An Algebraic Introduction to K-Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Bruce A. Magurn

出品人:

页数:692

译者:

出版时间:2002-5-20

价格:GBP 110.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521800785

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• K-Theory
• K-理论
• 代数拓扑
• 代数几何
• 同调论
• 代数
• 数学
• 高等代数
• 层论
• 谱理论
• 代数K理论

探寻抽象代数的边界：范畴论与拓扑学的奇妙交汇 本书旨在为有志于探索抽象代数前沿的读者提供一份详实的导览，我们将在其中深入研究数学中两个看似独立却又深刻关联的领域——范畴论（Category Theory）与代数拓扑（Algebraic Topology）——的交汇之处。本书并非一本关于特定代数结构（如环、模、群）的罗列，而是着眼于更深层次的普遍性，探究这些结构如何通过“态射”（morphisms）而非仅仅是元素之间的关系来定义其本质。我们将循序渐进，从范畴论的基本概念出发，逐步构建起理解代数K-理论（Algebraic K-theory）所需的抽象框架。 第一部分：范畴论的基石——窥探数学的共同语言 在深入具体的代数结构之前，我们首先要建立起一种普遍性的视角。范畴论正是提供了这样的视角，它允许我们将不同数学分支中的对象和它们之间的结构保持映射（态射）视为统一的语言。 第一章：范畴、函子与自然变换 我们将从最基础的范畴定义开始。一个范畴由一组“对象”（objects）和定义对象之间“态射”（morphisms）的集合构成，态射的复合与身份态射需满足特定的结合律和单位律。我们将通过丰富的例子来阐释这一概念，例如集合范畴（Set）、群范畴（Grp）、环范畴（Ring）以及拓扑空间范畴（Top）。理解这些具体范畴的结构，将有助于我们把握抽象范畴的精髓。 紧接着，我们将引入“函子”（functors）。函子是连接不同范畴的桥梁，它们不仅映射对象，更重要的是保持态射结构。我们将区分“协变函子”（covariant functors）和“逆变函子”（contravariant functors），并通过例子展示它们在代数和拓扑中的应用，例如“自由群函子”（free group functor）或“基本群函子”（fundamental group functor）。 最后，我们将探讨“自然变换”（natural transformations）。自然变换衡量了两个函子之间的“一致性”，它提供了描述函数之间结构化映射的有力工具。我们将看到，自然性条件在许多数学构造中扮演着至关重要的角色，例如同构（isomorphism）的唯一性定义。 第二章：积、余积与伴随函子 本章将深入研究范畴中更精细的结构。我们将定义“积”（products）和“余积”（coproducts），它们分别是对象组合的通用构造。在集合范畴中，它们对应于笛卡尔积和不交并；在群范畴中，则对应于直积和自由积。理解积和余积的存在性及其性质，对于后续的构造至关重要。 随后，我们将引入“伴随函子”（adjoint functors）这一深刻的概念。一对伴随函子揭示了范畴之间一种特殊的、对偶性的关联。我们将通过“自由函子与遗忘函子”（free functor and forgetful functor）这一经典例子来深入理解伴随关系，并讨论它在简化复杂构造和证明存在性方面的威力。 第三章：极限与余极限——范畴中的普遍性质 我们将聚焦于“极限”（limits）和“余极限”（colimits）。这些概念是对积、余积的推广，它们允许我们在范畴中以一种普遍的方式来描述“归纳”（induction）和“证明”（proof）等过程。我们将看到，等化子（equalizers）、核（kernels）、等化子（coequalizers）、像（cokernels）等重要的代数构造都可以被看作是特定类型的极限或余极限。 理解极限和余极限的普遍性质，将为我们后续构建K-理论中的各种不变量打下坚实的基础。我们将讨论例如“逆系统”（inverse systems）和“投射极限”（projective limits），以及“正系统”（direct systems）和“归纳极限”（inductive limits）等概念，它们在处理无穷结构时尤为重要。 第二部分：代数拓扑的语言——不变量的探索 在掌握了范畴论的抽象工具之后，我们将转向代数拓扑，一个致力于用代数方法研究拓扑空间性质的领域。代数拓扑的核心思想是寻找能够“区分”不同拓扑空间的代数不变量。 第四章：基本群与覆叠空间 本章将从“基本群”（fundamental group）这一代数拓扑中最基本的概念入手。