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流体力学：理论物理学系列课程 本书内容聚焦于流体力学的基础理论框架，深入探讨流体运动的守恒定律、本构方程以及在不同边界条件下的行为。本书旨在为物理学、应用数学及工程学领域的研究者和高年级学生提供一套严谨且全面的理论工具。 第一部分：流体力学基础与运动学 本书首先从流体力学的基本概念入手，确立研究流体的基本观点——连续介质模型。我们详细阐述了描述流体运动的拉格朗日和欧拉两种描述方法，并展示了它们之间的联系，特别是物质导数（或随体导数）的定义及其物理意义，这是理解流体微团运动变化的关键。 运动学部分对流场进行了细致的数学刻画。我们引入了速度场 $mathbf{u}(mathbf{x}, t)$ 及其梯度张量 $
abla mathbf{u}$。张量的分解是本章的核心内容：速度梯度被分解为对称的应变率张量 $E_{ij} = frac{1}{2} (frac{partial u_i}{partial x_j} + frac{partial u_j}{partial x_i})$ 和反面对称的旋转率张量（或涡量密度张量）$Omega_{ij} = frac{1}{2} (frac{partial u_i}{partial x_j} - frac{partial u_j}{partial x_i})$。旋转率张量直接导出了涡量矢量 $oldsymbol{omega} =
abla imes mathbf{u}$，这对于分析流体的旋转和平流现象至关重要。 场的形变率通过迹（Trace）来衡量，迹定义了速度场的散度 $
abla cdot mathbf{u}$，即体积膨胀率。本书将散度的概念与质量守恒定律紧密联系起来，为后续的动力学分析奠定基础。此外，我们深入讨论了流线、迹线和尘埃轨迹的概念，并利用流场微分性质分析了流动的不可压缩性（$
abla cdot mathbf{u} = 0$）和无旋性（$
abla imes mathbf{u} = mathbf{0}$）。 第二部分：流体力学动力学——守恒定律 本部分的核心在于建立描述流体运动的微分方程组，这些方程是基于牛顿第二定律和质量守恒定律的推广。 质量守恒方程（连续性方程）： 基于物质微团的质量守恒，我们推导出了适用于可压缩和不可压缩流体的连续性方程： $$frac{partial
ho}{partial t} +
abla cdot (
ho mathbf{u}) = 0$$ 对于定常流动和不可压缩流动，该方程简化为简洁的形式，突出了不可压缩流体保持体积不变的物理特性。 动量守恒方程（纳维-斯托克斯方程）： 这是流体力学中最基本、最重要的方程。我们从牛顿第二定律 $frac{Dmathbf{P}}{Dt} = sum mathbf{F}$ 出发，考虑单位体积上作用的体积力（如重力）和表面力（压力和粘性应力）。 对于牛顿流体，应力张量 $sigma_{ij}$ 与应变率张量成线性关系，引入了粘度系数 $mu$ 和体积粘性系数 $lambda$（对于Stokes假设下的可压缩流体）。本书详尽地推导了纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, N-S）方程，其矢量形式为： $$
ho left( frac{partial mathbf{u}}{partial t} + (mathbf{u} cdot
abla) mathbf{u}
ight) = -
abla p + mu
abla^2 mathbf{u} + mathbf{f}$$ 其中，左侧是流体的质量乘以加速度（惯性项），右侧是作用在流体上的合力密度（压力梯度项、粘性扩散项和体积力项）。 能量守恒方程： 我们基于热力学第一定律（能量守恒）推导了适用于流体的能量方程。该方程考虑了热传导（傅里叶定律）和粘性耗散（粘性应力做功）。这使得我们能够处理温度变化对流体性质（如密度和粘度）的影响，尤其是在处理高超声速流或温度梯度显著的流动时。 本构关系与本构方程的引入： 为了封闭上述偏微分方程组，我们需要引入状态方程（如理想气体状态方程 $p =
