Elliptische Funktionen und Modulformen (Springer-Lehrbuch Masterclass) (German Edition) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Max Koecher

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:2007-04-08

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540493242

丛书系列:

图书标签:

Elliptische Funktionen
Modulformen
Mathematik
Springer-Lehrbuch
Masterclass
Deutsche Sprache
Funktionentheorie
Zahlentheorie
Algebraische Geometrie
Höhere Mathematik

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具体描述

椭圆函数与模形式本书深入探讨了数学中两个紧密相关的迷人领域：椭圆函数与模形式。它们是现代数学，特别是数论、代数几何以及复分析等领域的重要基石。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理解，揭示这些概念的深刻联系及其广泛的应用。椭圆函数，正如其名，源自对椭圆周长计算的尝试。然而，它们很快便展现出远超几何学的丰富数学内涵。其核心特征在于其周期性：与三角函数（如正弦和余弦）只有一个周期不同，椭圆函数具有两个独立的周期，这使得它们的行为更加复杂而富有吸引力。本书将从基本概念入手，介绍椭圆函数的定义、基本性质，如周期性、奇点、零点以及与黎曼曲面的关系。读者将学习如何构造和理解像Weierstrass $wp$ 函数这样的基本椭圆函数，并探索它们在解微分方程、积分理论以及数论问题（例如费马大定理的早期研究）中的应用。本书将系统地梳理椭圆函数的代数和分析性质。我们将探讨椭圆函数的加法定理，这是理解其结构的关键。此外，还将深入研究与椭圆函数相关的微分方程，例如模的微分方程，并展示如何通过求解这些方程来理解椭圆函数。对于复分析的读者，本书会详细阐述椭圆函数作为复变量函数时的行为，包括其在复平面上的展开、解析性质以及与复几何的联系。模形式是另一类在数论和几何学中扮演关键角色的函数。它们是定义在复上半平面上的全纯函数，并且满足特定的变换性质，即在模群（一个由整数系数的二阶矩阵组成的离散群）的作用下保持不变或以一种特定的方式变换。模形式的定义精确而优美，它们与许多重要的数学对象息息相关，例如整数的平方和问题、丢番图方程的解、以及更抽象的代数结构。本书将首先介绍复上半平面的概念，以及模群（$SL(2,mathbb{Z})$）的结构和作用。随后，我们将详细定义模形式，包括其阶（weight）和指标（level）等重要参数。读者将学习如何构造模形式，例如著名的 $j$ 不变量，并理解其傅里叶展开（q-展开）的丰富信息，这些信息通常包含深远的数论意义。本书将特别关注模形式与整数性质之间的联系，例如表示整数为平方和的问题，以及如何利用模形式的性质来解决这些问题。椭圆函数与模形式之间存在着深刻而美妙的联系，这是本书的核心关注点之一。本书将详细阐述这种联系，特别是通过模函数（modular functions）这一桥梁。模函数是定义在复上半平面上的函数，它们在模群的作用下具有特定的变换性质，并且在模曲线上（modular curves）取有限值。本书将展示如何利用椭圆函数构造模函数，反之亦然。例如，利用椭圆函数的模周期可以构造出模函数。这种联系在数论中有着极其重要的地位。例如，著名的模方程（modular equation）和模算术（modular arithmetic）的许多概念都与模形式的性质密切相关。本书将探讨这些联系，并可能触及到更高级的主题，如伊斯坦布尔定理（Iwasawa theory）和谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture，现已证实为定理），这些猜想正是建立在椭圆曲线和模形式的深刻联系之上。此外，本书还将介绍一些与椭圆函数和模形式相关的应用。在代数几何中，椭圆曲线（椭圆函数所定义的代数曲线）是重要的研究对象，而模形式则提供了研究椭圆曲线性质的强大工具。在物理学中，虽然不属于本书的直接范畴，但椭圆函数和模形式的概念在弦理论、共形场论等领域也有着重要的应用。本书的结构设计旨在循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论和联系。我们将提供清晰的定义、严谨的证明以及丰富的例子，以帮助读者理解抽象的数学概念。对于具备一定复分析和代数基础的读者来说，本书将是一次深入探索数学前沿的绝佳机会。对于希望在数论、代数几何或其他相关领域进行进一步研究的数学专业学生和研究人员而言，本书将提供坚实的基础和宝贵的参考。本书的目标是让读者不仅仅掌握椭圆函数和模形式的计算技巧，更重要的是理解它们背后的深刻数学思想，认识到它们在数学不同分支中的核心地位，以及它们之间和谐而富有洞察力的联系。通过学习本书，读者将能够欣赏到数学之美，并为进一步的探索打下坚实的基础。