我们将介绍如何通过道路（paths）和同伦（homotopies）来构造基本群，并讨论基本群在分类单连通空间（simply connected spaces）和非单连通空间中的作用。 我们将深入探讨“覆叠空间”（covering spaces）的概念，以及基本群与覆叠空间之间的深刻联系。我们将看到，基本群的表示（representations）可以用来研究覆叠空间的结构，反之亦然。这将为我们理解更复杂的代数结构如何对应于几何对象提供一个直观的起点。 第五章：同调论的引入——链复形与链复形同伦 为了捕捉更精细的拓扑信息，我们将引入“同调论”（homology theory）。同调论的核心工具是“链复形”（chain complexes），这是一系列带有链映射（chain maps）的阿贝尔群（或更一般的模）。我们将学习如何从拓扑空间构造出链复形，例如“单纯同调”（simplicial homology）或“奇异同调”（singular homology）。 我们将定义“链复形同伦”（chain complex homotopy）的概念，并证明同伦等价的链复形具有相同的同调群。同调群是拓扑空间的重要不变量，它们能够区分许多仅通过基本群无法区分的空间。我们将初步接触同调论在研究空间的“洞”（holes）方面的作用。 第六章：同伦群——拓扑空间的更高阶不变量 在基本群之后，我们将进一步探索“同伦群”（homotopy groups），也被称为“高阶同伦群”。同伦群捕捉了空间中更高维的“洞”的信息。我们将介绍如何定义同伦群，并讨论它们与基本群的关系。 我们将看到，计算同伦群通常比计算基本群更为困难，但同伦群在区分拓扑空间方面提供了更强大的能力。我们将提及一些经典的同伦群计算结果，并强调它们在理解球面的拓扑结构中的重要性。 第三部分：代数K-理论的黎明——连接抽象与几何 在建立了范畴论的语言和代数拓扑的基本工具之后，我们将真正进入本书的核心——代数K-理论。代数K-理论的核心思想是将代数结构（特别是环及其模）与拓扑空间联系起来，并利用拓扑学的思想来研究代数结构的性质。 第七章：模范畴与射影模 我们将重新审视“模范畴”（category of modules），特别是关于某个环的模。我们将详细讨论“射影模”（projective modules）和“内射模”（injective modules）的概念，并探讨它们在代数中的重要作用。我们将看到，射影模是生成（generating）和协同生成（cogenerating）集合的推广。 第八章：Cl(R)——一个代数不变量的初步探索 本书的一个重要目标是理解如何从代数结构中构造出拓扑不变量。在本章，我们将开始构建一个初步的代数不变量。我们将考虑一个特定类型的代数结构，并探索如何将它转化为一个拓扑对象，或者至少是一个具有拓扑性质的代数对象。我们将探讨例如“Cl(R)”（Clifford group）等概念，并初步理解它如何作为一个代数不变量出现，并可能与某些几何对象相关联。 第九章：K₀(R)——更高维度的不变量 我们将进一步深入代数K-理论的核心，引入“K₀(R)”（K-zero group of R）。我们将学习K₀(R)是如何从射影模的等价类（equivalence classes）构造出来的。我们将看到，K₀(R)可以被看作是环R的一种“广义的K-理论不变量”，它能够捕捉到比链复形和同调群更精细的代数信息。 我们将讨论K₀(R)的性质，包括它的加法结构，以及它与环的格罗滕迪克群（Grothendieck group）的关系。我们将通过例子展示，K₀(R)在区分不同环方面具有强大的能力，尤其是在研究代数簇（algebraic varieties）等几何对象时。 第十章：从K₀到K₁——引入同伦 在K₀的基础上，我们将引入“K₁(R)”（K-one group of R）。K₁(R)的构造将更加依赖于范畴论和代数拓扑中的同伦思想。我们将学习如何通过“一般线性群”（general linear group）的同伦性质来构造K₁(R)。 我们将看到，K₁(R)与环的单位群（group of units）有着密切的联系，并且它也提供了一种区分代数结构的方式。我们将介绍“稳定性”（stability）的概念，并讨论K₀和K₁在特定条件下的关系。 结语 本书旨在揭示范畴论作为一种普适的数学语言，如何与代数拓扑的强大工具相结合，共同孕育出代数K-理论这一深刻而重要的领域。通过对本书内容的学习，读者将能够： 掌握范畴论的基本概念和工具，从而以一种更抽象、更普遍的视角理解数学结构。 理解代数拓扑的核心思想，能够运用基本群、同调群和同伦群等工具来研究拓扑空间的性质。 初步领略代数K-理论的魅力，了解如何从代数结构中构造出拓扑不变量，以及K₀(R)和K₁(R)等不变量的意义和应用。 本书的内容将为读者打开一扇通往更高级代数几何、数论以及更广泛的数学领域的大门，鼓励读者在抽象代数的海洋中继续探索。

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