Contemporary College Algebra and Trigonometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brooks Cole

作者:Thomas W. Hungerford

出品人:

页数:992

译者:

出版时间:2004-10-07

价格:USD 200.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534466657

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 大学数学
• 高等数学
• 函数
• 方程
• 图形
• 数学分析
• 预微积分
• 数学教材

好的，这是一份关于一本假设的、与《Contemporary College Algebra and Trigonometry》内容无关的数学教材的详细简介，旨在符合您的要求： --- 高级微积分：理论、应用与证明 作者： [此处可填写虚构作者姓名] 出版社： [此处可填写虚构出版社名称] ISBN： [此处可填写虚构ISBN] 内容导览 《高级微积分：理论、应用与证明》是一本专为数学、物理、工程学以及计算机科学等领域的高年级本科生和初级研究生设计的综合性教材。本书的编写目标是为读者建立一个坚实而深入的微积分理解基础，侧重于极限的严格定义、连续性的拓扑学观点，以及基于实数系统 $mathbb{R}$ 的理论构建。本书超越了传统单变量微积分的计算导向，全面深入地探讨了多元函数的微积分、级数展开的收敛性分析，以及随之而来的微分方程理论。 本书结构严谨，既注重概念的清晰阐述，又强调数学证明的严密性，旨在培养读者从基础公理出发进行逻辑推理的能力。 --- 第一部分：实数系统与一元函数极限的严格化 本部分旨在巩固读者对微积分基础——实数系统的理解，并用 $varepsilon-delta$ 语言对极限、连续性和导数的概念进行精确的、无歧义的定义。 第1章：预备知识与实数系统基础 本章回顾了集合论的基本概念，并引入了实数集 $mathbb{R}$ 的完备性公理（如戴德金截割或基本序列的定义）。我们将详细讨论有界性、上确界原理（Supremum Principle），并利用这些公理来证明诸如中间值定理（Intermediate Value Theorem）的严格版本。本章也将简要介绍扩展的实数系统 $overline{mathbb{R}}$，为无穷大（$infty$）的引入做铺垫。 第2章：极限的精确定义与拓扑视角 本章的核心在于$varepsilon-delta$ 极限定义的彻底阐述和应用。读者将学习如何构造和验证严格的极限证明。我们将引入邻域（Neighborhood）的概念，并从拓扑空间的初步角度审视序列的收敛性。我们将证明关于极限的代数定律，并探讨单侧极限与双侧极限的关系。 第3章：连续性与一致连续性 本章从极限的框架出发，定义函数的连续性。我们将证明连续函数的性质，包括在闭区间上的有界性和达到其界限的点。重点讨论一致连续性（Uniform Continuity）与普通连续性之间的区别，并利用 Heine-Cantor 定理来阐明一致连续性的重要性。本章还将涉及连续函数在紧致集上的映射性质。 第4章：导数、中值定理与黎曼可微性 在建立严密的连续性基础后，本章重新定义了导数。我们将详细证明均值定理（Mean Value Theorem）及其推论，特别是Rolle 定理。随后，我们将探讨L'Hôpital 法则的严格证明，并分析导数的几何和物理意义。本章结束时，将讨论导数的局部性质，以及导数运算中的陷阱和例外情况。 --- 第二部分：积分的理论基础与黎曼-斯蒂尔切斯积分 第二部分将超越传统的计算技巧，专注于定积分的理论构建，引入黎曼积分的精确定义，并将其推广到更一般的积分形式。 第5章：黎曼积分的构造 本章详细介绍了黎曼和（Riemann Sum）的概念，并以此为基础定义了黎曼可积性。我们将探讨上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）的概念，并判定哪些函数（如不连续点有限的函数）是黎曼可积的。本章着重于证明微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的两个部分，强调其作为微分与积分之间桥梁的作用。 第6章：积分的性质与广义积分 本章深入探讨可积函数的集合性质。我们将讨论积分的线性、单调性以及反向积分。