Geometric Transformations III (New Mathematical Library, No. 24) (Bk. 3) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mathematical Association of America (MAA)

作者:I. M. Yaglom

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1973-06

价格:USD 29.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883856246

丛书系列:

图书标签:

• 几何变换
• 数学
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几何变换的深度探索：从基础到前沿的数学之旅 本书深入探讨了在一系列拓扑结构和代数框架下，几何对象所经历的变换。它旨在为那些对几何学、拓扑学以及相关应用数学领域有浓厚兴趣的读者提供一个全面而严谨的视角。本书的结构设计旨在引导读者逐步理解几何变换的本质，从欧几里得空间中的刚体运动，扩展到更抽象的度量空间和函数空间中的形变。 第一部分：欧几里得空间中的基础变换 本部分聚焦于我们最熟悉的 $mathbb{R}^n$ 空间，对所有保持距离和角度的变换——刚体运动——进行详尽的分析。 1.1 欧几里得群 $E(n)$ 的结构 我们从定义欧几里得群 $E(n)$ 开始，它是平移群 $T(n)$ 和正交群 $O(n)$ 的半直积。详细阐述了旋转矩阵（特殊正交群 $SO(n)$）和反射（正交群 $O(n)$）的性质。通过考察其李代数，我们揭示了这些变换在无穷小尺度上的行为，特别是关于无穷小旋转的性质及其在三维空间中的角动量解释。 1.2 相似变换与仿射变换 在考察了刚体运动之后，我们将分析那些保持平行性但不一定保持距离的变换——相似变换。进一步地，我们引入了仿射变换，这是对线性变换和平移的推广。重点分析了仿射变换的行列式如何影响体积的缩放，并讨论了共线性的保持特性。本节通过对投影几何基础的引入，为后续的透视变换打下坚实的基础。 1.3 刚体运动的分解与刚体坐标系 详细讨论了任意刚体运动都可以唯一地分解为一个旋转和一个平移。引入了固定点（或旋转轴）的概念。对于 $n$ 维空间，我们通过寻找不变子空间来系统地分类所有可能的刚体运动。这部分内容对应用物理学和机器人学中的运动学分析至关重要。 第二部分：射影几何与透视变换 本部分将视角的焦点从保持度量的变换转移到保持直线性（但非平行性）的变换，这是计算机图形学和光学成像的数学基础。 2.1 齐次坐标与射影空间 引入齐次坐标 $(mathbf{x}, w)$ 来统一处理所有仿射变换和一些特殊的“无穷远”点或线。我们详细阐述了如何将欧几里得空间嵌入到射影空间 $mathbb{P}^n$ 中，并解释了射影变换（即具有可逆的 $n+1$ 阶矩阵表示的变换）的性质。 2.2 射影变换的群论性质 射影变换构成了射影群 $ ext{PGL}(n+1, mathbb{R})$。我们分析了该群的作用，特别是它保持“交比”（cross-ratio）不变的特性。通过研究双比的性质，读者将深入理解射影变换的本质——它们如何将直线映射到直线，以及如何处理平面上的透视投影。 2.3 透视变换与单应性 重点研究二维射影空间 $mathbb{P}^2$ 上的变换，即平面上的单应性（Homography）。我们使用 $3 imes 3$ 矩阵来表示这些变换，并讨论如何通过匹配图像中的对应点来计算该变换矩阵。本节还探讨了退化情况，例如点映射到线或线映射到点的情况。 第三部分：度量空间与等距变换 将分析的范围扩展到更一般的空间，关注保持度量（距离）的变换。 3.1 黎曼流形上的等距 介绍了黎曼流形的基本概念，特别是度量张量 $g_{ij}$。等距（Isometry）被定义为保持黎曼度量的微分同胚。我们探讨了等距群（Isometry Group）的性质，它是一个紧致的李群（在连通流形上）。 3.2 测地线与 Killing 向量场 在黎曼几何的背景下，我们分析了等距如何与测地线（两点间最短路径）相关联。通过引入 Killing 向量场，我们展示了等距群的生成元如何与流形的对称性直接相关。对于常曲率空间（如双曲空间和球面），Killing 向量场的结构得到了明确的计算。 3.3 拓扑空间的等距 在更抽象的拓扑度量空间中，我们研究了保持度量的映射。虽然这通常导致更强的限制（例如，在完备度量空间中，等距映射通常是同胚），但这种视角有助于理解保形变换和双曲度量下的几何结构。 第四部分：微分几何中的变换与流 本部分将注意力转向光滑流形上的微分结构，考察由向量场诱导的局部坐标变换。 4.1 流形上的向量场与流 详细定义了光滑流形 $M$ 上的向量场 $X$。向量场 $X$ 沿着时间 $t$ 的积分曲线定义了一个局部单参数群的变换，称为流 $phi_t$。我们分析了流的生成性，即 $phi_t$ 的无穷小生成元就是向量场 $X$ 本身。 4.2 变换对张量的作用 研究流如何作用于流形上的几何对象，特别是张量。这包括李导数（Lie Derivative）的概念。李导数衡量了一个几何量（如度量张量、微分形式）如何随着流动的方向和强度而变化。我们展示了李导数在确定一个对象是否是流的“守恒量”方面的关键作用。 4.3 保体积与保面积变换 在 $n$ 维流形上，我们关注那些保持 $n$ 形式（体积形式 $omega$）的变换，即 $mathcal{L}_X omega = 0$。对于辛几何，我们探讨了哈密顿流，它们不仅保体积，而且与特定的能量函数相关联，这在经典力学中具有根本意义。 结论 本书通过多层次的数学工具——群论、线性代数、射影几何以及微分几何——系统地解构了“几何变换”这一核心概念。它不仅回顾了经典的结果，更将这些概念置于现代数学的框架下进行考察，为读者后续深入研究微分拓扑、广义相对论或计算几何打下了坚实的基础。

