的解析,不仅提供了答案,更重要的是指出了关键的思考步骤和易错点。这对于我这样的学生来说,非常有帮助,我可以从中学习到不同角度的解题技巧,并且避免犯一些不必要的错误。此外,书中还设置了“思考与探索”板块,鼓励我们主动去质疑,去发掘新的数学结论,这充分发挥了我们作为学习者的主动性。我记得有一次,我在解答一个关于定积分的应用题时,遇到了一个之前没有接触过的模型,通过翻阅书中的相关内容,并结合“思考与探索”中的一些提示,我最终找到了解决问题的思路,这个过程让我非常有成就感。

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在我看来,《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》在提升学生的数学素养方面,有着独到的见解和实践。它不仅仅关注知识的传授,更注重培养学生科学的思维方式和解决问题的能力。书中的概念引入方式非常自然,常常会从生活中的现象或历史上的故事入手,让读者在潜移默化中理解数学的本质。比如,在讲解概率与统计时,书中就用到了大量的实际案例,如抽样调查、数据分析等,让我深刻认识到数学在现代社会中的重要作用。书中的例题讲解也是非常细致,不仅提供了详细的解题步骤,更重要的是对解题思路进行了深入的剖析,让读者能够真正理解“为什么”这样解,而不是仅仅停留在“怎么”解。我特别喜欢书中的“数学文化”和“历史足迹”栏目,它们让我看到了数学发展的悠久历史和丰富的文化内涵,也让我对数学产生了更深的敬意。通过这些栏目,我了解到许多伟大的数学家是如何在探索中克服困难,最终取得辉煌成就的,这对我也是一种极大的激励。这本书真正做到了“授人以鱼不如授人以渔”,它不仅仅教会了我数学知识,更重要的是教会了我如何去学习数学,如何去享受学习数学的乐趣。

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在我看来,《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》是一本非常优秀的数学教材,它不仅在知识的深度和广度上都做得非常出色,更重要的是,它在培养学生的数学思维和学习能力方面,有着独到的方法。书中对每一个数学概念的讲解都力求清晰透彻,并且注重概念之间的内在联系,让我能够建立起一个完整的数学知识体系。例如,在学习导数时,书中不仅介绍了导数的定义和计算,还深入阐述了导数作为“变化率”的本质,以及它在物理、经济等领域的广泛应用,这让我深刻理解了导数的意义和价值。书中的例题设计也十分精巧,既有基础的巩固练习,也有具有挑战性的综合题,能够满足不同层次学生的学习需求。而且,每一道例题都配有详细的解答和思路分析,帮助我掌握解题技巧,提高解题效率。我特别喜欢书中那些鼓励学生独立思考和探索的题目,它们能够有效地锻炼我的逻辑思维能力和创新能力。总而言之,这本书为我打开了通往更深层次数学世界的大门,让我对数学这门学科产生了浓厚的兴趣,并且增强了我学好数学的信心。

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拿到这本《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》,我首先被它精美的排版和清晰的结构所吸引。书中的每一章都围绕一个核心主题展开,内容组织得非常合理,层次分明。在概念的引入上,作者非常注重从具象到抽象的过渡,常常会结合生活中的例子或者生动的比喻,让抽象的数学概念变得易于理解。例如,在讲解极限的ε-δ定义时,书中就用了“无限逼近”的直观描述,并配以精美的动态图示,让我能够清晰地把握其核心思想。书中的例题也是精心挑选的,不仅涵盖了各种典型的题型,而且解题过程非常详细,思路清晰,并对关键步骤进行了强调,这对我理解和掌握解题方法非常有帮助。我尤其欣赏书中一些“变式题”的设计,它们能够帮助我从不同角度思考问题,并学会灵活运用所学知识。此外,书中还设置了“数学与生活”、“数学与科技”等栏目,将数学知识与现实世界紧密联系起来,让我深刻体会到数学在现代社会中的重要作用,也极大地激发了我对数学学习的兴趣。这本书的质量真的非常高,让我对高中数学的学习充满了信心。

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这本书给我最深刻的印象,莫过于它在概念理解上的深度挖掘。许多其他教材可能会直接给出某些定理的结论,然后要求学生记忆和应用,但《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》却不同。它会花费大量篇幅去阐释一个概念的由来、发展和本质,通过历史的演变、不同数学家的贡献,以及数学思想的哲学内涵,来帮助读者构建起对数学概念的深刻认知。我记得在学习导数部分时,作者不仅仅介绍了导数的定义和计算方法,更重要的是详细解释了“变化率”这一核心思想的来源,从古希腊的芝诺悖论,到牛顿和莱布尼茨的微积分革命,整个过程的梳理,让我真正理解了导数是用来描述事物变化趋势的强大工具。书中的图示和示意图也非常直观,尤其是那些用来解释极限和连续性的图形,将抽象的数学概念具象化,让我在脑海中形成清晰的画面感。此外,它还鼓励读者进行独立思考和探索,很多题目并非直接给出答案,而是引导读者去发现规律、归纳方法。例如,在练习求函数极值时,书中提供了一些需要通过分析函数图像、结合导数性质来求解的题目,这极大地锻炼了我的逻辑推理能力和解决复杂问题的能力。这种教学方法,与其说是传授知识,不如说是培养一种科学的思维方式和探索精神,让我不仅仅是为了考试而学习数学,更是出于对数学本身的好奇和热爱。

