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页数:270

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出版时间:2009-8

价格:35.00元

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isbn号码:9787564026424

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• 应用数学
• 数学
• 高等教育
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• 工程数学
• 计算数学
• 数学模型
• 数值分析
• 优化方法
• 概率统计

《应用数学：概念、模型与解法》 书籍简介 《应用数学：概念、模型与解法》是一部旨在引导读者深入理解和掌握数学在现实世界中广泛应用的百科全书式的著作。本书并非简单罗列数学公式，而是致力于揭示数学思想的深层逻辑，以及它如何成为解决复杂问题的强大工具。从基础的代数与微积分，到现代科学领域至关重要的概率论、统计学、离散数学，乃至微分方程和数值分析，《应用数学》都将一一展现其在不同学科中的鲜活生命力。 本书的核心在于“应用”二字。我们相信，数学的价值体现在其解决实际问题的能力上。因此，本书的每一章节都紧密围绕着如何运用数学模型来描述、分析和预测现实现象而展开。从物理学中经典的力学模型，到经济学中的博弈论，再到生物学中的种群动态，以及计算机科学中的算法分析，都将通过具体的案例进行深入剖析。读者将学会如何识别问题的数学本质，如何构建恰当的数学模型，以及如何运用相应的数学工具来推导出有意义的结论。 本书结构与内容亮点 本书的编排遵循循序渐进的原则，力求让不同数学背景的读者都能从中受益。 第一部分：数学基石与建模入门 第一章：重温数学语言：变量、函数与图形 本章将回顾和深化读者对数学基本概念的理解，包括变量的类型与关系、函数的内涵与外延、以及利用图形直观展示函数特性的方法。我们将强调清晰的数学表述对于准确建模的重要性。 内容详述： 变量的分类与作用： 介绍独立变量、依赖变量、参数变量等，并阐述它们在描述现实世界变化中的角色。 函数的核心概念： 深入理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，以及如何通过函数来刻画事物间的依赖关系。 几何视角下的数学： 探讨代数表达式如何转化为几何图形，以及图形如何帮助我们理解抽象的数学关系，例如线性关系、二次关系等。 实际应用示例： 简要介绍如何用函数来描述物体的运动轨迹、经济增长率、或化学反应速率。 第二章：变化的度量：导数与积分的直观理解 本章将侧重于对微积分核心概念——导数与积分——的直观理解。我们将避免过于形式化的定义，而是通过物理学中的速度与位移、经济学中的边际效应与总成本等生动例子，来阐明导数表示变化率，积分表示累积效应的意义。 内容详述： 导数的意义：变化的速度 瞬时变化率：通过极限的思想，解释导数如何精确描述函数在某一点的瞬时变化速度。 物理中的应用：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。 经济学中的应用：边际成本、边际收益等概念的数学表达。 几何意义：切线的斜率。 积分的意义：累积的效果 定积分：通过黎曼和的思想，解释定积分如何计算曲线下面积，以及它在累积量计算中的作用。 物理中的应用：位移是速度的积分，功是力的积分。 经济学中的应用：总成本、总收益的计算。 几何意义：曲线下的面积。 微积分基本定理： 阐述导数与积分的内在联系，为解决复杂问题奠定基础。 第三章：构建数学模型：从现实到抽象的桥梁 本章是本书的起点，将引导读者学习如何将现实世界的问题转化为数学语言。我们将介绍模型的基本要素，包括变量选取、假设设定、方程建立等，并强调模型的简化与适用范围。 内容详述： 模型的重要性： 解释为何需要数学模型来理解和预测复杂系统。 模型构建的步骤： 1. 问题识别与界定： 明确要解决的问题及其边界。 2. 变量选取： 确定影响问题的关键因素，并将其表示为变量。 3. 假设设定： 为了简化问题，对现实进行必要的抽象和假设。 4. 数学关系的建立： 运用代数、几何、微积分等工具，将变量间的关系表达为数学方程或不等式。 