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这本《几何变换 III》的封面设计，初看之下，就给人一种古典与现代交织的视觉冲击。那深邃的蓝色背景，仿佛是宇宙深处浩瀚的星空，点缀其上的金色线条和符号，犹如古老的数学手稿被重新赋予了生命力，线条的交织与旋转，直观地预示了书中所探讨的那些令人着迷的映射与对称。我拿起它，首先是被那种厚重而又不失精巧的装帧所吸引，纸张的触感是那种略带粗粝的哑光质地，让人感到踏实，不像一些当代数学书籍那样追求轻薄和光鲜。翻开扉页，清晰的排版立刻抓住了我的注意力，字体选择优雅而易读，大段的文字流露出一种严谨的学术气息，但关键的定理和公式又被巧妙地用粗体或斜体强调出来，使得阅读的节奏感非常流畅。它不像那些晦涩难懂的纯理论著作，更像是一位经验丰富的向导，正准备带领我们穿越一系列复杂的几何空间，去探索那些隐藏在变换背后的基本规律。我特别欣赏的是，作者在章节的开头通常会用一段引人入胜的文字来铺陈即将介绍的变换的直观意义，这极大地降低了初学者对抽象概念的畏惧感，让人感觉学习过程不是被动接受，而更像是一场主动的探索和发现。从第一印象来看，这本书的装帧和版式设计无疑是成功的，它成功地在学术的严肃性和阅读的愉悦性之间找到了一个精妙的平衡点，让人对后续的深入阅读充满了期待。

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在阅读过程中，我注意到作者对历史脉络的梳理，处理得相当到位，这使得这本书的学术底蕴显得尤为深厚。它不仅仅是一本关于“如何做”几何变换的技术手册，更像是一部关于数学思想演变的编年史。例如，在介绍莫比乌斯变换时，书中穿插了一段关于黎曼球和复平面拓扑性质的简短回顾，同时不忘提及庞加莱和克莱因等先驱的贡献，这使得原本冰冷枯燥的数学公式背后，有了鲜活的、充满人类智慧斗争的影子。这种对背景知识的尊重和补充，让读者在学习新工具的同时，也能感受到数学科学发展的宏大叙事。我尤其欣赏作者在讨论不同几何学派（如欧氏几何、射影几何、拓扑学）对“变换”这一概念的侧重点差异时所展现出的洞察力。书中清晰地指出了，在欧氏几何中我们关注保持距离和角度的变换，而在拓扑学中，我们只关心那些可以连续变形而不撕裂的映射。这种对比的呈现，极大地拓展了我对“变换”一词的理解边界，不再局限于简单的移动和旋转，而是开始用更广阔的视角去审视空间结构的不变量。

