A Primer of Lebesgue Integration pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:H. S. Bear

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:2001-10-16

价格:GBP 61.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780120839711

丛书系列:

图书标签:

• Mathematics
• Analysis
• Lebesgue Integration
• Real Analysis
• Measure Theory
• Functional Analysis
• Mathematics
• Advanced Mathematics
• Calculus
• Probability Theory
• Mathematical Analysis
• Integration

《测度与积分的初步探索》 本书旨在为读者提供一个清晰、循序渐进的学习路径，以理解现代数学分析的核心概念——测度与积分。我们致力于剥离冗杂的理论细节，聚焦于培养读者对这些概念的直观认识和实际应用能力。 核心内容概述： 第一部分：测度的基础 集合论的必要准备： 我们从可数的和不可数的概念出发，简要回顾集合论中的一些基本但至关重要的概念，如集合、子集、并集、交集、补集以及可数集和不可数集。这些概念是理解后续测度理论的基石。 代数与σ-代数： 引入代数的概念，并进一步推广到σ-代数。我们将通过直观的例子说明σ-代数的性质，以及为何它在测度理论中如此关键。读者将理解σ-代数如何定义一个“可测量”的集合空间。 测度的定义与性质： 详细阐述测度的公理化定义，并重点讲解测度的几个基本性质，如单调性、可数可加性以及测度的存在性。我们将通过构建简单的测度空间，帮助读者理解测度如何为集合赋予“大小”的概念。 外测度与Carathéodory外测度： 介绍外测度的概念，并深入探讨Carathéodory外测度。我们将展示如何利用外测度来构造更一般的测度，以及它在可测集合的刻画中的作用。 勒贝格外测度： 重点介绍在实数线上的勒贝格外测度。我们将详细阐述其构造过程，并证明一些关键性质，例如其单调性和可数子可加性。通过具体的例子，读者将体会到勒贝格外测度如何成功地克服了黎曼测度的局限性。 可测集： 基于外测度，正式定义可测集。我们将详细阐述可测集的充要条件，并展示如何从已知的可测集中构造新的可测集。理解可测集是定义和计算积分的前提。 一些重要的可测集类： 介绍开集、闭集、Gδ集、Fσ集等重要的可测集类，并讨论它们之间的关系。这将帮助读者更好地理解实数空间中集合的结构。 第二部分：可测函数与积分 可测函数的定义与性质： 定义可测函数，并探讨其基本性质，如常数函数、线性函数的可测性，以及可测函数的和、差、积、商的可测性。读者将了解为何函数的可测性是积分定义的基础。 简单函数： 引入简单函数的概念。简单函数是构成一般可测函数逼近的重要工具，我们将展示简单函数在测度理论中的作用。 积分的构造： 简单函数的积分： 从最简单的简单函数开始，定义其积分。 非负可测函数的积分： 将积分的定义推广到所有非负可测函数，利用简单函数逼近的思想，完成积分的定义。 一般可测函数的积分： 进一步将积分的定义推广到一般的可测函数，即允许函数取负值的情况。 积分的基本性质： 详细推导和证明积分的线性性质、单调性、可测性以及积分与极限的关系等基本性质。我们将通过大量的例子来加深读者的理解。 积分的收敛定理： Fatou引理： 介绍Fatou引理，并说明它在处理极限与积分顺序交换问题上的重要性。 单调收敛定理（MCT）： 详细阐述单调收敛定理，并展示其在证明积分性质和计算中的广泛应用。 控制收敛定理（DCT）： 介绍控制收敛定理，并说明其在处理非单调收敛序列时的强大能力。我们将强调DCT的重要性，因为它在实际应用中比MCT更为常见。 Lp空间的概念： 引入Lp空间的概念，并讨论其完备性。我们将简要介绍Lp空间作为函数空间的重要性，以及它在泛函分析和概率论中的应用。 积分的几何解释： 结合图形，对积分的定义和性质进行几何上的直观解释，帮助读者建立空间感和直觉。 本书的特点： 循序渐进： 从最基础的集合论和测度概念出发，逐步深入到可测函数和积分理论，确保读者能够平稳过渡。 强调直观理解： 尽可能使用直观的语言和例子来解释抽象的数学概念，帮助读者建立对测度与积分的感性认识。 注重方法论： 在讲解定理和性质时，不仅给出证明，更注重分析证明的思路和技巧，培养读者的数学思维能力。 丰富的例题与练习： 包含大量精心设计的例题，帮助读者巩固所学知识；提供适量的练习题，供读者检验和提升。 避免不必要的术语： 力求语言精炼，避免使用过多的高深术语，使内容更易于理解。 本书适合数学专业的本科生、研究生，以及其他对测度与积分理论感兴趣的读者。通过学习本书，读者将能够扎实地掌握测度与积分的基本理论，为进一步深入学习数学分析、泛函分析、概率论等相关领域打下坚实的基础。

