Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Johnson, Claes

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 21.41

装帧:

isbn号码:9780486469003

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图书标签:

• 有限元方法
• 偏微分方程
• 数值分析
• 科学计算
• 工程数学
• 数值解
• 计算数学
• FEM
• PDE
• 数值模拟

《偏微分方程数值解法：有限差分方法》 内容概述 本书深入探讨了偏微分方程（PDEs）的数值求解技术，重点聚焦于有限差分方法（Finite Difference Method, FDM）。本书旨在为读者提供一个全面而扎实的理论基础与实际操作指南，使他们能够有效地处理各种工程和科学问题中遇到的偏微分方程。 本书结构严谨，从偏微分方程的基本概念和分类入手，逐步过渡到有限差分法的核心原理、网格生成、离散化技术，直至复杂边界条件和高维问题的处理。内容覆盖了椭圆型、抛物型和双曲型方程的经典算例，并包含了先进的迭代求解技术和稳定性分析。 第一部分：偏微分方程基础与有限差分法的理论基石 第1章：偏微分方程简介与分类 本章首先回顾了偏微分方程在物理学和工程学中的重要性，如流体力学中的纳维-斯托克斯方程、传热学中的热传导方程以及波动理论中的波动方程。重点阐述了二阶线性偏微分方程的分类——椭圆型、抛物型和双曲型——及其对应的物理意义和数学特性。讨论了定常态问题、瞬态扩散问题和波动传播问题的数学模型构建。 第2章：函数的差商近似与精度分析 本章聚焦于有限差分法的数学核心：如何用离散点上的函数值来近似导数。详细介绍了前向差分、后向差分和中心差分公式的推导过程，基于泰勒级数展开，精确分析了每种差分格式的截断误差和收敛阶数（如一阶、二阶精度）。同时，引入了非均匀网格下的差分近似，为处理复杂几何形状做准备。 第3章：一维问题的离散化与求解 以一维泊松方程和一维对流-扩散方程为例，系统地展示如何将偏微分方程转化为代数方程组。详细讨论了边界条件的离散化处理，包括Dirichlet条件、Neumann条件和Robin条件在边界网格点上的具体实现。对于稳态问题，展示了如何构建三对角矩阵，并利用追赶法（Tridiagonal Matrix Algorithm, TDMA）高效求解，显著降低计算复杂度。 第二部分：多维问题的求解与稳定性分析 第4章：二维和三维问题的差分格式 将有限差分方法扩展到二维和三维空间。重点讨论了二维泊松方程的五点格式和九点格式的构建，以及在笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系下的离散化差异。深入分析了处理非正交网格和曲线边界时遇到的挑战，并引入了坐标变换和边界拟合技术。 第5章：瞬态问题的差分解法 本章专门处理抛物型方程（如热传导方程）和双曲型方程（如对流方程）。 对于抛物型方程，详细比较了三种主要的显式和隐式时间推进方法： 1. 前向欧拉法（Explicit Forward Euler）：实现简单，但受限于CFL条件。 2. 后向欧拉法（Implicit Backward Euler）：无条件稳定，但每一步都需要求解代数方程组。 3. Crank-Nicolson法：兼具高精度和良好的稳定性，是实际应用中的常用选择。 对每种方法都进行了严格的稳定性、收敛性和精度分析，特别是利用冯·诺依曼稳定性分析法来确定显式格式的限制。 第6章：对流占优问题的处理与激波捕捉 针对双曲型方程（如纯对流方程），传统的中心差分格式容易在存在强梯度或激波时产生非物理振荡。本章引入了专门处理这类问题的技术： 1. 迎风格式（Upwind Schemes）：利用信息流方向进行差分，有效抑制数值弥散。 2. 高分辨率格式：如TVD（Total Variation Diminishing）格式，旨在保持解的平滑区域的高精度，同时限制非物理振荡的产生。 第三部分：大型系统的迭代求解与高级主题 第7章：大型稀疏线性系统的迭代求解器 在二维和三维问题中，离散化后的代数方程组通常规模巨大且高度稀疏。本章系统介绍了求解这类系统的迭代方法，这些方法比直接求解法更具可行性： 1. 经典迭代法：雅可比法（Jacobi）、高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）。 2. 加速迭代法：共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）及其在对称正定系统中的应用。 3. 预处理技术（Preconditioning）：解释了如何通过预处理（如不完全Cholesky分解或多项式预处理）来加速迭代收敛速度，这是求解大规模问题的关键技术。 第8章：处理非线性偏微分方程 许多重要的物理模型（如Navier-Stokes方程）本质上是非线性的。本章探讨了如何将非线性PDEs转化为非线性代数方程组，并介绍主要的求解策略： 1. 线性化技术：如牛顿法（Newton's Method）和皮卡迭代（Picard Iteration），通过迭代求解一系列线性系统来逼近非线性解。 2. 时间步进中的非线性处理：讨论了在隐式时间积分方案中如何结合牛顿法进行耦合求解。 第9章：网格生成与自适应网格加密 高质量的网格是保证数值解精度的前提。本章探讨了： 1. 结构化网格：适用于规则几何体。 2. 非结构化网格的构建简介：为处理复杂边界（虽然主要侧重FDM，但也提及与其它方法的融合点）。 3. 自适应网格加密（Adaptive Mesh Refinement, AMR）：根据局部误差估计（如梯度信息或余量分析）自动调整网格密度，将计算资源集中在解变化剧烈的区域，实现效率与精度的优化平衡。 附录 附录包含常用数学工具的复习，如线性代数基础、傅里叶分析在稳定性分析中的应用，以及常见编程语言（如Fortran或C++）实现有限差分算法的基本框架指导。 本书内容翔实，理论与实践并重，特别适合作为高等工程数学、计算物理、计算流体力学等专业领域本科高年级或研究生层次的教材及参考书。

