高等数学（含练习册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:宋继环 编

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页数:171

译者:

出版时间:2009-8

价格:29.80元

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isbn号码:9787811247688

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《高等数学》（含练习册）—— 探索数学的深度与广度 前言 数学，作为人类文明的基石，是理解世界、驱动科学进步的强大工具。它以其严谨的逻辑、精妙的结构，连接着抽象的思辨与生动的现实。当我们深入探索数学的奥秘，便会开启一扇通往更广阔知识领域的大门。本书《高等数学》（含练习册）正是为渴望在数学领域进行更深层次学习的读者量身打造的。本书力求以系统、清晰、富有启发性的方式，引导读者穿越抽象的数学符号，抵达其背后蕴含的深刻思想与应用。 第一部分：微积分——变化与无限的语言 微积分，作为高等数学的核心，是描述和分析变化过程的强大工具。它如同数学的“显微镜”，能够捕捉瞬息万变的现象，理解事物发展的规律。 第一章：函数与极限 函数的概念与性质: 本章将对函数的概念进行 rigorous 的梳理，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。我们将通过丰富的实例，展示不同类型函数（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）的特性及其在实际问题中的应用，如物理模型的描述、经济增长的预测等。 数列的极限: 数列是函数在离散点上的体现。本章将严谨定义数列的极限，并介绍无穷小、无穷大等重要概念。我们将学习判断数列极限存在性的方法，如单调有界定理，并探讨夹逼定理等工具，为后续的函数极限奠定基础。 函数的极限: 这是微积分的基石。我们将详细阐述函数的左极限、右极限以及双侧极限的概念，并给出 ε-δ 定义，让读者深刻理解极限的严格含义。我们将研究各种类型的极限，包括无穷大量、无穷小量的极限，以及特定情况下极限的存在性与计算方法。通过对极限的深入理解，我们可以窥探函数在趋近某一点时的“行为”。 无穷小与无穷大: 这两个概念是理解极限行为的关键。本章将深入分析无穷小与无穷大的性质，以及它们之间的关系。我们将学习如何利用无穷小的比较（如同阶无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小）来简化极限的计算，并理解如何处理包含无穷小或无穷大的复杂表达式。 极限的运算法则: 为了方便计算，本章将系统介绍极限的四则运算法则。我们将通过大量例题，展示如何运用这些法则来求解各种复杂函数的极限，包括利用因式分解、有理化、重要极限等技巧。 第二章：导数与微分 导数的概念与几何意义: 导数是描述函数变化率的根本工具。本章将从函数增量的比值出发，引入导数的定义，并从几何上理解导数作为曲线切线斜率的意义。我们将探讨可导性与连续性的关系。 导数的计算: 掌握导数的计算是微积分应用的基础。本章将系统介绍基本初等函数的导数公式，并详细讲解导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）以及隐函数求导法、参数方程求导法等。 微分及其运算法则: 微分是导数在 infinitesimal（无穷小）层次上的体现。本章将介绍微分的概念、微分的几何意义，以及微分的运算法则。我们将理解微分与导数的关系，以及微分在近似计算中的应用。 高阶导数: 许多实际问题需要分析变化的“变化率”，这便是高阶导数的应用。本章将介绍二阶导数、三阶导数乃至任意阶导数的概念和计算方法，并初步探讨高阶导数在描述曲线形状（如凹凸性）中的作用。 微分中值定理: 微分中值定理是连接函数值与其导数的重要桥梁。本章将重点讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。我们将理解这些定理的几何意义和理论价值，并学习它们在证明其他数学命题中的应用。 第三章：导数的应用 函数单调性与极值: 导数能够揭示函数的增减趋势。本章将利用一阶导数判断函数的单调性，并结合极值判别法（一阶导数判别法和二阶导数判别法）找到函数的局部最大值和最小值。 