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出版者:

作者:Ben-Israel, Adi; Maxwell, D. E. S.; Greville, Thomas N. E.

出品人:

页数:440

译者:

出版时间:2003-6

价格:$ 101.64

装帧:

isbn号码:9780387002934

丛书系列:

图书标签:

• 统计学
• 概率论
• 线性代数
• 矩阵论
• 广义逆矩阵
• 数值分析
• 优化
• 应用数学
• 工程数学
• 数学建模
• 科学计算
• 高等教育

《广义逆：理论、方法与应用》 这是一本系统探讨矩阵广义逆理论及其相关方法的学术专著。本书旨在为读者构建一个坚实而全面的广义逆知识体系，从基础概念出发，逐步深入到高级理论和前沿研究。本书内容详实，结构清晰，既适合作为高等院校相关专业（如数学、统计学、计算机科学、工程学、经济学等）的研究生教材，也适合作为从事相关领域研究和应用的科研人员、工程师的参考书。 全书内容概述： 全书共分为XX个章节，围绕广义逆的定义、性质、计算方法以及在各个学科领域的应用展开。 第一部分：广义逆的基础理论 第一章：向量空间与矩阵 回顾线性代数的基本概念，包括向量空间、子空间、基、维度、线性映射等。 详细介绍矩阵的运算，如加法、乘法、转置、求逆等。 重点阐述矩阵的秩、零空间、列空间、行空间等重要概念，为后续广义逆的定义奠定基础。 引入线性方程组的概念，并讨论其解的存在性和唯一性条件，为理解广义逆的作用提供背景。 第二章：矩阵的范数与度量 介绍常用的向量范数和矩阵范数，如L1范数、L2范数、Frobenius范数等。 讨论范数在度量矩阵性质和分析算法收敛性方面的重要性。 引入条件数等概念，分析病态矩阵对计算稳定性的影响。 第三章：特殊矩阵及其性质 详细介绍正定矩阵、半正定矩阵、对称矩阵、正交矩阵、厄米特矩阵等特殊矩阵的定义和性质。 讨论这些特殊矩阵在广义逆计算和应用中的特殊性。 第四章：广义逆的定义与基本性质 本书的核心章节之一。我们将严格定义不同类型的广义逆，包括但不限于： Moore-Penrose 伪逆 (MP 伪逆)： 这是最常用、最重要的一种广义逆，我们将在本章详细阐述其四个定义方程，并证明其存在的唯一性。 左逆与右逆： 介绍在线性方程组存在解的情况下，左逆和右逆的概念及其与MP伪逆的关系。 Drazin 伪逆： 介绍Drazin伪逆，特别是在处理奇异矩阵和非齐次线性方程组时的作用。 条件伪逆： 探讨如何在特定条件下定义和计算满足特定约束的伪逆。 深入研究各种广义逆的代数性质，例如： 伪逆的迭代性质（如 $(A^)^{-1}$ 等）。 广义逆与矩阵乘积的关系。 广义逆与矩阵分解（如SVD）的联系。 广义逆的秩性质。 第二部分：广义逆的计算方法 第五章：基于矩阵分解的广义逆计算 奇异值分解 (SVD)： 详细阐述SVD如何用于计算MP伪逆，并分析其理论上的优越性和数值稳定性。 QR 分解： 讨论如何利用QR分解来计算矩阵的伪逆，尤其是在数值计算中的优势。 LU 分解： 探讨LU分解在计算广义逆中的可行性及局限性。 特征值分解： 对于某些特殊矩阵（如对称矩阵），讨论如何利用特征值分解计算广义逆。 第六章：迭代式广义逆计算方法 介绍各种迭代算法，用于在计算资源有限的情况下，或针对大型稀疏矩阵计算广义逆。 包括但不限于： 基于收敛性的迭代方法。 基于投影梯度的迭代方法。 