微积分学习指导与作业设计 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:张裕生 编

出品人:

页数:259

译者:

出版时间:2009-9

价格:29.80元

装帧:

isbn号码:9787811106008

丛书系列:

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深入探微：高等代数精要与应用解析 本书旨在为学习高等代数的读者提供一本结构严谨、内容翔实、注重应用与理解的参考与学习指南。 我们深刻理解高等代数作为数学核心分支之一，其抽象性和理论深度对初学者构成的挑战。因此，本书的设计理念并非仅仅是罗列定义和定理，而是致力于构建一座连接纯粹理论与实际应用的坚实桥梁。 本书覆盖了高等代数领域中最为核心和基础的知识体系，包括线性代数的基础理论、矩阵理论的精妙、向量空间的抽象结构，以及多项式理论与特征值问题的深入探讨。我们力求在保持数学严谨性的同时，用清晰、直观的方式阐释复杂的概念。 --- 第一部分：线性方程组与矩阵代数的基础构建 第一章：数域与基础运算 本章首先回顾了读者在初等代数中可能接触到的数系基础，并重点引入了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 作为我们后续讨论的基石。随后，我们详细阐述了域（Field）的抽象概念，这对于理解线性代数的通用性至关重要。核心内容集中在矩阵的定义、基本运算（加法、数乘、乘法）及其性质。我们不仅教授如何进行矩阵运算，更深入剖析了矩阵乘法的非交换性及其几何意义。初等行变换的引入是本章的重中之重，它不仅是求解线性方程组的工具，更是理解矩阵秩和等价性的关键。 第二章：线性方程组的解法与矩阵的秩 本章将第一章建立的工具应用于解决实际问题：线性方程组。我们详细介绍了高斯消元法（Gaussian Elimination） 和 高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan Elimination） 的完整流程，并针对不同类型的方程组（相容、不相容、唯一解、多解）进行了系统性的分类讨论。矩阵的秩（Rank） 被提升到核心地位，我们通过行阶梯形和简化行阶梯形，确立了秩的唯一性和其与线性方程组解集结构之间的深刻联系。此外，本章还探讨了矩阵的初等因子分解与行空间、列空间、零空间的结构分析。 第三章：行列式的性质与计算 行列式是线性代数中一个不可或缺的概念，它为判断矩阵的性质（如可逆性）提供了强大的判据。本章首先从二阶、三阶行列式的几何定义入手，随后推广至$n$ 阶行列式的代数定义（基于置换和逆序数的定义）。我们花费大量篇幅阐述了行列式的基本性质，特别是按行（或列）展开的公式，以及克拉默法则（Cramer's Rule） 的推导与应用。通过行列式，我们清晰地界定了矩阵的满秩概念及其等价条件。 --- 第二部分：向量空间与线性变换的抽象化 第四章：向量空间与子空间 本章是全书从具体计算迈向抽象理论的关键过渡。我们引入了向量空间（Vector Space） 的严格定义，包括封闭性、向量加法与标量乘法的八条公理。在此基础上，我们探讨了子空间（Subspace） 的概念，并用生成集（Span） 来刻画子空间的构造。线性无关性、基（Basis） 和维数（Dimension） 是本章的核心支柱，我们通过例证说明了任何向量空间的基都不是唯一的，但其基中向量的个数（维数）是唯一的。 第五章：线性变换与矩阵的表示 线性变换是研究向量空间之间结构保持映射的工具。本章定义了线性映射（Linear Transformation），并探讨了其保持的性质（如零向量的映射、线性组合的保持）。核心内容在于矩阵作为线性变换的表示。我们阐述了如何根据选定的基，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵，以及基变换对矩阵表示的影响，这为后续的相似变换理论奠定了基础。 第六章：内积空间与正交性 为了在向量空间中引入“长度”和“角度”的概念，本章引入了内积（Inner Product） 的概念，并将其推广到实数域和复数域。围绕内积，我们详细讨论了正交性（Orthogonality）、施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），以及正交基和欧几里得空间的性质。正交分解是本章的亮点，它揭示了向量空间内部结构的一种最优化的分解方式。 --- 第三部分：矩阵的对角化与经典结构理论 第七章：特征值、特征向量与相似性 本章是连接矩阵代数与动力学分析的重要环节。我们定义了特征值（Eigenvalues） 和特征向量（Eigenvectors），并阐述了它们在描述线性变换不变方向上的重要作用。计算特征值和特征向量的方法，特别是特征多项式的求解，是本章的实践重点。我们深入分析了相似矩阵的概念，并提出了矩阵可对角化的充要条件。 第八章：对角化与相似标准型 本章的目标是将矩阵转化为最简单、最易于计算的形式——对角矩阵。我们详细讨论了可对角化的条件，包括代数重数与几何重数的概念。对于不可对角化的情况，本章引出了更广义的结构——若尔当标准型（Jordan Canonical Form）。虽然若尔当块的构建相对复杂，但我们提供了清晰的步骤指南，确保读者能够理解其在处理矩阵指数、微分方程等领域中的理论价值。 第九章：二次型与矩阵的分解 二次型（Quadratic Forms） 是矩阵理论在几何学和优化问题中的重要体现。本章将二次型与对称矩阵联系起来，并利用特征值分解（Spectral Decomposition） 来简化二次型表达式。我们重点介绍了正定性（Positive Definiteness） 的判定，以及合同变换在将二次型化为标准型中的作用。本章的分析方法为优化设计和物理系统稳定性分析提供了坚实的数学工具。 --- 本书特色与学习目标 本书在内容组织上遵循“具体到抽象，计算到理论，基础到应用” 的渐进路径。 1. 强调几何直觉： 尽可能结合二维和三维空间的直观几何意义来解释抽象概念，如线性变换是旋转、拉伸或投影。 2. 严格的证明逻辑： 所有核心定理均提供详尽的证明过程，培养读者严密的数学思维。 3. 丰富的例题与练习： 每节后附有不同难度等级的练习题，旨在巩固计算技巧并深化理论理解。 4. 连接现实世界： 在适当章节讨论了线性代数在密码学（如有限域上的运算）、图论（如邻接矩阵）、以及工程控制论中的初步应用视角。 完成本书的学习，读者将不仅掌握高等代数的核心计算技能，更重要的是，能够理解其深层的代数结构，为进一步深入学习泛函分析、微分几何或应用数学打下坚实的基础。

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