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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Hans Hermes

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1969-12-31

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540045014

丛书系列:

图书标签:

• 可枚举性
• 可判定性
• 可计算性
• 递归论
• 图灵机
• 形式语言
• 算法
• 逻辑学
• 数学基础
• 计算理论

《宇宙的织锦：从可数到不可知》 这是一部带领读者穿越数学、逻辑和计算机科学核心概念的宏伟史诗。它不仅仅是关于理论的罗列，更是一次对思维边界的深度探索，揭示了我们理解和构建世界的根本原则。本书将带领您领略那些塑造了我们现代科技景观，并深刻影响着我们对现实本质认知的抽象思想的演进。 第一卷：数起的奥秘——可数性与无限的边界 在浩瀚的数学宇宙中，数量的衡量是其最古老的追求之一。然而，当我们将目光投向无穷时，一个令人着迷的世界随之展开。本书的开篇，我们将深入探讨“可数性”这一核心概念。这不是简单地数数，而是对集合大小的精确定义，特别是那些可以与自然数一一对应的无限集合。您将在这里遇到集合论的先驱们，如康托尔，他们的革命性思想如何打破了人们对无限的直观理解，证明了并非所有无限都是等价的。 我们将从最基本的集合——自然数集开始，理解其“可数”的性质。随后，您将惊叹于有理数集，尽管看似比自然数密集，也同样是可数的。但真正的震撼来自实数集。通过反证法，我们将一同证明实数集的“不可数”，由此揭示了不同“大小”的无限，以及一个比可数无限更广阔的数学领域。本书将以清晰的语言和详实的例子，解释基数、序数等概念，让读者深刻体会到，在无限的领域，直觉往往会失效，严谨的逻辑才是唯一的指引。 第二卷：界限的探寻——可判定性与算法的疆域 一旦我们理解了集合的大小，一个自然而然的问题随之而来：我们能否系统性地判断一个给定的对象是否属于某个集合？这便是“可判定性”的领域。本书的第二部分将聚焦于这一深刻的哲学和数学问题。您将接触到形式语言、语法规则以及与这些相关的判定问题。 我们将探讨什么是“算法”，以及如何用数学的语言来精确描述一个计算过程。图灵机，这个抽象的计算模型，将成为我们理解可判定性的重要工具。通过图灵机的构造和工作原理，我们将学习如何将实际的计算问题转化为形式化的语言，并分析其可解性。 本书将深入讲解一系列著名的不可判定问题，其中最著名的莫过于停机问题。您将跟随逻辑学家的脚步，理解为什么存在某些问题，无论我们拥有多么强大的计算机，也永远无法找到一个普适的算法来解决它们。这不仅是对计算能力的极限的认知，更是对我们理解世界和解决问题的根本性限制的揭示。我们将探讨哥德尔不完备定理的深远影响，它如何揭示了任何足够强大的形式系统中都存在无法被证明的真理。 第三卷：计算的本质——可计算性与智能的边界 “可计算性”是本书的第三个也是最后一个核心支柱。它将我们带入算法思维的实践层面，并触及了人工智能的哲学根基。在这一部分，我们将超越理论的限制，开始思考什么才是“可计算”的。 您将学习到不同计算模型之间的等价性，如图灵机、Lambda演算、递归函数等，它们共同构建了“可计算性”的等价定义，这被称为丘奇-图兰定理。这些模型虽然形式不同，但它们能够解决的问题集是完全相同的，这有力地证明了我们对“可计算”这一概念的理解是稳固的。 本书将详细阐述可计算函数、不可计算函数等概念，并探讨其在现实世界中的应用。从早期的计算理论家如何构思自动化计算，到现代计算机科学中算法设计与分析的基石，可计算性理论无处不在。 我们将进一步探讨计算的极限，以及“智能”的本质。如果一切智能行为都可以被视为一种计算，那么我们能否通过构建足够复杂的计算模型来模拟甚至超越人类的智能？本书将引导您思考图灵测试的意义，以及强人工智能和弱人工智能的辩论。我们也会触及计算复杂性理论的早期思想，理解为什么有些可计算问题虽然有解，但解决起来却异常困难，其所需的计算资源会随着问题规模呈指数级增长。 结语：思维的火花与未来的远航 《宇宙的织锦：从可数到不可知》是一场穿越理性殿堂的旅程。它邀请您与伟大的思想家们并肩，共同剖析数学、逻辑和计算机科学的根基。本书的价值不仅在于它所传达的知识，更在于它激发出的思维方式——严谨、批判、以及对未知的不懈探索。 通过对可数性的深刻理解，我们学会了如何量化和区分无限。通过对可判定性的追问，我们认识到自身认知能力的局限。而对可计算性的探寻，则为我们理解现代科技的基石，并为思考人工智能的未来提供了深刻的洞见。 本书将让您意识到，我们所构建的数学和逻辑体系，不仅是抽象的工具，更是我们理解宇宙运行规律的语言。它将为您打开一扇通往更深层哲思的大门，让您重新审视自身在知识海洋中的位置，以及我们如何不断拓展认知的边界。无论您是数学爱好者、计算机科学的学生，还是对人类思维的本质充满好奇的读者，这本书都将成为您旅程中不可或缺的指南，点亮您前行的道路。

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