Galois Groups over Q pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Y. Ihara

出品人:

页数:449

译者:

出版时间:1989-10

价格:USD 64.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387970318

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Field theory
• Algebraic number theory
• Algebra
• Mathematics
• Q
• Polynomials
• Extensions
• Groups
• Abstract algebra

《伽罗瓦群论：抽象代数的基石》 本书并非一部直接阐述“伽罗瓦群在Q上的应用”的专著。相反，它旨在构建一个坚实的理论框架，深入探讨伽罗瓦群在抽象代数这一宏大领域中的核心地位与普遍性。我们将从基础概念出发，逐步揭示伽罗瓦理论的深刻内涵，并广泛展现其在数学各个分支中的影响。 第一章：域的扩张与扩张域 本章将为后续理论铺设坚实的基础。我们将首先回顾域（Field）的基本定义与性质，包括加法、乘法运算的交换律、结合律、分配律，以及单位元、零元、逆元等概念。在此基础上，我们引入“域的扩张”（Field Extension）的概念，即一个域 $F$ 包含于另一个域 $K$ 中，且 $K$ 在 $F$ 上可以视为一个向量空间。我们将探讨域扩张的次数（Degree of Extension），定义为 $K$ 作为 $F$-向量空间的维度。 重点在于理解“代数扩张”（Algebraic Extension）与“超越扩张”（Transcendental Extension）的区别。一个域中的元素 $alpha$ 若是某个以该域为系数的多项式的根，则称 $alpha$ 是该域代数元。如果一个域扩张的所有元素都是扩张域基域的代数元，则称该扩张为代数扩张。反之，若存在超越元，则为超越扩张。本书将主要关注代数扩张，因为伽罗瓦理论的核心正是围绕代数扩张展开。 我们将深入研究“分裂域”（Splitting Field）的概念。对于域 $F$ 上的一个多项式 $p(x) in F[x]$，其分裂域是包含 $F$ 的最小的域，在该域中 $p(x)$ 可以完全分解为一次因子的乘积。我们将证明每个多项式都存在分裂域，并且它在同构意义下是唯一的。理解分裂域的存在性和唯一性，对于理解伽罗瓦群的构造至关重要。 第二章：多项式的根与对称性 本章将从多项式的角度切入，为伽罗瓦群的概念做铺垫。我们将分析多项式的根系（Set of Roots）及其性质。当多项式在分裂域中完全分解后，其所有根的集合展现出某种特殊的对称性。这种对称性正是伽罗瓦理论所要捕捉的核心。 我们将引入“对称群”（Symmetric Group）的概念，特别是作用于多项式根的置换。例如，对于一个二次多项式 $ax^2 + bx + c$ 的两个根 $r_1, r_2$，交换这两个根的操作构成一个置换，这个置换会作用于多项式的系数。我们将会看到，这些作用于根上的置换在某些情况下会保持多项式本身的结构不变。 本章的一个关键概念是“可分多项式”（Separable Polynomial）。可分多项式是指其在代数闭包中没有重根的多项式。我们将探讨可分多项式的性质，以及如何判断一个多项式是否可分。可分扩张（Separable Extension）将是本章的重点，它指代一个扩张域 $K$ 上的每一个元素都是 $F$ 的一个可分代数元。可分扩张是伽罗瓦扩张的必要条件。 第三章：伽罗瓦群的诞生 在建立了域扩张和多项式根系的基本概念后，本章将正式引入伽罗瓦群（Galois Group）的概念。我们将定义域扩张 $K/F$ 的伽罗瓦群 $ ext{Gal}(K/F)$ 为所有保持 $F$ 中元素不变的 $K$ 的自同构（Automorphism）构成的群。自同构是保持域的加法和乘法运算的 $K$ 到 $K$ 的双射。 我们将着重分析当 $K$ 是 $F$ 上某个多项式 $p(x)$ 的分裂域，并且 $K/F$ 是一个可分且正规扩张（Normal Extension）时， $ ext{Gal}(K/F)$ 的性质。