The Riemann Hypothesis And The Roots Of The Riemann Zeta Function pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:BookSurge Publishing

作者:Samuel W. Gilbert

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-01-22

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781439216385

丛书系列:

图书标签:

• 复分析7
• Riemann Hypothesis
• Zeta Function
• Number Theory
• Complex Analysis
• Mathematics
• Prime Numbers
• Analytical Number Theory
• Mathematical Analysis
• Riemann Zeta Function
• Functions

数学前沿：从数论到拓扑的探索 第一部分：素数分布的奥秘与解析数论的基石 本书带领读者深入探索数学中最古老、最引人入胜的谜题之一——素数的分布规律。我们将从欧几里得对素数无穷性的证明出发，逐步构建起理解素数如何散布在自然数轴上的理论框架。 第一章：算术的基石——整数与素数 本章详细回顾了数论的基本概念，包括整除性、最大公约数和最小公倍数。重点阐述了算术基本定理（唯一分解定理）在构建所有整数集合基础中的核心地位。随后，我们将进入素数的本质探讨，分析如何有效地筛选和识别素数，例如回顾埃拉托斯特尼筛法及其现代变体。本章旨在为读者奠定坚实的数论基础，理解素数在乘法结构中的不可替代性。 第二章：对素数计数的第一次尝试——素数定理的诞生 素数分布的不规则性激发了数学家寻求全局规律的渴望。本章聚焦于素数计数函数 $pi(x)$ 的研究历程。我们将介绍高斯和勒让德早期的猜测与观测，随后深入探讨雅可比对 $pi(x)$ 的更精确逼近。核心内容将围绕阿达玛和德拉瓦莱独立完成的素数定理的证明展开。我们将详细剖析证明过程中所依赖的复分析工具，特别是如何利用函数在复平面上的性质来揭示实轴上数字的内在规律。我们不会深入探讨与黎曼猜想直接相关的细节，而是侧重于素数定理本身作为分析数论里程碑的地位。 第三章：狄利克雷L函数与模形式的初步接触 为了更精细地分析素数，数学家引入了更强大的分析工具。本章介绍狄利克雷特征标及其构建的狄利克雷L函数。我们将讨论这些函数如何帮助我们理解特定模意义下的素数分布，例如“素数在等差数列中”的问题（狄利克雷素数定理）。随后，我们将简要介绍模形式的概念——那些在特定线性分式变换下保持不变的复变函数。虽然模形式与更深层次的数论问题紧密相连，本章仅作为引子，展示数学工具的多样性，为后续章节中更复杂的代数结构分析做铺垫。 --- 第二部分：代数几何的视角与费马大定理的遗产 本书的第二部分将视角从纯粹的数论转向代数与几何的交汇点，探讨抽象结构如何指导我们理解方程的解。 第四章：椭圆曲线的代数结构 本章系统介绍椭圆曲线——形如 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的曲线。我们将探讨这些曲线上的有理点构成的群结构，这是连接代数、几何和数论的关键桥梁。重点分析摩德尔定理（Mordell's Theorem）及其更广义的韦伊尔定理（Weil Theorem），阐述在有理数域上，椭圆曲线上的有理点集形成一个有限生成阿贝尔群。本章将大量使用代数几何中的概念，如射影空间和韦伊因子，以精确描述这些曲线的内在几何性质。 第五章：费马大定理的现代证明之旅 费马大定理的证明是20世纪数学的壮举。本章不侧重于最终的证明细节（即谷山-志村猜想/模化定理），而是侧重于证明所依赖的“桥梁”——如何将费马方程的解与椭圆曲线联系起来，特别是弗雷曲线的构造。我们将探讨伽罗瓦表示的理论基础，以及如何通过比较费马方程的假设解导出的曲线的性质，与已知椭圆曲线的性质之间的矛盾来得出结论。这一部分强调的是数学家如何通过跨越不同数学领域的深刻洞察力来解决看似独立的难题。 第六章：代数数论入门：域扩张与理想 为了更深入地理解代数方程的整数解，我们需要超越普通整数的范畴。本章介绍代数数论的基础。首先定义代数数和代数整数。随后，我们将探讨数域的扩张，以及在这些扩张域中，整数环（Dedekind 域）的性质。核心内容将围绕素理想的分解问题，阐述在代数数论中，一个有理素数如何分解成数域中多个素理想的乘积。我们将使用理想论的工具来解释为什么在高斯整数域 $mathbb{Z}[i]$ 之外，唯一分解性可能会失效，并引入“类群”的概念来衡量这种失效的程度。 --- 第三部分：拓扑结构与几何基础 本书的第三部分将暂时离开纯粹的数字世界，转而探索空间和形状的内在不变性。 第七章：流形与微分结构 本章介绍微分流形的概念，它是研究光滑几何和物理学的基础。我们将定义局部欧几里得空间的概念，并解释拓扑空间如何通过图册（atlas）和转移函数（transition maps）被赋予光滑结构。重点分析切空间（Tangent Space）的构造及其在描述局部几何变化中的作用。我们将探讨向量场和微分形式在流形上的推广，为理解更高维度的结构变化做准备。 第八章：同调论的直觉与应用 同调论是代数拓扑的核心工具，用于衡量空间的“洞”或“连通性”。本章将侧重于直观理解同调群的构建。我们将介绍单纯复形（Simplicial Complex）和链复形（Chain Complex），并定义边界算子（Boundary Operator）。随后，我们将阐述如何利用同调群 $H_n(X)$ 来区分拓扑空间。例如，圆周 $S^1$ 和圆盘 $D^2$ 的一阶同调群的差异，清晰地展示了这种工具的强大之处。本章将避免过于抽象的范畴论语言，侧重于通过具体例子（如球面、环面）来展示其应用。 第九章：李群与对称性 本章探讨李群——既是群又是光滑流形的结构。李群是研究连续对称性的关键。我们将介绍李群的定义，并重点关注其局部结构——李代数。李代数是群上单位元附近的线性化结构，它捕捉了群的无穷小生成元。我们将分析 $mathrm{SO}(3)$（三维旋转群）的李代数 $mathfrak{so}(3)$，展示如何利用李代数的线性代数工具来分析复杂的连续对称操作。本章将连接几何（流形）与代数（向量空间和括号运算）。 --- 结语：数学统一性的展望 本书横跨了从离散的素数计数到连续的几何空间，从初等的算术到高级的拓扑工具。我们所展示的数学分支看似迥异，但它们的内部逻辑和所依赖的抽象结构却有着惊人的相似性。理解这些联系，是现代数学研究的终极目标之一。本书旨在为读者提供一个广阔的视野，认识到数学知识的广度和深度，而非聚焦于某一个特定未解难题的直接解答。

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