Computational aspects of polynomial identities pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Rowen, Louis Halle; Kanel-Belov, Alexei;

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:

价格:1248.00元

装帧:

isbn号码:9781568811635

丛书系列:

图书标签:

• Polynomial identities
• Noncommutative algebras
• Representation theory
• Computational complexity
• Algebraic complexity
• Multilinear algebra
• PIE
• Computer algebra
• Combinatorial identities
• Lie algebras

《计算方法中的多项式恒等式》 本书深入探讨了多项式恒等式的计算理论和实际应用，旨在为读者提供一个全面、严谨的框架，理解并解决与多项式恒等式相关的各种计算难题。我们关注的重点不仅在于理论的严密性，更在于算法的效率和实现的可行性。 核心内容与前沿探索 全书围绕着多项式恒等式的表示、识别、生成与操控等核心计算问题展开。我们将从基础的多项式代数和组合学概念出发，逐步深入到更复杂的理论模型和计算技术。 多项式恒等式的表示与特征化： 书中首先将详细介绍如何高效地表示多项式恒等式，包括使用多项式环、张量代数以及更抽象的代数结构。我们将探讨各种已知的多项式恒等式家族，例如Kleiman-Kasparov恒等式、Pohlman-Tsai恒等式等，并分析它们的代数性质和潜在的计算应用。此外，我们将深入研究多项式恒等式的特征化方法，即如何确定一个给定的多项式是否满足某个特定的恒等式，以及如何从恒等式推导出多项式的结构信息。 识别与验证算法： 识别多项式恒等式是本书的重点之一。我们将详细介绍多种算法，包括基于随机测试的概率算法（如Schwartz-Zippel引理的应用）和基于符号计算的确定性算法。我们将分析这些算法的复杂度和适用范围，并为读者提供在不同场景下选择最优算法的指导。此外，本书还将探讨如何高效地验证一个多项式是否满足一个已知的恒等式，这在软件验证、密码学等领域具有重要的实践意义。 恒等式的生成与编码： 除了识别现有恒等式，本书还将研究如何系统地生成新的多项式恒等式。我们将介绍一些通用的构造方法，以及针对特定代数结构的恒等式生成技术。这部分内容将与编码理论和代数几何的最新进展相结合，探讨如何利用恒等式构建高效的编码方案或解决代数几何问题。 复杂多项式恒等式的计算： 随着问题规模的增大，多项式恒等式的计算复杂度也急剧上升。本书将重点分析计算非交换多项式恒等式、多变量多项式恒等式以及具有指数级增长复杂度的多项式恒等式的计算挑战。我们将介绍一些先进的技术，例如基于矩阵表示的算法、利用 Gröbner基方法处理多项式方程组、以及在近似计算和数值方法方面的最新进展。 多项式恒等式在代数与组合学中的应用： 本书将不仅仅局限于理论探讨，更会深入挖掘多项式恒等式在各个数学分支中的实际应用。我们将展示如何利用多项式恒等式来解决代数结构（如群、环、代数）的分类和识别问题，以及在组合学中计数和编码问题中的作用。例如，我们将讨论多项式恒等式在图论、随机过程、表示论等领域的应用实例，展示其作为强大工具的潜力。 理论与实践的结合： 为了帮助读者更好地理解抽象概念，本书将穿插大量精心设计的例子和算法实现。我们将提供伪代码，并讨论在具体编程语言（如Python、SageMath、Maple）中实现这些算法的技巧和注意事项。同时，我们还将探讨一些实际案例研究，展示多项式恒等式在理论计算机科学、密码学、编码理论、机器学习以及其他相关领域的实际应用。 目标读者 本书适合以下读者： 对抽象代数、组合学、计算代数以及理论计算机科学感兴趣的本科生和研究生。 从事符号计算、算法设计、机器学习、密码学、编码理论等领域的研究人员和工程师。 希望深入理解多项式恒等式计算理论及其广泛应用的数学和计算机科学专业人士。 本书的独特价值 《计算方法中的多项式恒等式》提供了一个独特的研究视角，它将代数结构的理论深度与计算方法的实用性紧密结合。通过对现有理论的梳理和对前沿问题的探索，本书旨在帮助读者建立扎实的理论基础，掌握高效的计算工具，并为进一步的研究和开发提供灵感。我们相信，本书将成为多项式恒等式领域一本不可或缺的参考书。