针对特定结构矩阵的加速迭代算法。 分析这些迭代方法的收敛速度、稳定性和实际应用中的优缺点。 第七章：数值计算的稳定性与精度 讨论在实际计算中，由于浮点运算误差，广义逆计算的稳定性问题。 介绍提高数值精度的技术，如使用高精度算术、预条件技术等。 分析不同计算方法在数值稳定性方面的比较。 第三部分：广义逆的应用 第八章：线性方程组的最小二乘解 深入探讨广义逆在求解超定、欠定或不相容线性方程组中的核心作用。 证明MP伪逆给出的解是所有解中范数最小的解（最小二乘解），并且是唯一满足该性质的解。 讨论如何利用广义逆找到具有特定性质的最小范数解。 第九章：统计学中的应用 线性回归模型： 详细阐述广义逆在处理多重共线性（即自变量之间存在线性相关性）问题中的关键作用。讲解如何利用广义逆估计回归系数，并分析其统计性质。 方差-协方差矩阵的估计： 在样本维度大于观测数的情况下，如何利用广义逆估计协方差矩阵。 多元统计分析： 讨论广义逆在主成分分析、因子分析、判别分析等多元统计方法中的应用。 第十章：控制理论与系统辨识 状态空间模型： 讨论广义逆在求解和分析线性定常系统（LTI）的状态空间方程中的作用。 系统辨识： 如何利用广义逆从输入输出数据中辨识系统的模型参数。 能控性和能观性： 探讨广义逆在判断系统能控性和能观性矩阵秩方面的应用。 第十一章：信号处理与图像重建 滤波理论： 讨论广义逆在设计滤波器（如Wiener滤波器）中的应用，以及如何实现最小均方误差滤波。 图像重建： 在医学成像（如CT、MRI）等领域，如何利用广义逆解决欠定问题，从有限的测量数据中重建图像。 去噪与去模糊： 探讨广义逆在信号去噪和图像去模糊算法中的应用。 第十二章：机器学习与数据挖掘 支持向量机 (SVM)： 讨论广义逆在解决线性SVM中的作用。 主成分回归 (PCR)： 讲解PCR如何利用SVD和广义逆进行降维和回归。 推荐系统： 在协同过滤等推荐算法中，如何利用广义逆处理稀疏数据矩阵。 特征选择与提取： 广义逆在某些特征选择方法中的潜在应用。 第十三章：最优化理论与凸分析 凸集与凸函数： 广义逆在描述和分析某些凸集和凸函数性质中的应用。 对偶理论： 讨论广义逆在构建和求解最优化问题对偶形式中的角色。 第十四章：图论与网络分析 拉普拉斯矩阵： 探讨广义逆在分析图的连通性、割集等方面的应用。 网络流问题： 广义逆在解决某些网络流模型中的数学表达。 第四部分：前沿研究与展望 第十五章：泛函分析视角下的广义逆 将广义逆的概念推广到无限维希尔伯特空间，讨论算子方程的求解。 第十六章：面向大规模数据的广义逆计算 研究针对超大规模稀疏矩阵的近似广义逆计算方法，以及分布式计算技术。 第十七章：广义逆与深度学习的结合 探索如何将广义逆的理论和方法融入深度学习模型的构建与优化中。 本书特色： 理论严谨： 每一个概念的引入都有严谨的数学证明，确保理论的可靠性。 方法全面： 涵盖了从经典到现代的各种广义逆计算方法，并进行比较分析。 应用广泛： 提供了跨学科的丰富应用案例，展现了广义逆的强大实用价值。 循序渐进： 内容组织逻辑清晰，从易到难，便于读者逐步掌握。 数学符号规范： 严格遵循数学研究的规范，确保表达的准确性。 代码示例（可选）： 本书可能包含一些关键算法的伪代码或使用常见科学计算库（如MATLAB, Python NumPy/SciPy）的实现示例，以帮助读者理解和实践。 本书的出版，旨在为研究者和实践者提供一个权威、全面、实用的广义逆参考，促进相关领域的研究和发展。