随后，引入广义黎曼积分（Improper Integrals），处理积分区间趋于无穷大或被积函数存在奇点的情况。我们将使用比较判别法来严格判断广义积分的收敛性。 第7章：黎曼-斯蒂尔切斯积分导论 为了处理更广泛的应用，本章引入了黎曼-斯蒂尔切斯积分。它允许我们将积分与一个递增函数 $g(x)$ 相关联，从而扩展了积分的适用范围，特别是对于描述概率密度函数或处理物理学中的间断载荷问题。本章将比较黎曼积分与黎曼-斯蒂尔切斯积分的收敛性条件。 --- 第三部分：多变量微积分与向量分析 本部分将分析在 $mathbb{R}^n$ 空间中的函数，重点在于偏导数、多重积分的变量替换以及格林、斯托克斯和高斯定理的严格表述。 第8章： $mathbb{R}^n$ 空间与多元函数的偏导数 本章首先建立了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的拓扑结构（范数、内积、开集与闭集）。随后，我们将多元函数定义为从 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^m$ 的映射，并严格定义偏导数和方向导数。我们将详细讨论梯度向量的定义及其与最速下降方向的关系。 第9章：多元函数的微分与泰勒定理 本章引入多元函数的全微分（Total Differential），区分其与偏导数的区别。核心内容是多元函数版本的链式法则，其证明过程需要对方向导数的极限严格分析。我们将推导并证明 $mathbb{R}^n$ 上的泰勒定理，分析二阶偏导数（Hessian 矩阵）在确定极值点时的作用。 第10章：多重积分与变量变换 本章从二重积分和三重积分开始，定义黎曼积分在多维空间中的推广。本章的难点和重点在于雅可比行列式（Jacobian Determinant）在多重积分变量替换中的作用。我们将通过一系列实例（如极坐标、柱坐标、球坐标）来演示如何利用雅可比行列式将复杂区域上的积分转化为简单区域上的积分。 第11章：线积分、面积分与基本定理 本章是向量微积分的高潮。我们定义了向量场（Vector Fields）和线积分（Line Integrals），并探讨了保守场（Conservative Fields）的性质及其与势函数（Potential Functions）的关系。随后，我们转向面积分（Surface Integrals）。本章最后将全面、严格地证明三大核心定理：格林定理（Green's Theorem）、斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和散度定理/高斯定理（Divergence Theorem）。 --- 第四部分：级数、收敛性与傅里叶分析基础 本部分关注无穷序列和无穷级数的收敛性，并为后续的微分方程和偏微分方程提供必要的分析工具。 第12章：序列与级数的收敛性分析 本章从序列的极限定义出发，深入研究无穷级数 $sum a_n$ 的收敛性。我们将详细讨论柯西准则（Cauchy Criterion for Series Convergence），并系统性地介绍比较检验法、比值检验法、根值检验法以及积分检验法。本章的重点是区分条件收敛（Conditional Convergence）与绝对收敛（Absolute Convergence），并证明黎曼级数定理的推论。 第13章：幂级数与函数展开 本章专注于幂级数 $sum c_n (x-a)^n$ 的结构。我们将利用比值检验法来确定幂级数的收敛半径和收敛区间。随后，我们将学习如何对已知的函数（如 $e^x, sin x, cos x$）进行泰勒级数展开，并利用拉格朗日余项（Lagrange Remainder）来证明级数展开的准确性。本章还将介绍傅里叶级数的基本概念，作为理解周期函数分解的初步尝试。 --- 附录与补充材料 附录A： 线性代数回顾：矩阵、行列式与线性变换。 附录B： 拓扑学初步：度量空间的基本概念。 附录C： 微分方程引言：一阶常微分方程的解法示例。 本书特色： 1. 证明驱动： 每项重要结论均附有详细、可追溯的证明，强调推理的逻辑链条。 2. 概念清晰： 使用一致的 $varepsilon-delta$ 语言，确保对微积分基础概念的严格掌握。 3. 深度与广度兼顾： 覆盖了从一元函数到多元函数，再到级数展开的完整内容体系，为研究生阶段的学习打下坚实基础。 本书是为那些不满足于仅会“计算”微积分，而渴望理解其“为何如此”的严肃学生和研究人员而作。

