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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Hasse, Helmut

出品人:

页数:656

译者:Zimmer, H.G.

出版时间:2002-2

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9783540427490

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 初等数论
• 高等数学
• 数学
• 理论数学
• 算法
• 密码学
• 数学分析
• 离散数学
• 算术

《数论》 本书将带您踏上一段引人入胜的数学之旅，探索数的奥秘。我们将从最基础的算术概念出发，逐步深入到数论的各个核心领域。 第一部分：整除性与同余 我们将从理解整数的性质开始，深入探讨整除的定义、性质以及最重要的一个概念——质数。我们将学习如何识别质数，理解算术基本定理（又称唯一质因数分解定理），并探讨各种与质数相关的有趣性质和猜想。 紧接着，我们将引入“同余”这一强大的工具。同余关系将整除性转化为一种等价关系，极大地简化了许多关于整数的问题。我们将学习模运算的性质，解决线性同余方程组，并进一步了解中国剩余定理。这一定理在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。 第二部分：二次剩余与平方和 在本部分，我们将拓展视野，研究二次剩余。一个整数是否为另一个整数的二次剩余，其本质在于是否存在一个整数，其平方与该整数在模某个数意义下相等。我们将深入学习二次互反律，这是理解二次剩余是否存在的关键定理。通过二次互反律，我们可以巧妙地判断一个素数是否为另一个素数的二次剩余，这在数论研究中至关重要。 随后，我们将探讨平方和的问题。例如，我们将研究哪些整数可以表示为两个整数的平方和，哪些可以表示为四个整数的平方和（拉格朗日四平方和定理）。这部分内容将涉及一些优雅的证明技巧，并展示数论与几何的微妙联系。 第三部分：数论函数与算术函数 本部分将介绍数论函数，这是一类定义在正整数上的函数。我们将重点关注一些特殊的数论函数，如欧拉 $phi$ 函数、除数函数 $sigma_k$ 函数和莫比乌斯函数 $mu$。我们将研究这些函数的性质，例如积性，并学习如何利用它们来分析整数的结构。 欧拉 $phi$ 函数，也称为欧拉函数，计算小于或等于给定正整数的所有正整数中与该数互质的数的个数。它在数论和密码学中扮演着核心角色。除数函数则与一个数的约数总和相关，而莫比乌斯函数则在素数分解的结构中扮演重要角色，尤其是在涉及容斥原理时。 第四部分：丢番图方程 本部分将聚焦于丢番图方程，即指数为非负整数的整系数多项式方程。我们将学习分析和求解一些著名的丢番图方程，例如勾股定理的整数解，以及费马大定理（尽管其证明异常复杂，我们将探讨其早期阶段的研究以及一些特殊情况）。我们将学习如何运用代数技巧、同余性质以及递降法等方法来探索这些方程的整数解。 第五部分：一些进阶主题 根据读者的数学基础和兴趣，本书还可以进一步探讨一些进阶主题。这可能包括： 连续分数： 连续分数提供了一种表示实数，尤其是无理数的新方式，并且在逼近理论中有着重要应用。 代数数论入门： 介绍代数整数的概念，并初步探讨代数数域上的数论性质。 解析数论简介： 触及数论函数和素数分布等问题的解析方法，例如黎曼猜想的背景和意义。 计算数论： 介绍一些用于计算机处理数论问题的算法，例如素性检验和因数分解算法。 本书旨在为读者打下坚实的数论基础，培养严谨的数学思维，并激发对这一古老而又充满活力的数学分支的持续探索兴趣。无论您是初学者还是希望深化理解的数学爱好者，都能从中受益。

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对于我这种偏爱严谨、追求“为什么”而不是仅仅“是什么”的读者来说，这本书的证明质量简直是教科书级别的典范。它绝不是那种只给结论然后让读者自行脑补的书籍。每一个关键性的结论，无论看起来多么不证自明，作者都给予了详尽而扎实的论证过程。我特别欣赏作者在处理代数数论的初步概念时所展现出的耐心，他没有跳过任何基础的定义和引理，确保读者能够稳步上升。例如，在讲解理想化（Ideals）的概念时，作者用了好几页篇幅来对比它与普通整数理论中约数的区别和联系，这种对比分析极大地加深了我对抽象结构本质的理解。这本书的习题设置也值得称赞，它们不是简单的计算题堆砌，而是精心设计的挑战，很多题目本身就引导读者去探索新的数学性质，有些甚至需要综合运用前面几个章节的知识点才能攻克。虽然有些证明篇幅较长，需要集中精力去梳理逻辑链条，但一旦链条被成功构建，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书的价值在于它教会了我如何“像一个数论学家那样思考”，而不是仅仅学会了几个公式。