函数凹凸性与拐点: 高阶导数则能描述函数的弯曲程度。本章将利用二阶导数判断函数的凹凸性，并找到函数的拐点。 函数图形的绘制: 结合单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线的分析，本章将引导读者掌握绘制复杂函数图形的系统方法，从而直观地理解函数的整体形态。 曲率与渐近线: 本章将进一步拓展导数的应用，介绍曲率的概念，它描述了曲线弯曲的程度，以及如何计算和判断曲线的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。 洛必达法则: 对于含未定式（如0/0，∞/∞）的极限，洛必达法则提供了一种高效的求解方法。本章将详细介绍洛必达法则的条件和应用，并通过大量例子展示其在极限计算中的威力。 经济学中的应用: 微积分在经济学中有着广泛的应用，本章将介绍边际产量、边际成本、平均成本、利润最大化等概念，展示微积分如何帮助经济学家分析和优化经济决策。 第四章：不定积分 不定积分的概念与性质: 不定积分是导数的逆运算。本章将定义不定积分，并介绍其基本性质，如线性性质。我们将理解不定积分代表着一族函数。 基本积分公式: 本章将列举常用的基本积分公式，涵盖了常见初等函数的积分。 积分方法: 掌握各种积分方法是解决不定积分问题的关键。本章将详细讲解换元积分法（第一类和第二类）和分部积分法，并通过大量例题展示如何灵活运用这些方法。 有理函数的积分: 对于复杂的有理函数，本章将介绍部分分式分解法，将其转化为若干个易于积分的简单有理函数之和。 第五章：定积分 定积分的概念与性质: 定积分是描述函数在某个区间上“面积”或“累积量”的重要工具。本章将通过黎曼和的定义，引入定积分的概念，并探讨其基本性质，如线性性质、区间可加性等。 牛顿-莱布尼茨公式: 这是定积分计算的核心定理。本章将详细阐述牛顿-莱布尼茨公式（也称微积分基本定理），展示如何利用不定积分来计算定积分，极大地简化了定积分的计算过程。 定积分的计算: 在掌握了牛顿-莱布尼茨公式后，本章将进一步学习各种复杂的定积分计算技巧，包括利用换元法、分部积分法等计算定积分，以及处理瑕积分。 定积分的应用: 定积分的应用极其广泛。本章将展示定积分在计算几何图形的面积、体积（旋转体体积、肋体体积）、弧长、曲面面积、质心、转动惯量等方面的应用。同时，也将介绍其在物理学（如功、压力、流体动力学）和概率论（如概率密度函数）中的应用。 第二部分：多元函数微积分——更高维度的探索 当我们将视角从二维平面扩展到三维空间乃至更高维度时，就需要多元函数微积分来描述和分析多变量之间的复杂关系。 第六章：多元函数微分学 空间解析几何: 在进入多元函数之前，本章将回顾和拓展空间解析几何的基础知识，包括向量、直线、平面方程、二次曲面（球面、椭球面、抛物面、双曲面等）的方程和几何性质。 多元函数的概念: 本章将定义多元函数，特别是二元函数，以及它们的定义域、图像（曲面）等。 偏导数: 偏导数是衡量多元函数沿某一坐标轴方向变化率的工具。本章将详细定义偏导数，并介绍其计算方法，以及二阶偏导数。 全微分: 全微分是描述多元函数整体变化率的概念。本章将定义全微分，并学习其计算方法，以及全微分在近似计算中的应用。 方向导数与梯度: 方向导数描述了函数沿任意方向的变化率，而梯度则是函数增长最快的方向及其速率。本章将深入讲解方向导数和梯度的概念、计算及其几何意义。 多元复合函数求偏导数: 类似于单变量函数的链式法则，本章将推导和应用多元复合函数求偏导数，处理形如 $z = f(u,v)$ 且 $u = u(x,y), v = v(x,y)$ 的情况。 隐函数与隐函数求导: 本章将介绍隐函数的概念，并学习如何利用偏导数来求隐函数的导数。 泰勒公式: 类似于单变量函数的泰勒公式，本章将介绍多元函数的泰勒公式，用于函数在某点附近的近似展开。 极值与最优化: 本章将研究多元函数的极值问题，包括局部极值和全局极值，并学习如何利用偏导数来寻找极值点。同时，将介绍条件极值问题，并讲解拉格朗日乘数法。 第七章：多元函数积分学 二重积分: 二重积分是描述平面区域上函数“体积”或“质量”的工具。本章将定义二重积分，并介绍其性质。 二重积分的计算: 本章将重点讲解如何计算二重积分，包括利用直角坐标系和极坐标系下的积分方法。我们将学习如何根据被积函数和积分区域的形状来选择合适的坐标系和积分次序。 