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《工程数学：应用与理论》 本书旨在为工程师和科学工作者提供坚实的数学基础，涵盖了解决复杂工程问题所需的关键概念和工具。内容从微积分的基石开始，循序渐进地深入到更高级的主题，确保读者能够理解并灵活运用数学方法。 第一部分：分析学基础 1. 函数与极限： 函数的概念与表示法： 探讨不同类型的函数（多项式、指数、对数、三角函数等）及其在现实世界中的应用。学习如何利用图表、表格和解析表达式来描述函数关系。 极限的直观理解与严谨定义： 介绍极限的 epsilon-delta 定义，并重点讲解如何通过代数和几何方法计算极限，理解函数在趋近某点时的行为。 连续性： 深入分析函数在某点和区间上的连续性概念，以及连续函数的性质，探讨间断点的分类和处理。 导数的概念与几何意义： 从切线斜率和瞬时变化率的角度引入导数，并推导出基本函数的导数公式。 导数的计算规则： 系统阐述链式法则、乘积法则、商法则等，以及高阶导数的计算。 导数的应用： 重点讲解导数在函数单调性、极值、凹凸性分析中的应用，以及如何利用导数解决优化问题，例如求最大值和最小值。 洛必达法则： 介绍洛必达法则在处理未定式极限时的强大功能。 微分中值定理： 详细阐述罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，理解它们在理论和实际问题中的意义。 不定积分与定积分： 介绍不定积分作为导数的逆运算，并讲解基本积分公式。重点阐述定积分的几何意义（面积）和物理意义（累积量）。 牛顿-莱布尼茨公式： 讲解微积分基本定理，以及如何利用定积分计算面积、体积和曲线长度。 积分技巧： 详细介绍换元积分法、分部积分法、三角换元法、部分分式法等，并提供大量实例进行练习。 反常积分： 探讨无穷区间的积分和带有奇点的积分，介绍收敛判别法。 定积分的应用： 拓展定积分在计算平面图形面积、体积、弧长、曲面面积，以及物理学中的功、质心、转动惯量等方面的应用。 2. 微分方程初步： 微分方程的基本概念： 介绍微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等基本术语。 一阶微分方程的解法： 重点讲解可分离变量方程、齐次方程、线性一阶方程、伯努利方程等常见类型的求解方法。 高阶线性微分方程： 介绍常系数线性齐次方程和非齐次方程的求解，包括特征方程法、待定系数法和常数变易法。 微分方程的应用： 举例说明微分方程在描述物理现象（如衰变、增长、振动、电路分析）中的重要作用。 第二部分：多变量分析 1. 多元函数： 多元函数的概念与性质： 介绍二元及多元函数的定义，以及它们的几何解释（曲面、超曲面）。 偏导数： 讲解偏导数的定义、计算以及其在描述函数沿特定方向变化率时的意义。 全微分与方向导数： 介绍全微分的概念，以及方向导数描述函数在任意方向上的变化率。 梯度： 阐释梯度向量的指向和大小，以及它与函数最大增长方向的关系。 多元函数的极值与最优化： 介绍多元函数的局部极值和全局极值的求解方法，包括利用二阶偏导数进行判断。 拉格朗日乘数法： 学习如何利用拉格朗日乘数法解决带约束条件的优化问题。 2. 多重积分： 二重积分与三重积分： 介绍二重积分和三重积分的定义，以及它们在计算体积、质量、重心等物理量中的应用。 积分区域的变换： 讲解在直角坐标系、极坐标系、柱坐标系和球坐标系之间的转换，简化复杂区域上的积分计算。 雅可比行列式： 介绍雅可比行列式在坐标变换中的作用。 多重积分的应用： 深入探讨多重积分在计算物理量（如体积、表面积、质心、转动惯量、电势、引力）中的应用。 3. 向量微积分： 向量场： 介绍向量场的概念，以及它们在描述流体流动、电磁场等现象中的应用。 散度与旋度： 讲解散度描述向量场的源汇强度，旋度描述向量场的旋转趋势。 线积分与面积分： 介绍对曲线的积分（线积分）和对曲面的积分（面积分），以及它们在计算功、流量等物理量中的应用。 格林公式、高斯散度定理与斯托克斯公式： 详细阐述这三个基本定理，展示它们如何统一和简化多重积分与线积分、面积分之间的关系，并介绍它们在物理和工程领域的广泛应用。 第三部分：数学工具与方法 1. 级数： 数列与级数： 介绍数列的收敛性，以及级数的收敛性和发散性判别方法（如比值判别法、根值判别法、比较判别法）。 幂级数与泰勒级数： 探讨幂级数的性质，以及如何利用泰勒级数和麦克劳林级数来近似表示函数，解决微分方程等问题。 傅里叶级数： 介绍傅里叶级数将周期函数分解为三角函数之和的方法，及其在信号处理、热传导等领域的应用。 2. 复数与复变函数基础： 复数的运算： 介绍复数的代数形式、三角形式和指数形式，以及复数的加减乘除、乘方和开方。 复变函数的概念： 介绍复变函数的定义、极限、连续性与可导性。 柯西-黎曼方程： 讲解柯西-黎曼方程作为复变函数可导的充要条件。 复变函数的积分： 介绍复变函数的路径积分。 留数定理： 讲解留数定理在计算复变函数积分和求解方程根时的应用。 3. 数值方法简介： 数值积分： 介绍梯形法则、辛普森法则等数值积分方法，用于近似计算定积分。 数值微分： 介绍有限差分法，用于近似计算导数。 非线性方程的数值求解： 讲解二分法、牛顿迭代法等求解非线性方程根的数值方法。 常微分方程的数值解法： 介绍欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题的数值方法。 本书通过详细的理论阐述、丰富的实例分析以及大量的练习题，旨在帮助读者建立起严密的数学思维，掌握解决工程问题的数学工具，为后续更深入的专业学习打下坚实的基础。
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