Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Lawrence C. Evans

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:1990-3-1

价格:USD 19.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821807248

丛书系列:

图书标签:

• 弱收敛
• 非线性偏微分方程
• 数值分析
• 有限元方法
• 谱方法
• 变分法
• 泛函分析
• 数值解
• 数学建模
• 偏微分方程

随机过程、金融工程与复杂系统中的分析方法：概率论、变分法与偏微分方程的交汇 作者: [虚构作者姓名 A] & [虚构作者姓名 B] 出版社: [虚构出版社名称] 出版年份: 2024 --- 图书概述 本书深入探讨了随机过程理论、现代金融建模、复杂系统分析以及它们与分析工具（特别是概率论、随机分析和经典的偏微分方程（PDEs）理论）之间深刻的相互作用。本书的撰写旨在为高级研究生和研究人员提供一个坚实的理论框架，用以理解和解决那些本质上具有随机性、非线性和多尺度特征的实际问题。我们聚焦于概率度量下的收敛性、鞅论、随机控制、量化金融中的定价与风险管理，以及随机偏微分方程（SPDEs）的经典解与弱解理论的交集，而不涉及非线性偏微分方程中纯粹的确定性弱收敛方法。 本书的结构围绕三大核心支柱构建：概率空间与随机度量、随机分析与金融衍生品，以及随机场与统计物理模型。通过严谨的数学推导和丰富的应用案例，我们力图揭示随机性如何渗透到从宏观经济波动到微观粒子扩散的各种现象之中。 第一部分：概率空间、随机度量与收敛性理论 本部分奠定了理解随机现象的数学基础，重点关注概率测度空间的结构及其上的收敛概念，这些概念是随机分析的基石。 第1章：概率空间基础与随机变量的度量结构 本章回顾了测度论在概率论中的应用，重点讲解了 $sigma$-代数、可测映射和概率测度的构造。我们深入探讨了随机变量的分布函数、特征函数（矩量生成函数）的性质，以及随机向量的联合分布。核心内容包括大数定律（强与弱）的经典证明及其在统计推断中的意义。 第2章：随机收敛的比较与拓扑结构 本章对比了不同类型的收敛性：依概率收敛、几乎处处收敛、依分布收敛以及 $L^p$ 空间中的收敛。我们详述了中心极限定理（CLT）的各种形式（包括高维和函数空间中的Donsker定理），并引入了度量空间上的收敛，特别是Wasserstein度量（或称推土机度量）在比较概率分布之间的“距离”方面的应用，这对于理解随机流和随机微分方程的解的稳定性至关重要。我们强调了 $ ext{Prohorov 度量}$ 在紧性判别中的作用。 第3章：鞅论与随机积分 本章是随机分析的核心。首先系统地介绍了鞅、上鞅和下鞅的定义及其基本性质（如停止时间定理、Doob 不等式）。随后，我们将重点放在伊藤积分的构造上，详细推导了随机积分的 $L^2$ 理论及其对预定过程的要求。章节最后讨论了伊藤公式在计算随机微分方程（SDEs）解的函数上的重要性。 第二部分：随机分析在金融工程中的应用 本部分将理论工具应用于现代金融建模，特别是衍生品定价和风险管理领域。重点在于随机微分方程在连续时间金融市场中的应用。 第4章：连续时间金融市场模型 本章建立了Black-Scholes模型的数学基础，引入了无套利原理和基本定理。我们使用鞅论方法重新审视了风险中性测度 ($mathbb{Q}$) 的概念，并展示了如何在具有跳跃或随机波动率的市场中构造替代的定价测度。 第5章：随机微分方程与衍生品定价 我们详细分析了随机微分方程（SDEs）在描述资产价格动态中的作用。核心内容是利用Feynman-Kac公式，将欧式期权和某些奇异期权的定价问题转化为求解特定的退化椭圆型偏微分方程（PDEs）。本章对随机过程在状态空间上的演化进行了深入探讨，并讨论了美式期权定价中涉及的最优化问题。 第6章：随机控制与最优投资/消费策略 本章转向随机控制理论，关注最优随机决策问题。我们利用动态规划原理（HJB方程），推导了在随机环境下追求最大化期望效用（如投资组合的增长率）的最优控制策略。我们将HJB方程与随机微分方程的解联系起来，探讨了粘性解的概念及其在处理非光滑最优控制问题时的优势。 第三部分：随机场、SPDEs 与复杂系统的统计力学 本部分将目光投向无穷维空间，探讨随机过程在描述场和空间相关系统中的应用，这与统计物理和材料科学中的许多问题相一致。 第7章：随机场与高斯过程 本章介绍了随机场的严格定义，并聚焦于高斯随机场的性质，包括其协方差函数和谱密度。我们讨论了平稳性和遍历性的概念，这些对于时间序列分析和统计物理中的系综平均至关重要。高斯过程在克里金法（Kriging）等空间插值方法中的应用得到了展示。 第8章：随机偏微分方程（SPDEs）导论 本章是本书高级部分的亮点，关注具有随机扰动的偏微分方程。我们区分了经典解、形式解与随机解的概念。我们主要关注线性随机抛物线方程的解的存在性和唯一性，特别是加性噪声和乘性噪声下的解。讨论的重点在于如何使用随机微积分（如Hida分布或柱面函数）来定义方程中的随机项，并利用半群理论来研究解的平稳态行为。 第9章：随机场中的泛函分析与能量方法 本章将抽象的函数空间理论应用于SPDEs的分析。我们探讨了在适当的函数空间（如Sobolev空间或希尔伯特空间）中，随机场演化方程的解的正则性。我们利用能量方法和对数 Sobolev 不等式来论证特定随机演化方程解的“正则化效应”和长时行为，这些方法在描述扩散过程的稳定性时非常关键。 总结与展望 本书避免了对非线性偏微分方程中基于变分方法（如极小化泛函或处理 Sobolev 空间中的非线性项）的深入探讨，而是将分析的重点放在随机度量、随机积分、鞅论以及随机微分方程的理论构造上。通过这种聚焦，读者将能够掌握现代随机分析工具箱，为探索随机动力系统、量化金融的尖端模型以及随机场论中的高级课题做好准备。本书强调了概率测度在定义和理解随机系统行为中的核心地位。

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