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这部巨著的封面设计简洁而沉稳，那种深邃的蓝色调，配上烫金的书名，立刻给人一种学术的重量感。我是在一位代数拓扑学家的书单里偶然发现它的，起初只是好奇书名中“多项式恒等式”这个略显古典的数学概念如何与“计算方面”结合。翻开第一章，作者并没有直接陷入繁复的计算细节，而是从理论基础出发，娓娓道来，梳理了这些恒等式在结构群论和表示论中的核心地位。特别是关于Schur函数的引言部分，简直是点睛之笔，作者用一种近乎散文诗般的笔触，将抽象的代数结构具象化，让一个初学者也能感受到其内在的美感。书中对某些经典定理的证明进行了细致入微的重构，尤其是在处理非交换代数中的自由代数时，引入了一种全新的、基于 Gröbner 基的简化方法，这无疑为研究人员提供了一把强有力的工具。我花了整整一个下午的时间去消化其中关于环上的恒等式如何转化为矩阵方程的论述，那种层层递进的逻辑推演，让人不得不佩服作者深厚的功底和清晰的思路。虽然内容偏向高深，但作者在关键的定义和引理后都附带了详尽的例子，这使得理解过程变得不那么枯燥。

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读完三分之一后，我开始意识到这本书的价值远超出了传统的教科书范畴。它更像是一本前沿研究的综述，但又不失系统性。最让我感到震撼的是关于“恒等式最小性”的探讨。作者深入分析了为什么某些看似复杂的恒等式可以被更简洁、更基础的一组恒等式所替代，并提出了一个判定标准，这个标准基于对特定李代数结构的分解。书中对这些分解过程的描述，如同在解一个极其精巧的瑞士钟表，每一个齿轮的咬合都精确无误。我特别关注了其中关于特征 $p$ 域上的多项式恒等式与 $p$ 进分析的交叉点，作者巧妙地引入了代数K理论的某些概念来统一不同特征下的结论，使得理论框架的完备性得到了极大的提升。对于那些希望撰写博士论文，但又苦于找不到一个足够新颖的研究角度的人来说，这本书中散布的许多开放性问题和未解决的猜想，无疑是巨大的启发源泉。

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这本书的语言风格极其内敛，但字里行间透露出一种老派的数学家对优雅的追求。它很少使用语气词，所有结论都建立在坚实的公理和已被证明的定理之上，每一个断言都经过了反复的检验。我对比了市面上其他几本关于泛代数的著作，发现该书在处理“自由群上的函数空间”时，采用了完全不同的基函数选择，这使得其在计算上具有独特的优势，尤其是在涉及到高阶微分算子时，可以避免大量的符号爆炸。书中对某些著名的待证明猜想（比如某个关于非交换幂零矩阵的恒等式问题）的最新进展进行了详尽的梳理和批判性分析，作者并没有简单地罗列结果，而是深入探讨了现有证明方法的局限性，并暗示了未来可能的研究方向，比如结合量子信息理论中的纠缠概念来建模代数结构。这种前瞻性让人印象深刻，它让你感觉自己不是在阅读历史，而是在参与一场正在进行的科学对话。

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坦白讲，这本书的难度曲线非常陡峭，初次接触可能需要辅以其他基础教材才能勉强跟上。然而，一旦跨越了前五章的门槛，后面的内容便如行云流水般展开。我尤其对书中关于“多项式恒等式在编码理论中的应用”那一节念念不忘。作者展示了一种极其巧妙的方法，如何利用特定代数结构中恒等式的“稀疏性”来构建具有极高纠错能力的循环码，这完全颠覆了我对传统代数编码理论的认知。书中对这种编码的构造过程，描述得既宏大又精微，从抽象的域扩张到具体的比特序列转换，每一步都逻辑严密，无懈可击。更值得称赞的是，作者在介绍完理论后，附带了一个基于 Python 库的实现框架，详细说明了如何将纯数学推导转化为可执行的代码，这对于希望将理论应用于实际信号处理或数据存储领域的工程师来说，是极其实用的资源。这本书确实是少数能够同时满足顶尖数学研究者和硬核应用开发者的跨界杰作。

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这本书的排版简直是数学书籍中的一股清流，字里行间充满了对细节的尊重。我最欣赏的是它在处理计算复杂性问题时的那种近乎偏执的严谨。例如，在讨论如何高效地检验一个大代数系统中是否存在非平凡恒等式时，作者并没有满足于现有的随机算法，而是深入探讨了如何利用快速傅里叶变换（FFT）来优化多项式的乘法和模运算，从而在理论上将复杂度降低了一个数量级。书中用到了大量的图论工具来可视化这些代数关系，我特别喜欢其中一章，它将多项式恒等式与特定类型的网络流问题联系起来，用流的饱和度来判断恒等式的存在性，这种跨学科的视角极其开阔。虽然有些章节对计算资源的要求很高，涉及到并行计算的架构，但作者在附录中对不同硬件平台下的性能基准测试分析得非常透彻，这对于实验室环境下的实际应用者来说是无价的参考资料。总的来说，它不只是一本理论书籍，更像是一本结合了前沿计算机科学与经典抽象代数的工程手册。

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