H-Embeddings in Hilbert Space and Optimization on G-Sets (Memoirs of the American Mathematical Socie pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:N. Ghoussoub

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-07

价格:USD 20.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821823507

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 拓扑学
• 泛函分析
• 希尔伯特空间
• 优化
• G-集合
• 嵌入
• 美国数学学会回忆录
• 数学分析
• 抽象代数

范畴论视角下的代数拓扑结构：一个关于纤维丛与同调论的综合性探索 本书旨在深入探讨范畴论在现代数学，特别是代数拓扑学中的核心地位，重点聚焦于纤维丛的构造、同调论的应用及其在几何学中的深远影响。 全书内容侧重于严谨的理论构建和精妙的证明技巧，旨在为读者提供一个全面而深刻的理解框架，以把握这些概念如何在抽象的代数结构中精确地刻画连续空间的几何性质。 第一部分：基础范畴与函子——连接代数与拓扑的桥梁 本书的开篇首先对范畴论的基本概念进行了细致的阐述，而非仅仅停留在集合范畴的层面。我们引入了拓扑空间范畴 ($mathbf{Top}$)、群范畴 ($mathbf{Grp}$) 以及模范畴 ($mathbf{R ext{-Mod}}$)，并详细讨论了它们之间的关系，特别是遗忘函子 (Forgetful Functors) 和自由函子 (Free Functors) 在两者之间架设的桥梁作用。 1.1 范畴的构造性定义与对偶性 在对范畴有了扎实的理解后，我们将视角转向函子的性质。本书对自然变换和函子的自然性进行了严格的分析，并引入了极限 (Limits) 与余极限 (Colimits) 的概念，将其置于更广阔的语境中。我们不仅讨论了乘积、拉回（fibred products）等极限的拓扑意义，还深入探讨了它们在抽象范畴中作为“通用解”的地位。特别是，我们探讨了某些特定范畴中极限与余极限的对偶性，这对于理解拓扑空间的商构造（如 CW 复合体的粘合）至关重要。 1.2 阿贝尔范畴与链复形 代数拓扑的计算工具——同调论——依赖于阿贝尔范畴 (Abelian Categories)。本书详尽介绍了阿贝尔范畴的公理化结构，重点分析了链复形 (Chain Complexes) 在这样的范畴中如何构成，以及链映射 (Chain Maps) 如何保持其结构。我们清晰地界定了短正合列 (Short Exact Sequences) 的概念，并阐明了在这些范畴中，短正合列如何诱导出关于同调群的长正合列（Snake Lemma 的推广）。 第二部分：纤维丛理论的范畴论基础 本书的核心内容之一在于将纤维丛的定义从传统的拓扑语言提升到范畴论的语言上来，以便更好地进行代数操作和结构比较。 2.1 局部平凡性与环化 (Gluing) 过程 我们首先严格定义了纤维丛 (Fiber Bundles)，包括底空间 $B$、纤维 $F$ 和总空间 $E$。随后，本书提出了一个更具代数洞察力的观点：纤维丛可以通过其局部构造——局部平凡化 (Local Trivializations) 及其过渡函数（Transition Functions）来完全刻画。 我们引入了截面范畴 (Category of Sections) 的概念，并展示了如何使用余极限和射影极限 (Projective Limits) 来描述这些局部信息如何通过谱（Sheaf theory 的预备知识）被“粘合”起来，形成全局的纤维丛结构。特别地，我们关注了主丛 (Principal Bundles) 的特殊性，即纤维 $F$ 自身带有一个作用群 $G$ 的作用，从而形成一个丛空间 $pi: E o B$，其中 $E$ 是 $B$ 上的 $G$ 丛。 2.2 向量丛的构造与内涵 向量丛作为纤维丛的一个重要特例，在本章得到了深入的剖析。我们阐释了向量丛的全空间 $E$ 实际上是其局部自由模的限制。我们使用张量积函子 (Tensor Product Functor) 来构造新的向量丛，并证明了张量积在向量丛范畴上是良定义的。 此外，本书详细讨论了丛空间的截面 (Sections) 构成的向量空间，以及如何通过拉回操作（基于范畴论中的拉回构造）来保持向量丛的结构。我们证明了拉回操作是保持秩 (Rank) 和同构性 (Isomorphism) 的忠实函子。 第三部分：上同调理论与纤维丛的拓扑不变量 本章将前两部分的理论成果应用于同调论，特别是上同调论，以此来提取纤维丛的拓扑不变量。 3.1 Cech 上同调与局部平凡性 我们详细介绍了 Cech 上同调 (Cech Cohomology) 的构造过程。这是连接局部覆盖（对应于局部平凡化）与全局上同调群的关键工具。我们首先定义了开复盖 (Open Cover) $mathcal{U} = {U_alpha}$，然后构造了Cech 链复形，并证明了对于良态空间 (Nice Spaces)，Cech 上同调与奇异上同调是同构的。 对于纤维丛 $pi: E o B$，我们利用其局部平凡化的性质，证明了纤维上同调（$H^(F)$）如何通过特定的 Cech 上同调序列与底空间上同调（$H^(B)$）相关联。 3.2 谱列：将丛结构转化为代数关系 全书的理论高潮在于上同调长正合列 (Long Exact Sequences in Cohomology) 的推导，特别是针对短正合序列的推广——截面与余截面 (Sections and Co-sections) 的构造。 对于一个向量丛 $E$，我们考察了其伴随向量丛 (Associated Vector Bundles)。通过对 Cech 链复形的精确筛选和映射操作，我们构造了一个包含 $H^(B)$、$H^(E)$ 和 $H^(F)$ 的长正合列。本书的重点在于解析这个序列中边界映射 (Boundary Maps) 的几何意义，这些映射精确地编码了从纤维空间到底空间的“扭曲”信息。 3.3 示性类 (Characteristic Classes) 的代数起源 最后，本书将理论应用于拓扑不变量的计算。我们展示了 Chern 类 (Chern Classes)、Stiefel-Whitney 类等示性类如何作为上同调环 $ ext{H}^(B)$ 上的特定元素出现。 我们从Thom 空间 (Thom Space) 的视角重新审视了向量丛的上同调庞加莱对偶性 (Poincaré Duality)，并证明了示性类是Thom 环的生成元。这一结论不仅揭示了示性类在代数上的精确位置，更阐明了它们如何通过上同调环的乘法结构来捕捉向量丛的不可积（Non-integrable）的几何特征。 本书以一种高度结构化和范畴论化的方式，将基础的拓扑构造与复杂的代数计算紧密结合，为研究者提供了理解纤维丛几何与代数拓扑计算的统一框架。

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