5. 模型求解与分析： 运用数学方法解决模型，并解释结果的意义。 6. 模型验证与改进： 将模型预测结果与实际数据进行比较，并根据需要进行调整。 不同类型的模型： 简要介绍确定性模型、概率性模型、静态模型、动态模型等。 案例分析： 简单的直线运动模型。 人口增长的指数模型。 简化的供需平衡模型。 第二部分：核心数学工具与应用领域 第四章：概率论：量化不确定性 本章将介绍概率论的基本概念，包括随机事件、概率、条件概率、独立事件等，并深入探讨随机变量、期望、方差等关键概念，为统计分析和风险评估奠定基础。 内容详述： 随机事件与概率： 定义随机事件，讲解概率的几种解释（古典概率、统计概率、主观概率），以及概率的基本性质。 条件概率与独立性： 理解在已知某个事件发生的情况下，另一事件发生的概率如何变化；识别事件间的独立关系。 随机变量： 介绍离散型和连续型随机变量，以及它们的概率分布（例如二项分布、泊松分布、正态分布）。 期望与方差： 掌握期望作为随机变量平均值的意义，以及方差衡量随机变量离散程度的含义。 中心极限定理： 阐述其在统计推断中的重要性。 应用场景： 金融风险管理、产品质量控制、医学诊断的准确率分析、天气预报的不确定性量化。 第五章：统计学：从数据中发现规律 本章将聚焦于统计学，讲解如何收集、整理、分析和解释数据。我们将介绍描述性统计（均值、中位数、标准差等）和推断性统计（假设检验、置信区间）的核心方法，以及它们在决策制定中的应用。 内容详述： 数据的收集与描述： 抽样方法：介绍简单随机抽样、分层抽样等。 数据整理与可视化：图表（直方图、箱线图、散点图）的应用。 描述性统计量：均值、中位数、众数、方差、标准差、百分位数等。 统计推断： 参数估计：点估计与区间估计（置信区间）。 假设检验：理解原假设、备择假设、p值、第一类错误与第二类错误。 常见的假设检验方法：t检验、卡方检验、F检验。 回归分析： 建立变量间的定量关系模型，预测一个变量的值。 简单线性回归：解释自变量与因变量之间的线性关系。 多元线性回归：分析多个自变量对因变量的影响。 应用场景： 市场调研、社会科学研究、医学试验评估、产品性能分析。 第六章：线性代数：多维空间的语言 本章将介绍线性代数的核心概念，包括向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等，并阐述它们在计算机图形学、数据科学、物理学以及工程领域的广泛应用。 内容详述： 向量与空间： 理解向量的概念、运算（加法、数乘），以及它们如何构成向量空间。 矩阵： 介绍矩阵的定义、运算（加法、数乘、乘法），以及矩阵在表示线性变换中的作用。 线性方程组： 高斯消元法：求解线性方程组的系统方法。 矩阵的逆：在求解方程组中的应用。 行列式：判断方程组解的性质。 特征值与特征向量： 揭示矩阵在特定方向上的伸缩性质，其在数据降维（PCA）、稳定性分析中的关键作用。 应用场景： 计算机图形学：三维变换、投影。 数据科学：主成分分析（PCA）、支持向量机（SVM）。 物理学：量子力学、电路分析。 工程学：结构分析、信号处理。 第七章：微分方程：描述动态系统 本章将深入讲解常微分方程和偏微分方程的基本理论与求解方法，并展示它们在模拟自然界和工程领域中各种动态变化过程中的核心地位。 内容详述： 微分方程的引入： 解释微分方程如何描述事物随时间或空间的变化率。 常微分方程（ODE）： 一阶微分方程：分离变量法、积分因子法。 二阶线性微分方程：常系数线性方程的求解。 微分方程的建模应用：人口增长、放射性衰变、电路模型、弹簧振子模型。 偏微分方程（PDE）： 概念与分类：介绍热传导方程、波动方程、拉普拉斯方程等。 求解方法概览（不深入）：简单介绍分离变量法、特征线法等。 PDE的建模应用：天气预报、流体力学模拟、电磁场分析。 数值解法简介： 介绍欧拉法、龙格-库塔法等数值求解方法，用于处理解析解难以获得的复杂问题。 第八章：数值分析：计算的艺术 本章将介绍数值分析的基本思想和常用算法，着重于如何通过近似计算来解决解析解难以获得或不存在的问题，包括插值、逼近、方程求根、数值积分和微分方程的数值解法。 内容详述： 误差分析： 理解数值计算中的截断误差和舍入误差。 插值与逼近： 多项式插值：拉格朗日插值、牛顿插值。 样条插值：保证曲线的平滑性。 方程求根： 二分法、试位法。 牛顿-拉夫逊法：迭代求解的效率。 