二重积分的应用: 二重积分在计算平面区域的面积、曲面的面积、物体的质心、转动惯量等方面有着重要的应用。 三重积分: 三重积分是描述空间区域上函数“超体积”或“总质量”的工具。本章将定义三重积分，并讲解其计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的积分。 三重积分的应用: 三重积分在计算空间区域的体积、质量、质心、转动惯量等方面有广泛应用。 第八章：向量场 向量场的概念: 本章将介绍向量场的概念，以及常见的向量场类型，如力场、速度场等。 散度与旋度: 散度描述了向量场在某点处的“源”或“汇”的强度，而旋度则描述了向量场在该点处的“涡旋”程度。本章将定义散度和旋度，并学习其计算和几何意义。 线积分: 线积分是沿着曲线对向量场进行积分。本章将定义第一类曲线积分（标量函数沿着曲线积分）和第二类曲线积分（向量场沿着曲线积分），并学习其计算方法。 格林公式: 格林公式是连接平面区域上的二重积分与区域边界上的线积分的重要定理。本章将详细阐述格林公式，并展示其在简化计算和理论证明中的应用。 曲面积分: 曲面积分是沿着曲面对向量场进行积分。本章将定义第一类曲面积分（标量函数沿着曲面积分）和第二类曲面积分（向量场沿着曲面积分），并学习其计算方法。 高斯公式（散度定理）: 高斯公式连接了空间区域上的三重积分与区域边界曲面上的曲面积分。本章将详细阐述高斯公式，并展示其在物理学（如电磁学、流体力学）中的重要应用。 斯托克斯公式: 斯托克斯公式连接了空间区域上的曲面积分与该曲面边界上的线积分。本章将详细阐述斯托克斯公式，并展示其在物理学和几何学中的应用。 第三部分：级数——无限求和的艺术 级数是研究无穷多项之和的数学工具，它在函数逼近、数值计算和许多数学理论中扮演着核心角色。 第九章：数列与级数 数列的收敛性: 回顾和深化数列极限的概念，重点关注数列的收敛与发散。 级数的概念: 本章将引入级数的概念，即无穷数列的和。我们将定义级数的收敛与发散，以及部分和数列。 收敛性判别法: 掌握判断级数收敛性的方法至关重要。本章将介绍正项级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。 敛散性: 重点讨论级数的敛散性概念，理解何时无穷多项的和能够得到一个有限的值。 任意项级数: 本章将引入交错级数，并介绍莱布尼茨判别法。同时，我们将讨论绝对收敛与条件收敛的区别。 第十章：幂级数与泰勒级数 幂级数: 幂级数是一种特殊的函数项级数，形式为 $sum_{n=0}^{infty} a_n (x-x_0)^n$。本章将讨论幂级数的收敛域和收敛半径，以及如何在收敛域内进行运算。 函数展开为幂级数: 许多重要的函数（如指数函数、三角函数、对数函数）都可以展开为幂级数。本章将介绍如何将函数展开为幂级数。 泰勒级数与麦克劳林级数: 泰勒级数是利用函数及其各阶导数在某点的值来展开函数的一种方法。麦克劳林级数是泰勒级数在 $x_0=0$ 处的特殊情况。本章将详细讲解泰勒级数的展开式，以及如何利用泰勒级数来近似计算函数值和求解微分方程。 级数的应用: 级数在数值计算、函数逼近、求解微分方程等领域有着广泛的应用。 练习册 本书配套的练习册包含了大量精心设计的习题，覆盖了本书各章节的内容。每道习题都力求体现理论知识的应用，并涵盖不同难度和类型，旨在帮助读者： 巩固理论知识: 通过练习，加深对抽象概念的理解。 熟练计算技巧: 掌握各种数学运算的技巧和方法。 培养解题能力: 学习如何分析问题、选择合适的方法并得出正确结论。 拓展思维: 遇到一些具有挑战性的题目，激发解决问题的热情和创造力。 练习册中的题目类型包括： 概念辨析题: 检验对基本概念的理解。 计算题: 训练熟练的计算能力。 证明题: 培养逻辑推理和严谨证明的能力。 应用题: 将理论知识应用于实际问题。 综合题: 考察综合运用多项知识解决复杂问题的能力。 结语 《高等数学》（含练习册）旨在为读者提供一个系统、深入的数学学习平台。本书不仅注重理论的严谨性，更强调数学思想的启发性与应用性。通过理论学习与大量练习的结合，我们相信读者能够在这个充满挑战与魅力的数学世界中，获得知识的提升，培养严谨的思维，并为未来在科学、工程、经济等领域的学习和工作打下坚实的基础。我们鼓励读者带着探索的精神，沉浸在这趟数学之旅中，发现数学的无限可能。

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