ho R T$）和描述流体内部摩擦特性的本构关系。本书详细区分了牛顿流体和非牛顿流体，并重点分析了牛顿流体的粘性项形式，讨论了 Stokes 假设 ($
abla cdot mathbf{u} = 0$ 时应力张量的迹为零) 的物理意义。 第三部分：特殊流动问题的解析解与简化 在理论物理的框架下，本书着重于那些允许精确解析求解的简化流动模型，这些模型揭示了物理机制的本质。 粘性与惯性力的平衡：雷诺数： 我们引入了无量纲化分析，导出了描述流动特征的雷诺数 ($ ext{Re} = frac{
ho U L}{mu}$)。雷诺数是判断粘性力与惯性力相对重要性的关键参数，是理解层流到湍流过渡的基础。 经典的解析解案例： 1. 库埃特流动（Couette Flow）： 讨论了在两平行平板间，一个平板运动，另一个静止时流体的速度剖面，这是典型的剪切流动的例子，展示了线性速度分布的精确解。 2. 泊肃叶流动（Poiseuille Flow）： 分析了在圆形管道中，受稳定压力梯度驱动的层流，导出了抛物线速度分布，并精确计算了体积流量与压降的关系。 3. 斯托克斯流动（Stokes Flow）： 针对极低雷诺数（黏性占绝对优势）的情况，N-S方程中的惯性项可以忽略，我们求解了简化后的斯托克斯方程，例如著名的斯托克斯拖曳定律，用于计算球体在粘性流体中低速运动的阻力。 伯努利方程的严格推导： 基于动量方程的积分形式，并在不可压缩、无粘性（$mu=0$）和定常流动的假设下，我们严格推导出伯努利方程： $$p + frac{1}{2}
ho u^2 +
ho g z = ext{常数}$$ 我们详细讨论了该积分常数（伯努利常数）在不同流线上的性质，并指出了其在非保守力场或非定常流动中的局限性。 第四部分：势流理论与流线函数 本部分处理了无粘、不可压缩流动，即欧拉方程的特殊情形，引入了势流的概念。 速度势与流函数： 对于不可压缩流动，引入速度势 $phi$ ($mathbf{u} =
abla phi$) 使得连续性方程自动满足（因为 $
abla cdot mathbf{u} =
abla^2 phi = 0$）。这使得二维问题转化为求解拉普拉斯方程。在二维情况下，我们引入流函数 $psi$ ($mathbf{u} = (frac{partial psi}{partial y}, -frac{partial psi}{partial x})$)，其中 $psi$ 的等值线即为流线。 共形映射（Conformal Mapping）： 运用复变函数理论，本书展示了如何使用共形映射将简单的基本势流（如均匀流、点源、汇、偶极子）映射到复杂的几何形状（如机翼剖面），从而精确求解绕流问题。这部分深入探讨了达朗贝尔佯谬（D'Alembert's Paradox）的根源，即无粘流体中对绕流物体升力和阻力预测的失效性，从而引出边界层理论的必要性。 第五部分：边界层理论的引入 认识到在实际高雷诺数流动中，粘性效应仅集中在靠近固体壁面的狭窄区域，本书引入了普朗特（Prandtl）的边界层理论。 边界层方程的推导： 基于对N-S方程中各项量级的合理估计，我们导出了简化后的边界层动量方程，该方程显著降低了计算复杂性，同时保留了流动分离等关键物理现象的描述能力。我们详细分析了边界层的厚度、速度剖面的特征，并对平板上的定常、等温、不可压缩流动应用了普朗特/布劳修斯（Blasius）的相似解，展示了如何通过自相似解来解决一个高阶常微分方程组，从而计算出壁面剪切应力和阻力系数。 流动分离： 书中明确讨论了边界层分离的条件——逆压梯度（外流场压力随主流方向增加，$frac{dp}{dx} > 0$），并解释了分离点对物体绕流（如机翼失速）的关键影响。 总结： 本书提供了一个从基本公理到复杂解析解的连贯且严谨的理论体系，是理解流体运动深层物理规律的必备参考。
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