Finite Fields and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Mullen, Gary L.; Poli, Alain; Stichtenoth, Henning

出品人:

页数:261

译者:

出版时间:2004-04-28

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540213246

丛书系列:

图书标签:

• 有限域
• 代数
• 数论
• 密码学
• 编码理论
• 组合数学
• 计算机科学
• 离散数学
• 多项式
• 应用数学

《有限域与应用》 本书深入探讨了有限域这一数学结构及其在各个领域的广泛应用，为读者提供了一个全面而深刻的理解。 第一部分：有限域基础 本部分将从有限域的基本定义和性质入手，逐步构建读者对这一抽象概念的直观认识。我们将详细介绍伽罗瓦域（Galois Field）的概念，包括其构造方法、基本运算（加法、乘法、除法）以及重要的性质，如阶（order）、本原多项式（primitive polynomial）等。读者将学习如何判断一个有限域是否存在，以及如何找到它的生成元。 域的定义与性质：回顾抽象代数中域的基本概念，为理解有限域打下基础。 有限域的构造：介绍有限域的构造方法，重点讲解基于多项式环的商环构造，以及其唯一性（同构意义下）的证明。 特征与阶：深入分析有限域的特征（characteristic）以及域的大小（阶），并探讨它们之间的关系。 本原多项式与本原元：解释本原多项式的概念及其在构造有限域中的关键作用，并介绍本原元的性质和查找方法。 子域与扩张：讨论有限域的子域结构，以及有限域之间的扩张关系，为理解更复杂的有限域结构奠定基础。 第二部分：有限域的理论与工具 本部分将进一步深化对有限域的理解，引入更高级的理论工具和概念，为后续的应用章节做好铺垫。我们将深入研究有限域上的多项式，包括根、分解、因子分解等，并介绍有限域在编码理论、密码学等领域的核心作用。 有限域上的多项式：详细探讨有限域上的多项式环，包括多项式的根、不可约多项式、多项式的分解等。 伽罗瓦群：介绍有限域的伽罗瓦群，并阐述其在研究域扩张和域自同构中的重要作用。 迹与范：定义并研究有限域上的迹（trace）和范（norm）运算，及其在不同数学分支中的应用。 有限域上的数论：探讨有限域上的数论问题，例如有限域上的单位群、原根等。 代数闭包：简要介绍有限域的代数闭包概念，帮助理解有限域的完整性。 第三部分：有限域的应用 本部分是本书的核心所在，将详细介绍有限域在众多实际领域的广泛而深刻的应用。读者将看到抽象的数学理论如何转化为解决现实问题的强大工具。 编码理论： 线性分组码（Linear Block Codes）：介绍如何利用有限域构造和分析线性分组码，包括汉明码（Hamming Codes）、 BCH 码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Codes）等经典码。 循环码（Cyclic Codes）：深入讲解循环码的代数结构，以及在有限域上的表示和译码方法。 Reed-Solomon 码：详述 Reed-Solomon 码在纠错编码中的强大能力，其在 CD、DVD、二维码等技术中的应用。 LDPC 码（Low-Density Parity-Check Codes）：探讨 LDPC 码的理论基础和实际性能，以及其在现代通信标准中的地位。 密码学： 有限域上的离散对数问题（Discrete Logarithm Problem）：解释离散对数问题在公钥密码学中的核心地位，以及其困难性。 公钥密码系统：介绍基于有限域的公钥密码系统，如 ElGamal 密码系统。 椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）：深入讲解椭圆曲线密码学，包括其在有限域上的运算、密钥生成、加密和签名过程，以及其在安全性和效率上的优势。 对称密钥密码：探讨有限域在构造分组密码（如 AES）中的作用。 组合设计： 有限几何（Finite Geometry）：介绍有限域如何构造有限平面、有限射影平面等组合设计，例如帕洛平面（Pappus plane）、迪斯奈平面（Desargues plane）等。 拉丁方（Latin Squares）：展示有限域与拉丁方的关系。 纠错阵列（Error-Correcting Arrays）：介绍利用有限域构造能够容忍一定错误的数据存储结构。 其他应用： 伪随机数生成器：介绍基于有限域的伪随机数生成器。 代数几何：简述有限域在代数几何研究中的作用。 计算科学：讨论有限域在某些算法设计和分析中的应用。 目标读者 本书适合数学、计算机科学、通信工程、信息安全等领域的学生、研究人员和从业人员。 本科生和研究生：为学习高级编码理论、密码学、组合数学等课程提供坚实的理论基础。 研究人员：提供深入的理论探讨和丰富的应用实例，激发新的研究思路。 工程师和开发人员：帮助理解和设计基于有限域的通信系统、安全协议和数据编码方案。 阅读本书的收益 通过阅读本书，读者将： 掌握有限域的理论基础及其关键性质。 理解有限域在编码理论、密码学、组合设计等领域的核心作用。 能够分析和设计基于有限域的各种应用系统。 培养抽象数学思维能力，并将其应用于解决实际问题。 本书旨在以清晰的逻辑、严谨的论证和丰富的实例，引导读者从零开始，逐步深入地掌握有限域及其应用。无论您是想深入理解数字通信的纠错原理，还是想洞悉现代密码学的数学基石，抑或是对组合设计的奇妙世界充满好奇，本书都将是您不可或缺的参考。

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