正规扩张是指 $F$ 上的任何不可约多项式，若在该扩张域中有一个根，则在该域中必有所有根。在这些条件下，伽罗瓦群的阶（Order of the group）将等于扩张的次数 $[K:F]$。 我们将通过具体的例子来阐释伽罗瓦群的构造。例如，我们将计算二次、三次、四次多项式在复数域（$mathbb{C}$）或有理数域（$mathbb{Q}$）上的分裂域的伽罗瓦群，例如 $x^2-2$ 在 $mathbb{Q}$ 上的分裂域 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，其伽罗瓦群为 $mathbb{Z}_2$。我们将展示，伽罗瓦群的结构反映了多项式根系之间的对称性。 第四章：伽罗瓦理论基本定理 本章是伽罗瓦理论的精髓所在，我们将阐述著名的伽罗瓦理论基本定理。该定理建立了域扩张的子域（Intermediate Fields）与伽罗瓦群的子群（Subgroups）之间的一一对应关系。 具体而言，对于一个伽罗瓦扩张 $K/F$，存在一个一一对应： 1. $F$ 与 $K$ 之间的每一个子域 $E$ 都对应着 $ ext{Gal}(K/F)$ 的一个子群 $H$，使得 $H$ 中的所有自同构都保持 $E$ 中的元素不变。 2. $ ext{Gal}(K/F)$ 的每一个子群 $H$ 都对应着 $F$ 与 $K$ 之间的一个子域 $E_H = {x in K mid sigma(x) = x ext{ for all } sigma in H}$。 此外，该定理还揭示了扩张次数与子群阶数的关系。如果 $E$ 是 $F$ 的一个中间域，那么 $[K:E] = | ext{Gal}(K/E)|$ 且 $[E:F] = | ext{Gal}(K/F) : ext{Gal}(K/E)|$。 我们将通过大量的例子来验证和应用基本定理，例如考察不同子域对应的子群，以及反之亦然。理解这种对应关系，是深入理解伽罗瓦理论的关键。 第五章：可解群与多项式的根式可解性 本章将伽罗瓦理论与群论的另一个重要概念——可解群（Solvable Group）联系起来。一个群被称为可解群，如果它存在一个由正规子群构成的链，链的每个相邻群之间的商群都是阿贝尔群（Abelian Group）。 伽罗瓦理论基本定理的一个重要推论是，一个多项式是根式可解的（Solvable by Radicals），当且仅当其对应的伽罗瓦群是可解群。根式可解性是指该多项式的根可以通过有限次的加、减、乘、除以及开 $n$ 次方运算来表示。 我们将详细分析如何根据多项式的伽罗瓦群的结构来判断其是否根式可解。我们将重点讨论著名的“五次及以上方程无通用根式解”的证明，这是伽罗瓦理论最辉煌的成就之一。我们将展示，一般的五次多项式的伽罗瓦群是 $S_5$（五次对称群），而 $S_5$ 是不可解群，因此一般的五次方程无法用根式求解。 第六章：伽罗瓦理论的应用概览 本章将跳出纯理论的范畴，简要介绍伽罗瓦理论在数学不同分支中的广泛应用，为读者打开更广阔的视野。 我们将探讨伽罗瓦理论在几何作图问题中的应用，例如“三等分角”、“倍立方”、“尺规作图正多边形”等古典几何问题的不可解性证明。我们将展示，这些问题归结为特定域扩张的次数问题，而这些域扩张的伽罗瓦群的结构使得它们无法被根式表示，从而无法用尺规完成。 我们还将简要触及伽罗瓦理论在数论中的应用，例如有限域（Finite Fields）的伽罗瓦群结构，以及某些代数数域（Algebraic Number Fields）的结构研究。 此外，我们还将提及伽罗瓦理论在编码理论和密码学中的初步联系，尽管这些内容可能需要更深入的专门知识。 本书的特色与价值： 本书力求在理论的严谨性与概念的清晰性之间取得平衡。通过大量精心挑选的例子，读者可以逐步掌握抽象概念，并理解伽罗瓦理论的逻辑脉络。我们强调从基础概念出发，逐步构建起完整的理论体系，最终展现伽罗瓦理论作为抽象代数基石的强大力量。本书的读者群包括但不限于数学专业本科生、研究生以及对抽象代数和数学史感兴趣的读者。阅读本书，将使你深刻理解数学中“对称性”这一核心思想，并认识到它在解决古老数学难题中的决定性作用。

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