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这本厚重的教材一拿到手里，我就被它那严谨的封面设计和扎实的纸张质感所吸引。我当时正面临着大学数学基础的挑战，特别是代数和三角函数的概念对我来说总是有些抽象。初翻阅时，我立刻注意到作者在构建知识体系上的匠心。他们似乎非常注重循序渐进，每一个新的定理或公式都不会凭空出现，而是有清晰的铺垫和逻辑推导。例如，在处理复杂函数图像的平移和伸缩时，教材并没有简单地给出一个公式了事，而是配上了大量的可视化图形示例，甚至还附带了对这些变换背后的数学原理的深入剖析，这让我这个“视觉学习者”感到如沐春风。书中的例题设计也十分巧妙，从基础的代数运算，到需要综合运用三角恒等式的应用题，难度梯度把握得非常到位。我特别喜欢那些“挑战自我”的部分，它们往往能激发我深入思考，而不是机械地套用模板。总而言之，这本书的排版清晰，结构严谨，为我打下坚实的数学基础提供了可靠的蓝图，让我对即将到来的高等课程充满了信心。

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我必须承认，这本书在概念的连贯性和逻辑的完整性上做得非常出色，这是我用过的其他几本教材所不具备的优势。尤其是在微积分预备知识的讲解部分，作者处理指数和对数函数的方式简直是教科书级别的典范。他们没有急于展示复杂的求导公式，而是花费了大量的篇幅来解释这些函数是如何从实际问题（比如复利计算或放射性衰变）中自然产生的，这种“从需求中诞生数学”的叙事方式极大地增强了学习的动机。书中的图表质量令人印象深刻，每一个函数图像都清晰无误，标签和坐标轴的标注都精确到毫米。更棒的是，它在每一章的末尾都设置了详尽的复习总结，用项目符号清晰地列出了本章的核心概念和需要掌握的技巧。对我来说，这就像一个随时可以查阅的“知识清单”，极大地提高了我的复习效率，避免了在知识点之间迷失方向。

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这本书的装帧和内容深度让我觉得，它不仅仅是一本应付考试的工具书，更像是一份对数学美的致敬。我最欣赏它在解析几何和极坐标转换那一块的论述，它将代数的简洁性与几何的直观性完美地结合了起来。作者在讲解如何从笛卡尔坐标转换到极坐标时，不仅给出了转换公式，还深入探讨了不同坐标系下描述同一曲线（比如螺旋线）的“优雅程度”差异。这种对数学美学的追求，是那些只关注计算的教材所不具备的。此外，书中的习题集难度分布非常合理，从基础的机械练习到需要创造性思维的综合应用题，层次分明，确保了读者不会因为太简单而感到无聊，也不会因为太难而产生畏难情绪。读完这本书，我感觉自己不再是那个被数学公式追赶的人，而是有能力去欣赏和驾驭这些强大工具的人，它拓宽了我的数学视野，让人对这门学科产生了更深层次的敬意。

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说实话，刚开始接触这本教材时，我内心是有些抵触的，因为它看起来实在是太“学院派”了。我更习惯那种更口语化、更贴近生活场景的讲解方式，而这本书似乎更偏向于纯粹的数学理论阐述。然而，随着学习的深入，我逐渐领会到这种“冷峻”背后的价值。它迫使我停止依赖捷径，真正去理解数学语言的精确性和普适性。书中对三角函数的周期性和对称性的探讨尤其深刻，它没有满足于仅仅告诉你 $sin(x)$ 是周期的，而是细致地论证了为什么，以及这种周期性在解决物理振动问题中的核心地位。对于像我这样需要跨学科应用的读者来说，这种深度是无可替代的。虽然初读时可能会觉得有些枯燥，需要反复研读才能完全消化，但一旦你掌握了其中的精髓，你会发现自己对整个数学世界的理解都提升了一个层次。它不是一本“速成手册”，而是一份值得珍藏的数学“内功心法”。

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作为一名非数学专业，但课程要求必须修习的工科生，我对于教材的要求是：高效、实用，并且能快速将理论转化为解决实际问题的工具。从这个角度衡量，这本书的表现可以说是中规中矩，但有一些细节处理得非常人性化。比如，在涉及大量几何证明时，作者会特意在旁白中提醒读者，哪些步骤是基于欧几里得几何的基本公理，哪些是基于代数推导的，这种“知识溯源”的标注对于我们这些需要快速建立知识体系的读者非常有帮助。书中后半部分关于向量和矩阵初步介绍的部分，虽然篇幅不算多，但清晰地展示了它们如何与三角函数（如旋转矩阵）相结合，这对我后续学习线性代数和计算机图形学起到了很好的导向作用。唯一的小遗憾是，一些非常前沿或小众的应用案例略有欠缺，但我明白，作为一本基础教材，保持核心概念的扎实远比面面俱到更为重要。

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