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这本书在内容的选择上展现出一种精妙的平衡感，它既没有沉溺于初等数论的趣味性而止步不前，也没有一头扎进高度专业化的代数拓扑世界而让普通读者望而却步。它成功地架设了一座从基础算术到现代数论的稳固桥梁。我特别欣赏作者对“椭圆曲线”在数论中的应用的介绍部分，虽然篇幅有限，但它清晰地勾勒出了数论如何与现代密码学和代数几何紧密相连的蓝图。作者在描述这些前沿应用时，语气充满了令人信服的权威性，但同时又保持着一种鼓励探索的开放态度。书中对丢番图方程的深度挖掘，尤其是涉及到模形式的部分，虽然难度陡增，但作者通过生动的图示（尽管只是文字描述的意象）帮助读者建立起高维空间的直观感受。这本书的阅读体验非常具有连贯性，章节之间的过渡自然流畅，仿佛是同一条河流的不同河段，水量和流速在变化，但源头和方向始终统一。对于希望系统性提升自己数论水平的爱好者而言，这本书提供了恰到好处的深度和广度，既能满足求知欲，又不会因过度冗余而让人感到疲倦。

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这本书的封面设计简约而引人注目，那种深沉的蓝色调配上烫金的字体，立刻就给人一种学术的厚重感。我原本对这个领域了解不多，只是出于好奇心翻开了它。第一章关于整数的性质和素数的分布，作者的处理方式非常巧妙，他没有一开始就抛出复杂的公式，而是用非常贴近生活的例子来引入抽象的概念，比如用分苹果的方式讲解最大公约数和最小公倍数。我记得有一段关于欧几里得辗转相除法的叙述，简直像在读侦探小说，步步为营，将一个看似枯燥的算法写得扣人心弦。更让我惊喜的是，书中对丢番图方程的介绍，作者仿佛是一位经验丰富的向导，带领我们在一个充满谜团的数学迷宫中穿梭，每解开一个看似无解的难题，心中的成就感就油然而生。这本书的排版非常舒适，页边距适中，使得在阅读过程中可以轻松地进行批注和思考。对于初学者来说，这本书无疑是一扇通往数论世界的优雅大门，它没有故作高深，而是脚踏实地地构建知识的阶梯。我特别欣赏作者在讲解模运算时所使用的类比，它有效地消除了初学者对“同余”概念的畏惧感，让人感觉这门学科并非高不可攀。这本书的逻辑层次清晰得如同精密的仪器，即使是复杂的证明，也能被拆解成一系列可以理解的步骤，这点对于自学者来说至关重要。

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这本书的行文风格实在是太独特了，充满了哲思，读起来不像是在学习教科书，更像是在和一位博学的老教授进行一场深入的精神对话。我花了整整一个下午沉浸在关于费马大定理的历史背景叙述中，那段文字描述了无数顶尖数学家为了一个猜想耗费毕生心血的执着与挣扎，那种人类智慧在面对终极真理时的谦卑与敬畏，被刻画得淋漓尽致。作者似乎对数学史有着深厚的感情，他总能在最关键的数学推导之间，插入一段关于某个定理诞生的时代背景，这种叙事手法极大地丰富了阅读体验，让冰冷的数字仿佛有了温度和生命。我尤其喜欢其中关于解析数论的初步探讨，虽然只是浅尝辄止，但作者描绘出的那个广袤无垠的素数海洋，以及黎曼Zeta函数那神秘而强大的力量，着实让我心潮澎湃。这本书的语言驾驭能力令人叹服，时而严谨如磐石，时而灵动如清泉，它成功地将深奥的数学概念与人文关怀完美地融合在一起，让人在解开数学难题的同时，也感受到了人类探索未知的伟大精神。读完关于二次互反律的那一章，我感觉自己仿佛窥见了自然界隐藏的一种深刻的对称之美，这种美感是语言和图像都难以完全捕捉的，只能在纯粹的数学结构中才能体会。

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这本书的翻译质量非常出色，术语的选用精准且统一，这在数学翻译中是极其重要的品质，避免了因术语歧义而导致的理解偏差。我尤其注意到了作者对“算术”和“代数”这两个概念之间界限的处理，书中清晰地阐释了数论作为一门独立学科的特殊地位，它既根植于最基础的算术直觉，又需要借助最尖端的代数工具进行阐发。在探讨连续性与离散性的关系时，作者的论述非常富有洞察力，他巧妙地引入了晶体结构和周期性的类比，帮助读者从物理直觉上理解为什么整数的结构如此具有规律性。这本书的注释部分也做得非常到位，一些历史上的小插曲或者非常深入的背景知识被巧妙地放置在页脚，不打断主线阅读，但又为有兴趣的读者提供了深入挖掘的路径。总而言之，这本书不仅仅是一本知识的载体，它更像是一个经过精心打磨的思维工具箱，每一次翻阅，都能从中找到新的工具来解决旧的问题，或者发现解决新问题的思路。它培养的是一种对数字世界本质的好奇心和探究欲，这种收获远超于单纯掌握了书中的定理本身。

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