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这本书的“老派”气质在细节处理上尤为明显。它在讨论可积性的条件时，会非常细致地考察各种边界情况和反例。例如，书中对“几乎处处”这个概念的阐述，不仅仅是给出一个定义，而是通过构造一系列病态（pathological）但又合乎逻辑的例子，来凸显测度零集的关键作用。这种通过对比和排他性来确立核心概念的做法，在现代教材中已不常见，现代教材更倾向于快速给出定义并转向应用。对我而言，这使得阅读体验充满了一种“发现”的乐趣，仿佛跟随一位经验丰富的导师，一步步剥开概念的表皮，直抵其核心本质。这种对基础的近乎偏执的关注，确保了读者对 Lebesgue 积分理论的理解是建立在坚不可摧的逻辑基础之上的，而不是空中楼阁。任何试图用更现代的、基于泛函分析的视角来审视此书的人，都会被其纯粹的分析构建美学所折服。

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这本书的结构安排，体现出一种古典数学教材的典范性。它不急于展示 Lebesgue 积分的强大应用——比如傅里叶分析或概率论中的辉煌成就，而是将全部精力集中在积分理论自身的完备性和优雅性上。这种聚焦使得对基础理论的把握异常牢固。书中对“简单函数”的构造性定义和积分的逐步推广，处理得极为巧妙，展现了数学家如何从有限到无限、从简单到复杂进行精确构造的思维过程。特别是对于 $L^p$ 空间的引入，虽然篇幅不长，但其作为函数空间理论的基石地位被强调得淋漓尽致。我个人认为，这本书的价值远超其作为一本积分“教材”的范畴，它更像是一本关于如何构建一个完备分析体系的“方法论”指南。那些试图跳过基础，直接应用 Lebesgue 理论解决实际问题的读者，可能会发现他们缺少了解决问题的内生驱动力和严密性支撑。

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阅读此书的过程，与其说是在学习一套新的积分技巧，不如说是在经历一次严谨的数学思维训练。这本书的行文风格极其精炼，几乎没有冗余的修饰性语言，每一个句子都承载着明确的数学信息。这种风格对于习惯了高度抽象表达的读者来说是高效的，但对于需要更多“拐杖”来辅助理解的初学者，可能会感到略微吃力。它似乎预设了读者具备一定的分析学功底，能够从符号和结构本身去推导出其背后的几何或分析意义。印象最深的是它对收敛性的处理方式，作者没有满足于仅仅证明收敛性的存在性，而是深入探讨了不同收敛模式之间的相互关系，以及它们如何与积分运算的交换性紧密相连。这本书更像是数学家之间的一份详尽的备忘录，而非面向大众的科普读物。它要求读者主动参与到证明的构建过程中去，去体会每一个假设的不可或缺性。对于渴望达到“深刻理解”而非“表面应用”层次的读者，这种挑战性的阅读体验是无价的。

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如果说当代许多分析教材追求的是广度与应用，那么这本书则坚定地选择了深度与纯粹。它的排版和图示（或者说，缺乏花哨的图示）都透露出一种严肃性，要求读者必须投入专注的心力。我认为，对于那些已经接触过测度论，但总感觉对 Lebesgue 积分的定义环节存在一丝“悬空感”的读者，这本书具有极强的“疗愈”作用。它耐心地填补了从黎曼到 Lebesgue 跨越过程中的所有逻辑断层。书中对积分的极限操作的讨论，尤其是在涉及非负函数和任意函数分解时的细致区分，清晰地揭示了 Lebesgue 积分为何比黎曼积分在处理极限和交换运算时更加可靠和强大。总而言之，这不是一本能让你快速解决作业的参考书，而是一本能让你真正领悟分析学严谨之美的哲学读本。它的价值在于塑造思维，而非提供公式。

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这本书初版于上世纪六十年代，那时 Lebesgue 积分理论在数学界已经扎根，但对于许多初学者来说，其抽象性和严谨性仍然是一道难以逾越的鸿沟。这本书的目标群体显然是那些已经对经典黎曼积分有深刻理解，并渴望迈向更广阔的测度论世界的学生和研究人员。它并没有试图走捷径，而是选择了最坚实、最逻辑严密的路径来构建整个理论框架。首先，作者花费了相当大的篇幅来铺陈基础的拓扑概念和集合论工具，这为后续引入 $sigma$-代数和测度概念做了极为充分的准备。读者会发现，每一个定义、每一个定理的引入都伴随着细致的动机阐述，这极大地帮助理解为何 Lebesgue 积分需要取代黎曼积分的必要性。特别是关于可测函数和积分的定义部分，其清晰度和逐步推进的逻辑节奏，使得原本晦涩难懂的收敛定理（比如占支配收敛定理）也变得异常清晰和富有直觉。对于那些依赖教科书进行自学的人来说，这种细致入微的讲解方式，无疑是探索 Lebesgue 理论深层结构的一把可靠钥匙。

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