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我被这本书的章节结构和内容编排所深深吸引。作者显然在组织材料方面花费了大量心思，使得整本书的逻辑流畅，过渡自然。它不是将 Finite Element Method 的各个组成部分孤立起来讨论，而是将它们有机地串联起来，形成一个完整的知识体系。从最基础的数学背景介绍，到变分原理的推导，再到单元的选取和组装，最后是如何处理非线性和时变问题，每一个环节都显得顺理成章。我尤其喜欢作者在引入新概念时，总是会先回顾前面学过的知识，并说明新概念与旧知识之间的联系。这种“温故而知新”的方式，极大地减轻了我的学习压力。而且，书中并没有回避 Finite Element Method 中可能存在的难点和挑战，反而以一种坦诚的态度去探讨它们，并提出一些解决问题的思路和方法。这让我感觉作者非常尊重读者，并且乐于分享自己的经验和见解。这种扎实而又富有洞察力的内容，使得本书不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的导师，在耐心细致地指导我学习 Finite Element Method。我感觉自己不仅仅是在阅读一本书，更像是在与一位真正的专家进行对话，从中汲取宝贵的知识和智慧。

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这本书在理论深度和工程应用之间的平衡做得非常好，我非常欣赏这一点。它既没有像一些理论书籍那样，止步于抽象的数学推导，也没有像一些工程手册那样，过于侧重于操作步骤而忽略了背后的原理。作者在讲解 Finite Element Method 的数学理论时，始终紧密结合着实际的应用场景。例如，在介绍离散化方法时，他会立即指出这种方法在处理复杂几何形状时的优势，以及如何将其应用于实际的工程问题。书中不仅有详细的理论推导，更有大量的工程实例分析，涵盖了结构力学、流体力学、传热学等多个领域。这些实例的选择非常具有代表性，能够充分展示 Finite Element Method 在解决各种实际问题中的强大威力。我特别喜欢书中对具体算法的剖析，比如如何选择合适的单元类型，如何处理边界条件，以及如何进行网格优化等。这些内容对于工程师来说，具有非常直接的指导意义。它让我明白，Finite Element Method 不仅仅是一个理论工具，更是一个能够解决现实世界问题的强大武器。这种理论与实践的有机结合，让我在学习过程中，既能够深入理解 Finite Element Method 的本质，又能够将其有效地应用到自己的工作和研究中。

