Representations of algebraic groups， quantum groups， and lie algebras. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:254

译者:

出版时间:

价格:714.20元

装帧:

isbn号码:9780821839249

丛书系列:contemporary mathematics

图书标签:

• Algebraic Groups
• Quantum Groups
• Lie Algebras
• Representation Theory
• Mathematics
• Algebra
• Quantum Mechanics
• Physics
• Advanced Mathematics
• Group Theory

本书深入探讨了代数群、量子群和李代数这三个紧密联系又各自独立的数学分支。我们将从它们各自的基础概念出发，逐步揭示它们在代数表示论中的核心作用，并最终聚焦于它们之间错综复杂的联系。 第一部分：代数群的表示 我们将从代数群的定义和基本性质入手。什么是代数群？它如何概括了线性群、仿射群等概念？我们将讨论代数群的结构，例如其子群、正规子群、商群以及李代数与代数群之间的关系。 接下来，我们将重点研究代数群的表示。一个代数群的表示，简单来说，就是将代数群中的元素映射到向量空间的线性变换。我们将探讨有限维表示的性质，例如不可约表示、可约表示、张量积表示等。我们会介绍完备代表定理，以及代数群的表示理论如何与群代数和李代数的表示理论相互关联。 对于一些重要的代数群，如一般线性群 $GL_n$ 和特殊线性群 $SL_n$，我们将详细研究它们的表示。这将包括多项式表示、张量表示，以及舒尔代数在理解 $GL_n$ 的表示中的作用。我们还将触及代数群的分类，并讨论不同类型的代数群（例如连通半单代数群）其表示理论的特殊性。 第二部分：量子群的引入与表示 量子群的出现，可以说是对经典李群理论的一种“形变”。我们将从何为量子群开始，解释它作为 Hopf 代数的结构。量子群通常是经典的李群或李代数的“形变”版本，其量子群结构引入了一个参数（通常记为 $q$），使得在 $q=1$ 时能够恢复到经典的李代数或李群。 我们将介绍一些重要的量子群，例如 $U_q(mathfrak{g})$，其中 $mathfrak{g}$ 是一个李代数。我们将探讨量子群的结构，包括生成元、关系式以及它们的 Hopf 代数结构（对偶积、antipode等）。 量子群的表示是本书的另一个核心。与代数群类似，我们将研究量子群的不可约表示。然而，量子群的表示理论引入了新的挑战和概念。我们将讨论 $q$-权重、$q$-权空间以及量子群的表示如何依赖于形变参数 $q$。 我们将研究一些具体量子群的表示，例如 $U_q(mathfrak{sl}_2)$ 的表示。这将包括其不可约表示的分类，以及在 $q$ 不为单位根时的性质。我们还将探讨量子群表示的张量积，以及 R-矩阵在理解张量积表示时的作用。R-矩阵是量子群理论中的一个核心对象，它编码了张量积的交换次序。 第三部分：李代数的表示 李代数是代数群的“线性化”版本，它们在研究群的局部性质时起着至关重要的作用。我们将从李代数的定义、性质以及它们的结构（例如中心、子李代数、理想）开始。 我们将深入研究李代数的表示。一个李代数的表示是将李代数的元素映射到向量空间的导子（即满足导子性质的线性变换）。我们将讨论有限维表示的性质，例如不可约表示、可约表示、权和权空间。 我们将详细研究一些重要的李代数的表示，例如 $mathfrak{sl}_2$ 和半单李代数。我们将介绍维尔定理，它描述了有限维李代数不可约表示的完备性。我们还将讨论李代数表示的张量积，以及如何利用权理论来分析张量积的分解。 对于半单李代数，我们将深入介绍其根系和Weyl群。Weyl群在理解半单李代数的表示理论中扮演着核心角色，它提供了一种计算表示的迹和维度的有效工具。我们还将触及 Casimirs算子和 Verma模的概念。 第四部分：代数群、量子群与李代数表示理论的交织 本部分是本书的精髓所在，我们将把前三部分的内容整合起来，展示这三个数学分支之间深刻的联系。 李代数与代数群的表示: 我们将明确代数群的李代数如何完全决定了代数群的（局部）表示性质。我们将展示，代数群的表示可以（在一定条件下）通过其李代数的表示来理解，反之亦然。 量子群作为形变: 我们将再次强调量子群是如何从李代数或代数群通过形变参数 $q$ 产生的。在 $q o 1$ 的极限下，量子群的表示理论会趋向于李代数的表示理论。我们将探讨这个“极限过程”的精确含义。 统一的视角: 通过研究这三个主题，我们可以获得对表示理论更深刻、更统一的理解。例如，量子群的 R-矩阵可以被视为某种意义上的“形变”的交换子，它连接了李代数和量子群表示中的张量积。 应用与展望: 最后，我们将简要提及这些理论在其他数学和物理领域中的应用，例如在统计力学、可积系统、高能物理以及代数几何中的作用。本书的目标是为读者提供一个坚实的理论基础，以便他们能够进一步探索这些前沿的研究领域。 本书的目标读者是具有扎实抽象代数和线性代数基础的数学专业本科生、研究生以及对表示论、代数群、量子群和李代数感兴趣的研究人员。我们将力求概念清晰，论证严谨，并辅以适当的例子来帮助读者理解抽象的理论。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

