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经典力学：从牛顿到拉格朗日体系的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面且深入的经典力学框架，覆盖从基础的运动学和动力学原理，到高级的分析力学方法。我们避免了与电动力学相关的任何内容，专注于物质的宏观和微观运动规律的描述与求解。 --- 第一部分：基础与运动学——运动的几何描述 本部分建立理解力学系统的基础，着重于精确描述物体的位置、速度和加速度，而不涉及产生这些运动的力。 第一章：参考系与基本概念 我们将从伽利略变换和牛顿运动定律的语境中定义惯性系和非惯性系。详细讨论位移、速度、加速度的向量表示法，以及描述曲线运动所需的瞬时速度和曲率半径的概念。运动的描述将严格限制在三维欧几里得空间内，引入自然坐标系（如径向、切向和法向坐标）来简化特定运动路径的分析。 第二章：平面与空间中的运动学 本章深入探讨二维和三维运动的解析方法。对于平面运动，我们将应用微分方程来求解抛物线（如斜抛运动的理想化模型）和圆周运动的轨迹。对于空间运动，重点在于描述螺旋线、摆线等复杂轨迹的参数方程表示。引入角速度和角动量在描述旋转运动中的关键作用，并严格区分角速度的矢量性质和其描述的转动角度的标量性质。 --- 第二部分：牛顿力学——力的作用与动力学分析 本部分是经典力学的核心，围绕牛顿三大定律展开，用于建立描述系统随时间演化的微分方程。 第三章：牛顿定律与守恒量 详细阐述牛顿第一、第二和第三定律的物理意义及其适用范围。第二定律 $(mathbf{F} = mmathbf{a})$ 将被用作建立系统运动方程的基本工具。本章将重点讨论动量守恒定律的推导及其在碰撞问题（弹性与非弹性）中的应用。我们将分析系统内部和外部力的作用，并明确区分保守力和非保守力。 第四章：功、能与势能 能量概念在力学分析中的中心地位被确立。定义功的微积分表达式，并推导出动能定理。势能的概念被引入，并严格限定其存在的条件（力场必须是保守场）。深入探讨保守力场中的势能函数形式，如引力势能和弹性势能。动能与势能的和——机械能——作为系统状态的重要量度被强调。 第五章：中心力问题与万有引力 本章集中分析形式为 $mathbf{F}(mathbf{r}) = f(r)hat{mathbf{r}}$ 的力场问题。重点是二体问题（如行星绕日运动）的求解。通过坐标变换将问题简化为绕原点的单粒子运动。利用角动量守恒性质，证明轨道必然是圆锥曲线（椭圆、抛物线或双曲线），并推导出开普勒定律的数学基础，完全基于牛顿万有引力定律。 第六章：刚体动力学基础 刚体被定义为内部任意两点间距离保持不变的理想化系统。引入刚体的质心概念及其运动方程。重点是描述刚体的旋转运动，包括转动惯量（面积矩）的计算，特别是平行轴定理和转轴定理的应用。利用牛顿第二定律的转动形式——力矩等于角动量对时间的导数——来求解复杂刚体的定轴转动问题，如陀螺仪的进动。 --- 第三部分：分析力学——变分原理与广义坐标 本部分将经典力学的描述从绝对的笛卡尔坐标系提升到更抽象、更强大的数学形式，主要基于达朗贝尔原理和拉格朗日力学。 第七章：约束与广义坐标 详细分析“约束”在力学系统中的作用。区分完整约束、非完整约束、以及光滑与粗糙约束。引入广义坐标 $q_i$ 的概念，作为描述系统构型的最小独立变量集。讲解如何使用拉格朗日乘子法处理受完整约束的系统动力学方程的构建。 第八章：达朗贝尔原理与虚功原理 达朗贝尔原理被严格推导，作为从静力学原理过渡到动力学分析的桥梁。虚功原理（Principle of Virtual Work）被用作建立系统的静态平衡和准静态运动方程的基础。这些原理是后续推导拉格朗日方程的数学前提。 第九章：拉格朗日力学 本章的核心是欧拉-拉格朗日方程（或称为拉格朗日方程）。首先定义拉格朗日量 $L = T - V$（动能减去势能），并导出运动方程。我们将利用拉格朗日力学简洁地处理复杂的约束系统，例如单摆、双摆和在斜面上滚动的圆柱体，这些问题在牛顿力学中需要复杂的约束力分析。 第十章：循环坐标与守恒量（诺特定理的前驱） 分析拉格朗日量不显含某一特定广义坐标 $q_k$（即 $partial L / partial q_k = 0$）的物理意义。证明此时对应的广义动量 $p_k = partial L / partial dot{q}_k$ 是守恒的。这为理解诺特定理中“对称性导致守恒量”奠定了直观基础，而无需直接引入群论概念。 第十一章：哈密顿力学——相空间的概念 从拉格朗日量过渡到哈密顿量 $H = sum_i p_i dot{q}_i - L$。本章建立哈密顿正则方程，这些一阶微分方程组构成了相空间中的运动轨迹。详细讨论哈密顿量在保守系统中的意义（即能量守恒）。引入相空间的概念，描述系统状态的几何表示，这是后续深入研究的基础。 --- 第四部分：进阶主题与波动现象 本部分涵盖了经典力学中超越基础牛顿或拉格朗日体系的几个重要应用领域。 第十二章：微扰理论在力学中的应用 处理那些不能精确求解的系统，即拉格朗日量中含有微小非线性项（摄动项）的情况。介绍时间无关和时间依赖的微扰方法，用于近似计算受微小干扰的系统（如非简谐振子）的频率修正和轨道变化。 第十三章：经典振动理论 深入分析一维和多维的线性振动系统。对于多自由度系统，使用正交特征向量的概念来解耦运动方程，找到系统的正常模式（本征频率和振型）。分析阻尼振动（过阻尼、欠阻尼和临界阻尼）的响应特性，并讨论受迫振动中的共振现象。 第十四章：连续介质的运动学与动力学 将力学概念推广到不可压缩流体和弹性介质。从流体的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程（仅限于基本的力学形式，不涉及流体力学中的热力学或扩散项）的推导入手，讨论伯努利原理的严格推导。在弹性介质方面，讨论应力与应变的关系，建立描述弹性波传播的偏微分方程。 附录 A：微积分基础回顾 附录 B：张量分析入门（用于描述惯量张量和应力张量） 附录 C：常微分方程的解法
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