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这本书在语言表达上，给我留下了深刻的印象。它避免了那种生硬、枯燥的学术语调，而是采用了一种清晰、流畅、且富有条理的语言风格。作者在解释 Finite Element Method 的各个环节时，总是能够用非常生动和易于理解的语言来描述。我尤其欣赏它在引入一些数学概念时，会尽量避免使用过于专业化的术语，或者在首次出现时就给出明确的解释。这种“化繁为简”的处理方式，极大地降低了我的阅读难度。而且，作者在行文过程中，善于运用类比和比喻，将抽象的数学概念与更熟悉的物理现象联系起来，使得理解过程更加直观。我感觉作者在写作时，就好像一位经验丰富的老师，耐心地解答着每一个可能出现的疑问。这种高质量的语言表达，使得本书不仅仅适合那些已经有一定数学和物理基础的读者，也能够吸引那些初次接触 Finite Element Method 的读者。阅读这本书，就像是在与一位博学而友善的朋友交流，从中学习到知识，并且感到愉悦。我从未想过，一本关于数值方法的书籍，也能读起来如此轻松和富有启发性。

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尽管这本书的主题听起来相当专业，但我惊讶地发现它在解释复杂概念时，并没有采用那种“堆砌术语”的晦涩方式。作者似乎花了大量的精力去思考如何将有限元方法的核心思想，以一种循序渐进、易于接受的方式传达给读者。例如，在介绍离散化过程时，他并没有直接抛出高深的数学表达式，而是先从一个非常基础的例子入手，比如简单的二维区域的划分，然后逐步引入基函数、积分方程的弱形式，再到方程组的形成。每一个步骤都伴随着清晰的文字说明和逻辑推理，让人感觉作者是在一步步地引导我们走进 Finite Element Method 的世界，而不是强行拉我们进去。更难能可贵的是，书中穿插的例题和习题都经过精心设计，它们不仅能够帮助读者巩固所学知识，更能启发读者思考。这些题目往往不是简单的计算题，而是需要读者运用所学理论去分析问题、解决问题。我尝试做了其中的几个，发现它们确实有效地加深了我对 Finite Element Method 的理解，让我能够将理论与实际联系起来。有时候，一道巧妙的习题，胜过十页枯燥的理论阐述。这本书在这方面做得非常出色，它鼓励读者主动思考，而不是被动接受。这种教学设计，对于培养独立思考能力和解决问题的能力至关重要，也让我在阅读过程中充满了成就感。

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这本书的排版和图示着实让人眼前一亮。从封面设计到内页布局，都透露着一种严谨而又人性化的气息。我特别欣赏它在数学公式和算法伪代码的呈现方式上。公式的字体大小、间距都经过精心设计，阅读起来非常舒适，不会因为堆叠在一起而感到压抑。而且，每当引入一个重要的概念或定理时，作者都会辅以清晰的图示。这些图示不是简单的示意图，而是包含了丰富的细节，能够帮助读者直观地理解抽象的数学原理，比如网格的划分、插值函数的选取、边界条件的施加等等。这一点对于我这种更偏向于工程实践，但又需要扎实理论基础的读者来说，简直是福音。我曾经翻阅过一些同类的书籍，常常因为图文并茂的程度不足而感到困惑，需要花费大量时间去脑补画面。但在这本书中，我几乎没有遇到这样的问题。作者似乎深谙“一图胜千言”的道理，巧妙地将复杂的概念具象化，大大降低了理解门槛。而且，图示的风格也统一而专业，没有那种廉价的、拼凑感。即使是没有直接参与过数值模拟项目的读者，也能通过这些图示对有限元方法的实际操作有一个大概的了解。这种对细节的关注，使得本书在众多同类教材中脱颖而出，成为一本真正能够引导读者入门并深入理解的优秀读物。

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从偏数学的角度介绍有限元和边界元方法，但不涉及复杂的数学证明，有关泛函分析的内容都是直接给出结论。

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从偏数学的角度介绍有限元和边界元方法，但不涉及复杂的数学证明，有关泛函分析的内容都是直接给出结论。

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从偏数学的角度介绍有限元和边界元方法，但不涉及复杂的数学证明，有关泛函分析的内容都是直接给出结论。

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从偏数学的角度介绍有限元和边界元方法，但不涉及复杂的数学证明，有关泛函分析的内容都是直接给出结论。