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坦白说,一开始我以为这本《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》会是一本枯燥乏味的教科书,毕竟“选修”两个字本身就带着一丝挑战和难度。然而,翻开之后,我才发现自己的想法完全错了。这本书在保持学术严谨性的同时,非常注重对学生学习兴趣的培养。它的语言风格非常活泼,偶尔还会穿插一些幽默的表达,让学习过程变得轻松愉快。更让我惊喜的是,书中引入了许多与现代科技和日常生活紧密相关的数学应用案例。例如,在介绍函数与方程时,作者就用到了图象识别、数据分析等方面的例子,让我看到数学在人工智能、大数据时代所扮演的关键角色。这些案例的引入,不仅让我明白学习这些数学知识的现实意义,也激发了我将数学知识应用于解决实际问题的热情。书中的习题设计也非常有创意,很多题目都设计成开放性的问题,鼓励学生从不同的角度去思考,去寻找多种解题途径,甚至是提出自己的解决方案。我特别喜欢那些需要学生结合所学知识,去分析和解决实际问题的综合性题目,这些题目能够很好地检验我对知识的掌握程度,并且锻炼我的综合运用能力。这本书就像一位循循善诱的老师,它不仅教会了我数学知识,更重要的是,它教会了我如何去热爱数学,如何去享受学习数学的乐趣。

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《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》给我的整体感觉是,它不仅仅是一本教科书,更像是一位经验丰富的数学导师,能够循序渐进地引导我深入理解数学世界的奥秘。在概念的讲解上,它非常注重逻辑的严谨性和思维的深度,绝不会简单地给出结论,而是会层层剥茧,揭示出概念产生的背景、核心思想以及推导过程。比如,在学习排列组合时,书中就通过不同的情境设置,如分步计数原理、分类计数原理等,让我们在解决实际问题的过程中自然而然地掌握了这些计数方法。书中的例题数量充足,而且类型多样,覆盖了从基础运算到复杂应用等各种题型,并且每一道例题都给出了详细的解析,不仅包括了具体的解题步骤,更重要的是对解题思路和关键知识点进行了深入的阐述,让我能够举一反三。我尤其喜欢书中提供的一些“变式练习”,它们能够帮助我从不同的角度去理解同一个知识点,并锻炼我灵活运用所学知识的能力。此外,书中还穿插了一些与数学史相关的介绍,让我了解了数学发展的脉络以及许多伟大的数学家的故事,这不仅增加了我的知识面,也让我对数学产生了更深的敬意。

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这本《普通高中课程教材数学选修1-2》在编排设计上,给我的感觉是既系统又灵活。它按照数学知识的逻辑体系,层层递进地展开教学内容,从基础概念到高级应用,都做到条理清晰,脉络分明。但同时,它也并非死板地按照线性顺序进行,而是会在不同章节之间建立起联系,引导读者看到数学知识的内在关联性。例如,在学习向量与复数时,书中巧妙地将两者联系起来,展示了复数作为一种特殊的向量在几何运算中的优势,这让我深刻体会到数学知识的统一性和融通性。书中的习题设计也极其考究,既有巩固基础知识的练习,也有培养创新思维的探究性题目。我尤其欣赏那些需要学生结合多个知识点进行综合分析的题目,它们能够有效地检验我对知识的掌握程度,并且锻炼我的解题能力。书中还提供了一些高质量的数学竞赛题作为选修内容,这些题目虽然难度较大,但却能极大地激发我的学习兴趣,并且让我对数学的魅力有了更深的认识。总的来说,这本书不仅是一本优秀的教材,更是一位能够引导我深入探索数学世界的良师益友,它让我感受到了数学的博大精深,也培养了我对数学的浓厚兴趣。

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拿到这本《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2》,我第一感觉就是它沉甸甸的,厚实的纸张和精美的印刷质量都让人对即将开始的学习旅程充满期待。翻开第一页,就仿佛踏入了一个全新的数学世界。书中的概念讲解清晰明了,逻辑性非常强,从最基础的定义出发,循序渐进地引导读者去理解那些看似复杂抽象的数学思想。尤其是关于复数的引入,作者并没有直接给出繁琐的计算规则,而是通过历史的视角,解释了复数产生的必然性和其在解决实际问题中的重要性,这种“知其然,更知其所以然”的教学方式,让我受益匪浅。我尤其喜欢书中穿插的“数学家的故事”和“文化视野”栏目,它们不仅仅是课本的附属品,更是激发我对数学产生浓厚兴趣的催化剂。例如,介绍高斯发现代数基本定理的历程,让我看到了数学家们不懈探索和严谨求证的精神,也让我明白,每一个伟大的数学成就背后,都凝聚着无数次的思考与尝试。这本书的编排设计也非常人性化,大量的例题和习题覆盖了从基础巩固到能力提升的各个层面,并且难易程度梯度分明,让我可以根据自己的学习情况进行调整。每一个例题都给出了详细的解题步骤和思路分析,让我不仅学会了如何解题,更重要的是学会了思考问题的方法。习题的设计也非常巧妙,很多题目都融入了实际生活中的应用场景,让我感受到数学与生活的紧密联系,不再觉得数学只是冰冷的符号和公式。整体而言,这本教材为我打开了通往更深层次数学世界的大门,让我对数学这门学科有了全新的认识和理解,也让我充满了继续探索的动力。

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