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这本书的逻辑推进，简直可以称得上是教科书级别的范例，那种循序渐进的引导方式，仿佛作者深知读者在每一步会遇到的思维障碍，并提前设置了“垫脚石”。我刚开始阅读关于群论在变换中应用的章节时，那些抽象的代数结构一度让我感到有些迷茫，但作者并没有直接丢出复杂的定义，而是先从欧几里得空间中的刚体运动——平移、旋转、反射——这些最直观的几何操作入手，巧妙地将这些操作抽象成群的元素，然后逐步引入同构、子群的概念。这种“从具体到抽象，再从抽象回归具体应用”的结构，极大地增强了理解的深度。举个例子，在讨论相似变换时，作者不仅详细推导了矩阵表示，还配上了大量的二维和三维的图形示例，每一个箭头、每一个角度的变化都标注得清清楚楚，使得即便是最复杂的剪切和拉伸操作，也能在脑海中形成清晰的动态图像。更令人赞叹的是，作者在解释完基础变换后，立刻转向了更高级的主题，比如射影几何中的透视变换，这之间的过渡处理得无比丝滑，完全没有生硬的割裂感。这种结构上的连贯性，让读者在不知不觉中，已经从基础的刚体运动，跨越到了更高维度的空间映射，阅读体验是渐进式的，充满了一种“原来如此”的豁然开朗感。

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这本书的习题设计，简直是数学学习者的一场严峻而又充实的考验。它们绝不是那种简单的代入公式就能得出答案的例行公事，而是真正需要动脑筋去构建论证和推导的挑战。我尝试做了几道章节末尾的“进阶练习”，发现它们大多要求读者将前文介绍的不同类型的变换（比如欧氏变换与仿射变换的组合）进行融合应用，或者要求从更基本的公理出发来重新证明某个高级定理，这迫使我必须脱离书本上的标准推导路径，自己去构思一个完整的逻辑链条。这些习题的难度梯度设置得非常合理，前面几道是巩固性的，让你熟悉操作；中间的开始引入需要创造性思维的证明；而最后几题则往往需要跨章节的知识点整合。完成这些题目后，那种成就感是无与伦比的，感觉自己真正掌握了这部分知识的精髓，而不是仅仅记住了公式。此外，书中对于一些关键步骤的解答，也做到了点到为止，它不会把每一步都写得清清楚楚，而是留出一定的“思考空间”，这恰恰是优秀数学教材的标志——它引导你思考，而不是替你思考。

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相较于许多同类书籍侧重于纯粹的代数矩阵运算，这本《几何变换 III》在可视化和直觉培养方面做得尤为出色，这对于一个偏向空间思维的学习者来说，简直是如获至宝。作者似乎深知，几何学的魅力在于其视觉冲击力，因此在很多抽象概念的阐述中，都巧妙地植入了对“图形”的描述和想象引导。例如，当讲解共轭变换时，书中不仅仅给出了代数上的定义式，更通过描述一个物体在不同坐标系下被“扭曲”和“拉伸”的过程，来辅助理解这种变换对空间结构的深层影响。我发现，每当我遇到一个难以理解的抽象变换时，只需要在脑海中快速回放书中关于某个特定图形（比如一个圆、一个矩形）在该变换下的运动轨迹，原本困惑我的数学符号立刻就变得具象化了。这种强烈的视觉导向，让整个学习过程变得生动有趣，大大减少了枯燥感。它成功地搭建起了一座桥梁，连接了冰冷的线性代数和我们对三维世界的直观感知，让人在学习高深数学的同时，也享受到了几何之美带来的纯粹乐趣。

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