Compact projective planes pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhoefer, Theo

出品人:

页数:688

译者:

出版时间:

价格:3821.00元

装帧:

isbn号码:9783110114805

丛书系列:

图书标签:

Projective geometry
Finite fields
Incidence geometry
Combinatorial geometry
Algebraic curves
Design theory
Coding theory
Cryptography
Enumerative geometry
Plane geometry

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具体描述

《紧凑射影平面》本书深入探讨了数学中一个引人入胜的领域：紧凑射影平面。射影平面本身是欧几里得几何概念的自然推广，在其中，平行线被认为是在无穷远处相交于一点。本书的重点则在于“紧凑”这一属性，它赋予了这些几何结构特定的拓扑和代数性质，使其在纯粹数学和相关应用领域都具有深远的影响。我们首先将从射影平面的基本定义入手，建立必要的语言和概念框架。这意味着要详细介绍点、线、平面以及它们之间的关系。我们将引入射影坐标的概念，这是一种在射影几何中极其强大的工具，它允许我们以代数的方式来研究几何对象。通过射影坐标，我们可以将几何问题转化为代数方程组，从而利用代数的强大工具来解决。例如，我们将阐述如何表示点和线，以及如何利用交点和共线性的代数条件来刻画这些几何关系。接下来，我们将聚焦于射影平面的“紧凑性”。在拓扑学中，紧凑性是一个重要的性质，它意味着任何开覆盖都存在一个有限子覆盖。对于射影平面而言，紧凑性意味着它在拓扑上类似于一个球面。我们将详细讨论由此带来的几何和代数上的含义，例如，它保证了射影平面上任意两条不同的直线必然相交于一点，这一性质是其区别于欧几里得平面和其他非紧凑射影结构的关键。本书的核心内容之一是对不同类型的紧凑射影平面的分类和研究。我们将重点介绍最基本且最重要的例子——有限域上的射影平面，即 $PG(2, q)$，其中 $q$ 是一个素数幂。我们将详细计算这些平面的点数和线数，并证明其满足所谓的“帕普斯定理”和“ বিচ্ছিন্ন定理”，这些定理是射影平面中具有标志性意义的定理。我们将深入分析不同 $q$ 值对应的射影平面，例如 $q=2$ 时的菲诺平面（Fano plane），它只有七个点和七条线，是最小的射影平面。我们还将探讨 $q=3, 4, 5, dots$ 时情况，展示随着 $q$ 的增大，射影平面的结构变得多么复杂。除了有限域上的射影平面，本书还将探索具有更复杂结构的紧凑射影平面，特别是那些由实数域或复数域构建的射影平面。实射影平面 $RP^2$ 是我们熟悉的三维空间中所有穿过原点的直线的集合，它具有许多深刻的拓扑性质，例如其可定向性（Möbius带的推广）。复射影平面 $CP^2$ 则是研究代数几何和复分析的重要对象。我们将详细分析它们的点、线、交点以及在这些平面上存在的各种几何构造，并讨论它们与代数曲线和代数曲面的联系。本书的一个重要主题是射影平面中的“对偶性原理”。我们将清晰地阐述对偶性原理的含义，即在射影平面中，任何关于点和线的陈述，如果将“点”和“线”互换，将“在…上”和“经过…”互换，新的陈述仍然成立。我们将通过具体例子，例如帕普斯定理和 বিচ্ছিন্ন定理的对偶形式，来生动地说明这一原理的强大力量，它能够极大地简化定理的证明和发现。我们将深入研究射影平面的子结构，特别是“子平面”和“子空间”。例如，有限域上的射影平面可能包含规模较小的射影平面作为其子结构。我们将探讨这些子结构的条件，以及它们对整个平面的性质的影响。本书还将涉及一些高级主题，例如射影平面的“嵌入”和“同构”。我们将讨论如何将一个射影平面嵌入到另一个空间中，以及如何判断两个射影平面是否具有相同的结构（即同构）。这涉及到代数和拓扑方法相结合的研究。此外，我们还会探讨射影平面在其他数学分支中的应用，例如组合设计理论、编码理论以及代数几何。例如，有限射影平面是许多组合设计（如斯坦纳系统）的重要来源。我们将展示射影平面如何为构造具有特定性质的集合系统提供基础。在本书的最后部分，我们将对射影平面理论的未解决问题和前沿研究方向进行展望，例如关于任意射影平面存在的布尔定理（Bruck-Ryser theorem）及其在有限域上的推广，以及更一般的射影结构的研究。贯穿全书，我们将注重数学的严谨性，提供清晰的定义、详细的证明和丰富的例子。我们将力求使本书对于具有一定数学基础（例如线性代数和基本的集合论）的读者都能有所启发。无论是对几何学、代数学、拓扑学还是组合学的研究者，希望本书都能成为一本有价值的参考书，能够加深读者对紧凑射影平面的理解，并激发进一步探索的兴趣。本书的写作风格力求清晰、准确且富有逻辑性，避免使用过于晦涩的术语，并尽量用直观的方式解释复杂的概念。通过对“紧凑射影平面”这一数学对象的深入剖析，我们希望能够展现其内在的美丽和在数学科学中的重要地位。