从排版和细节处理来看，这本书也体现了极高的专业水准。图表的清晰度、公式的排版规范，以及索引和符号定义的准确性都无可挑剔，这对于处理如此复杂的数学内容至关重要。我注意到书中对引文和参考文献的处理非常规范，这使得读者在需要追溯某个概念的原始出处时能够非常方便地进行查阅。更令人称赞的是，书中在每一章的末尾都附带有精心设计的习题，这些习题的难度分布合理，从基础巩固到开放性研究的引导都有所涉及。我尝试做了几道较难的习题，发现它们确实能够有效地检验和深化对前文理论的掌握程度，很多习题本身就包含了重要的辅助结论。这本书的整体质量，从内容深度到外在形式，都达到了令人肃然起敬的高度，它不愧为该领域内一本重要的参考著作，是任何严肃的数学或理论物理研究者案头必备的佳作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的量子群部分，可以说是整本书的亮点之一，它成功地搭建起了经典代数与新兴量子理论之间的桥梁。我发现作者在处理Drinfeld尔量时，处理得非常细腻和到位，不仅介绍了其代数结构，还深入探讨了其与晶体基（crystal basis）之间的深刻联系。这部分内容对于理解量子群在统计力学和可积系统中的应用至关重要。我记得书中有一章专门分析了R矩阵的性质及其在Yang-Baxter方程中的作用，作者用非常清晰的语言和大量的例子说明了R矩阵如何编码了量子群的某种“非对易性”结构，这一点对于理解量子信息和量子计算的底层数学原理非常有帮助。与市面上其他侧重于结构定义的书籍不同，这本书更注重展示“为什么”需要量子群，以及它们在解决具体数学物理问题中的强大能力。阅读时，我感觉自己仿佛在跟随一位经验丰富的向导，穿梭于代数结构的迷宫之中，每一次转折都指向一个更深层次的真理。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名是《Representations of algebraic groups, quantum groups, and Lie algebras》，我阅读它后，立刻感受到了作者在数学物理交叉领域的深厚功底。首先，从代数群的角度来看，书中对经典群和李群的表示理论进行了非常详尽的阐述，特别是涉及到与几何学和拓扑学联系的部分，简直让人茅塞顿开。作者并没有停留在传统的线性代数视角，而是巧妙地引入了更现代的代数几何工具，比如概形论的概念，来处理代数群的结构。这种处理方式极大地拓宽了理解的深度，让原本抽象的概念变得更加具体和可操作。比如，在讨论完完备群的表示后，作者会自然地过渡到对李代数的复形结构的研究，这种衔接非常流畅，显示了对整个理论体系的宏观把握。我尤其欣赏的是，书中对一些关键定理的证明过程都写得极其严谨，每一步的逻辑推导都无懈可击，即便是初次接触这些高级主题的读者，只要具备扎实的预备知识，也能跟随作者的思路深入理解。对于那些希望在表示论领域进行深入研究的学者来说，这本书无疑是一份不可多得的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格给我留下了极其深刻的印象，它兼具了数学教科书的严谨性和研究论文的创新性。作者的语言选择精准、有力，没有丝毫多余的赘述，每一个句子似乎都承载着重要的数学信息。然而，尽管内容非常前沿和深入，作者却总能在关键时刻提供恰到好处的历史背景和动机阐述，这使得读者在学习复杂概念时，不会感到迷失在纯粹的形式主义中。例如，在介绍完Kac-Moody代数的一些基本性质后，作者会穿插一段关于其在弦理论中应用的简短讨论，这种跨学科的视野极大地激发了我的学习兴趣。总的来说，这本书的阅读体验是沉浸式的，它要求读者全身心地投入，但回报也是巨大的——它提供了一种理解现代数学结构的新视角和新工具箱。这本书更像是一本面向有志于在一线进行研究的数学家和物理学家的“工具手册”和“思想指南”。

评分☆☆☆☆☆

至于李代数的部分，这本书的处理方式显得尤为务实且富有洞察力。作者从基础的根系理论出发，稳步推进到Cartan子代数的结构分析，这为理解半单李代数的分类打下了坚实的基础。我特别喜欢书中对Weyl群的引入和讨论，它不仅仅被视为一个对称群，更是被提升到了一个能够预测和组织表示结构的强大工具的高度。书中对不可约表示的构造，特别是通过权模块（weight modules）的方法，阐述得非常透彻。我对比了好几本关于李代数的教材，这本书在保持数学严谨性的同时，在解释如何从Cartan矩阵具体构造出表示方面，做得尤为出色。那些复杂的图表和具体的计算步骤，帮助我克服了以往对这些抽象概念的畏惧感。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方法的传授，教你如何用系统性的方法去解析复杂的代数结构。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