数值积分： 梯形公式、辛普森公式：近似计算定积分。 数值微分： 有限差分法：近似计算导数。 微分方程的数值解： （此处可以简要重复或深化第七章内容） 应用场景： 工程仿真、科学计算、金融建模、图像处理。 第九章：离散数学：算法与结构 本章将介绍离散数学的核心概念，包括集合论、图论、组合数学、逻辑学等，并重点阐述它们在计算机科学、信息论、运筹学等领域的关键作用。 内容详述： 集合论基础： 集合、子集、并集、交集、差集、幂集等。 图论： 图的定义、表示（邻接矩阵、邻接表）。 图的遍历：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）。 图的连通性、最短路径算法（Dijkstra算法）。 树：二叉树、图的生成树。 组合数学： 排列与组合：计数的基本原理。 二项式定理。 容斥原理。 逻辑学基础： 命题逻辑、谓词逻辑。 应用场景： 计算机科学：算法设计与分析、数据结构（链表、树、图）、网络路由。 信息论：编码理论。 运筹学：资源分配、调度问题。 数据库：关系代数。 第三部分：进阶主题与跨学科应用 第十章：优化方法：寻找最佳解决方案 本章将介绍优化方法，包括线性规划、非线性规划、整数规划等，并展示它们在资源分配、生产调度、投资组合优化等现实问题中的应用。 内容详述： 优化的目标： 最大化或最小化某个目标函数。 约束条件： 线性约束、非线性约束。 线性规划： 基本概念：可行域、最优解。 图解法（二维情况）。 单纯形法（概念介绍）。 应用：生产计划、运输问题、指派问题。 非线性规划： 概念与挑战。 梯度下降法：迭代求解。 应用：参数估计、模型校准。 整数规划： 概念与应用：0-1背包问题、旅行商问题。 动态规划： 解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。 第十一章：傅立叶分析与信号处理 本章将介绍傅立叶级数和傅立叶变换，展示如何将复杂的信号分解为简单的正弦和余弦波的叠加，以及它在信号处理、图像压缩、数据分析中的重要作用。 内容详述： 周期函数的傅立叶级数： 将周期信号分解为不同频率的余弦和正弦分量。 傅立叶变换： 将非周期信号分解到频率域。 频谱分析： 理解信号的频率成分。 应用场景： 信号处理：音频降噪、滤波。 图像处理：图像压缩（JPEG）、边缘检测。 通信系统：调制解调。 数据分析：周期性模式检测。 第十二章：数学建模的综合案例研究 本章将通过几个跨学科的综合案例，展示如何整合本书所学的各种数学工具来解决实际问题。这些案例可能涵盖： 环境模型： 如气候变化模型、污染物扩散模型。 金融模型： 如期权定价模型、风险管理模型。 生物模型： 如流行病传播模型、基因调控网络模型。 社会科学模型： 如交通流量模型、经济预测模型。 内容详述： 针对每个案例，将详细阐述： 问题的背景与提出。 如何识别关键因素并设定假设。 选择并构建合适的数学模型。 运用相关数学工具进行求解和分析。 对模型结果的解释和局限性讨论。 可能存在的模型改进方向。 本书特色 强调直观理解： 力求用清晰的语言和生动的例子解释抽象的数学概念，使读者能够真正“看见”数学。 注重建模过程： 不仅教授数学工具，更强调如何将现实问题转化为数学模型，以及如何解释模型结果。 广泛的应用视角： 涵盖物理、工程、经济、生物、计算机科学、社会科学等多个领域，展示数学的普适性。 循序渐进的结构： 从基础概念到进阶主题，层层递进，适合不同数学基础的读者。 案例驱动的学习： 大量结合实际应用案例，让学习过程更具趣味性和实践性。 读者对象 《应用数学：概念、模型与解法》适合所有对数学在现实世界中的应用感兴趣的读者。这包括但不限于： 大学本科生和研究生： 特别是理工科、经济学、计算机科学、统计学等专业的学生，本书可以作为教材或重要的参考书。 科研人员与工程师： 在工作中需要运用数学工具解决实际问题的专业人士。 数据科学家与分析师： 提升数据分析能力，深化对统计学和模型方法的理解。 对数学抱有好奇心和求知欲的社会人士： 希望了解数学如何影响我们生活的方方面面，并学习如何运用数学思维解决问题。 通过阅读《应用数学：概念、模型与解法》，您将不仅掌握一套强大的数学工具，更能培养一种用数学视角观察世界、分析问题、解决挑战的能力。这本书将是您探索科学、技术、经济和社会奥秘的一把金钥匙。

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