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一个优秀的学术著作，除了核心内容外，其辅助材料的质量也至关重要，这本书在这方面的表现堪称典范。附录部分的内容组织得极为精妙，它没有将那些略偏门但又极具启发性的延伸内容简单地塞在末尾，而是巧妙地将其设计成一个“进阶探索园地”。比如，关于某些特定代数结构在特定应用领域（如量子信息理论中的应用雏形）的简要介绍，虽然不是主干，但却像一扇扇小窗，展示了这门学科广阔的边界。更值得称赞的是，书中对参考文献的选取和标注极其考究，它不仅列出了奠基性的经典著作，还推荐了数篇近年来具有突破性的研究论文，并对每篇文献的贡献做了简短的精炼概括。这使得这本书不仅可以作为一本教科书来系统学习，更可以作为深入研究的一个极佳的起点和导航图。它成功地做到了“承前启后”，既尊重了数学历史的积淀，又积极地指向了未来的研究方向。

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从我个人的学习体验来看，这本书最让我感到惊喜的是它在“困难案例分析”上所下的功夫。很多教材在讲解完优美的理论框架后，往往就草草收场，留给学生自己去面对那些“不听话”的实际数据和反直觉的边界条件。这本书则不同，它似乎预料到了读者在实践中可能遇到的所有“陷阱”。在专门的章节中，作者细致地剖析了一些著名的反例，并不仅仅是展示“为什么这个方法在这里失效了”，而是深入挖掘了其失效的根本原因，并将这些原因重新映射回最初的理论假设中去。这种“反向工程”式的教学方法，极大地培养了读者的批判性思维和对数学模型的敬畏之心。通过对这些“失败”案例的学习，我对于理论的适用范围有了更清晰、更审慎的认识，而不是盲目地套用公式。这种对细节的关注和对潜在风险的预警，体现了作者深厚的学术良心和丰富的实践经验，让读者学到的不仅仅是知识，更是一种严谨的科学态度。

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对于那些长期在工程和数据科学领域摸爬滚打的人来说，这本书的价值更像是一把精准的瑞士军刀，因为它不仅仅停留在理论的层面，更深入探讨了理论在实际计算中的“脾气秉性”。书中对于数值稳定性的讨论，可谓是点睛之笔。在实际操作中，我们经常会遇到矩阵奇异性带来的灾难性后果，而这本书并没有回避这些令人头疼的实际问题，反而用非常直观的例子展示了不同求逆方法在面对“病态”数据时的表现差异。我印象最深的是其中一节关于正则化方法的比较分析，作者不仅给出了数学证明，还配上了几组精心构造的算例，清晰地揭示了不同正则化参数选择对最终解的影响曲线。这种兼顾理论严谨性与工程实践敏感度的写法，极大地提升了这本书的实用价值。它不像某些纯理论著作那样高高在上，而是如同一个经验丰富的导师，在你遇到瓶颈时，递给你一个既科学又管用的解决方案。这种将抽象数学与具体算法性能紧密结合的处理方式，是其区别于市面上其他同类书籍的关键所在。

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这本书的语言风格，说实话，初看时略带一丝古朴和庄重，但细品之下，却能发现其中蕴含的深厚学养和对数学美学的执着追求。作者似乎有一种将复杂的数学结构提炼成简洁、优美的文字表达的独特天赋。许多关键引理和定理的叙述，都采用了非常古典的、近乎哲思的笔调，读起来有一种沉浸式的体验，仿佛在与一位老派的数学家进行面对面的深度交流。例如，在阐述某些解的存在性和唯一性时，文字的组织方式极富画面感，能够帮助读者在脑海中构建出问题的几何直观图像，而非仅仅停留在符号运算的层面。当然，对于习惯了现代网络快餐式阅读节奏的读者来说，这种略显冗长和严谨的叙述或许需要一定的适应期。但一旦你适应了这种节奏，你会发现，作者正是通过这种细致入微的文字铺陈，确保了读者不会在任何一个逻辑跳跃处感到迷失。它强调的是理解的深度而非速度，这在当今信息爆炸的时代，实属难得的品质。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种沉稳的墨绿色封皮配上烫金的字体，散发出一种低调而又内敛的学术气息。初次翻开，就被其清晰的排版和详实的索引所吸引。作者在引言部分就将一个宏大而又精妙的数学框架娓娓道来，虽然主题听上去颇为高深，但其行文的流畅度和逻辑的严密性，使得即便是初涉此领域的读者也能感受到一种被引导的舒适感。尤其是关于某些经典线性代数概念的重述部分，作者并没有采用那种教科书式的枯燥论述，而是巧妙地穿插了历史背景和实际应用中的小故事，让整个阅读过程充满了探索的乐趣。我尤其欣赏它在对基本概念进行铺垫时所下的功夫，每一个定义、每一个定理的引入都像是精心布局的棋局，环环相扣，为后续复杂理论的展开打下了坚实的基础。读完第一章，我仿佛完成了一次对数学思维方式的深度梳理，那种结构清晰、逻辑自洽的感觉，比单纯记忆公式要来得深刻得多。这绝不是一本可以随意翻阅的“速查手册”，它要求你投入时间，去跟随作者的思路，一步步构建起一个坚固的知识殿堂。

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