Mathematik. Geometrie 2. 7./8. Klasse. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9783580636265

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• Geometrieunterricht

精选几何学原理与实践：面向中学阶段的深度探索 本书聚焦于构建扎实的几何学基础，并辅以丰富的应用实例，旨在引导学生从直观理解迈向严谨的逻辑推理。它并非仅仅是教科书的补充，而是一部旨在深化理解、拓展视野的独立学习资源。 --- 第一部分：欧几里得几何的基石与逻辑构建 (Foundations and Logical Structures in Euclidean Geometry) 本篇章深入剖析了欧几里得几何的公理化体系，强调几何证明的结构与严谨性。我们不满足于接受结论，而是着力于探究结论的得出路径。 第一章：点、线、面与基本公设的重塑 本章首先回顾了平面几何中的基本元素——点、线、面，并对其进行了更精确的定义和属性探讨。重点在于对平行公设的深入分析，探讨其在不同几何体系中的地位。 1.1 几何对象的精确描述： 从集合论的角度初步审视点、直线、平面的关系。探讨线段、射线、直线的本质区别与联系。 1.2 角的度量与分类的深化： 不仅限于平面上的角度，还引入了空间中方向角的初步概念。讨论角度加法公理的普适性。 1.3 欧几里得体系的逻辑起点： 详细解析欧几里得五大公设，特别是对第五公设的论证和历史演变。引导学生思考“不证自明”的边界。 第二章：全等与相似：变换视角下的几何论证 本章的核心在于理解几何变换（平移、旋转、反射）如何支撑起全等与相似的判断标准。我们强调变换在证明中的直观性和工具性。 2.1 全等的判定标准与证明策略： 系统梳理SSS, SAS, ASA等标准，并引入特殊的等腰三角形性质在证明中的应用。讨论如何利用全等构造辅助线段。 2.2 相似性的内在联系： 从比例关系出发，探讨三角形相似（AA, SAS, SSS）的条件。重点在于理解相似比在面积和体积缩放中的作用。 2.3 几何变换的代数表达（初步）： 简要介绍坐标系如何帮助我们理解和验证平移、旋转的几何性质，为后续解析几何打下基础。 第三章：平面图形的精确计算与性质分析 本章侧重于对多边形和圆的深入研究，将面积和周长的计算提升到与性质分析并重的地位。 3.1 多边形内角和与外角和的推导： 不仅限于n边形，探索具有旋转对称性的多边形性质。 3.2 圆的几何结构： 深入探讨圆心角、圆周角定理，以及圆内接四边形的对角互补性质。圆的弦、切线、割线的性质分析及其相互关系。 3.3 不规则图形的分割与重组： 介绍如何通过几何分割（如分割法、剪贴法）来计算复杂图形的面积，强调几何直觉与代数计算的结合。 --- 第二部分：空间几何与三维世界的直观构建 (Spatial Geometry and Intuitive Construction in Three Dimensions) 本篇章将视野从二维平面拓展至三维空间，培养学生建立空间想象力和进行空间推理的能力。 第四章：直线、平面在空间中的相对位置 空间几何学的起点在于理解基本元素间的关系，这要求学生具备清晰的“正射影”思维。 4.1 空间公理与基本定理： 详细阐述“一点确定一平面”、“两平面交线”等空间公理，并运用这些公理证明线面关系。 4.2 垂直关系的确立： 深入探讨线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理。重点在于理解“三垂线定理”在实际应用中的重要性。 4.3 平行关系的空间表达： 区分线线平行、线面平行、面面平行。通过向量思想的萌芽（不涉及正式向量计算，仅作概念引导），理解空间中的“等效性”。 第五章：多面体与旋转体：结构与体积 本章侧重于对常见三维实体的结构分析、表面积计算以及体积公式的推导。 5.1 棱柱与棱锥： 侧重于直棱柱、斜棱柱的侧面展开图。重点分析棱锥的顶点、侧棱和斜高等概念。讨论欧拉公式（V-E+F=2）在简单多面体中的应用。 5.2 柱、锥、台的体积公式推导： 通过切割与积分思想的直观引导（不涉及微积分），推导出圆柱、圆锥、棱柱和棱锥的体积公式，强调体积与底面积和高的线性关系。 5.3 球体的几何特性： 探索球体的表面积和体积公式的来源。讨论球面上两点间的最短距离（大圆弧）的概念。 第六章：几何体的截面与投影 这是连接二维与三维的关键章节，要求学生精确想象和描绘三维图形在二维平面上的表现。 6.1 截面的性质分析： 学习如何通过平面与多面体的交线来确定截面的形状（如平面截球体得到圆，平面截棱锥得到多边形）。 6.2 正投影与斜投影： 详细讲解正投影（如三视图）的绘制规则和所需信息。理解投影如何丢失部分空间信息，以及如何通过不同视图的组合来还原三维结构。 6.3 空间图形的展开图： 掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面展开图的绘制技巧，这对于理解表面积计算至关重要。 --- 第三部分：几何的代数化与坐标系的应用 (Algebraization of Geometry and Coordinate Applications) 本篇章引入解析几何的初步工具，展示如何使用代数方法解决几何问题，极大地增强了解决复杂问题的能力。 第七章：平面直角坐标系下的几何 本章将几何图形转化为坐标点集，是几何思维向解析思维转变的关键一步。 7.1 坐标系的建立与点的位置表示： 复习笛卡尔坐标系的构建，理解坐标对点的唯一确定性。 7.2 两点间距离公式的几何推导： 详细展示如何利用勾股定理导出距离公式，这是解析几何的基石。 7.3 中点坐标与线段的定比分点公式： 深入理解中点公式在几何分割问题中的作用。 第八章：直线方程的几何意义 本章专注于直线的代数表示，及其与几何性质的对应关系。 8.1 斜率的概念及其几何意义： 探讨斜率（倾角）与直线倾斜程度的关系，特殊情况（水平线、垂直线）的处理。 8.2 直线的点斜式与两点式： 掌握利用已知信息建立直线方程的方法。 8.3 两直线的位置关系： 利用斜率判断两条直线是否平行或垂直，并计算它们的交点坐标，实现几何交点问题的代数求解。 第九章：初步的曲线描绘与几何性质 本章将对圆和部分二次曲线（如抛物线）进行初步的坐标描述，展示几何图形的代数本质。 9.1 圆的标准方程： 从圆的定义（到定点距离相等）出发，推导出圆的标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。 9.2 几何性质的代数验证： 运用坐标系，验证如“垂直于半径的直线是切线”等基本定理，通过计算斜率的乘积来体现几何关系。 9.3 简单的几何轨迹问题： 介绍如何根据给定的几何条件（如距离和、差等）反求出点的运动轨迹方程。 --- 本书的特色在于： 理论阐述力求清晰严谨，避免过度依赖高级数学工具，而是通过构造性的证明和直观的图示来深化理解。每一章节都配有大量的“思考与挑战”习题，这些习题不仅考察基础计算，更侧重于引导学生发现隐藏的几何联系，培养其独立构建几何模型的能力。通过对欧氏几何逻辑的打磨和向解析几何的过渡，确保学生在进入更高阶的数学学习前，能够对几何学的内在美感和强大的解决问题的潜力有深刻的体会。

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