新版奥林匹克数学竞赛标准教材

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页数:234
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出版时间:2010-2
价格:13.80元
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isbn号码:9787560091655
丛书系列:
图书标签:
  • 奥数
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具体描述

《新版奥林匹克数学竞赛标准教材(5年级)》内容简介:在中小学数学培优中,怎样才能使更多的学生热爱竞赛数学,钻研数学,且在学习中不畏艰难呢?除了需要一个好的指导老师外,更重要的是要有一套能激发学生学习数学的热情,使学生较快地形成好的学习方法,并且适合大多数同学学习口味的教材。在长期的探索研究和实践中,我们发现最好的教材就是培优教师自己长期积累下来,不断反思、创新的经验和方法的总结材料。为此,我们把近二十年来培优的实践心得和反复思考编写成了这套培优竞赛教材——《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》。

深入探索数学的奥秘:当代数学思想与应用前沿 本书旨在引导读者跨越传统教材的边界,深入探索现代数学的广阔图景、核心思想及其在当代科学、技术和社会中的实际应用。我们聚焦于那些驱动数学前沿发展的关键概念和新兴领域,为有志于在数学、物理、计算机科学、工程学乃至金融经济领域深造的读者提供坚实的理论基础和开阔的视野。 本书的结构设计力求兼顾理论的严谨性与思维的启发性。全书分为六个相互关联又相对独立的模块,每个模块都代表了现代数学的一个重要分支或核心方法论。 --- 第一部分:离散结构与计算思维的基石 (Foundations of Discrete Structures and Computational Thinking) 本部分着重于构建理解信息时代数学结构的底层逻辑。我们不再仅仅关注传统的代数和分析,而是深入研究那些支撑现代计算机科学和数据处理的数学框架。 1. 组合数学的高级主题: 区别于基础计数原理,本章深入探讨生成函数在解决复杂递推关系中的强大应用,特别是多变量生成函数和指数型生成函数在结构计数中的角色。我们细致分析图论中的更深层次问题,如平面图的拓扑性质、欧拉回路与汉密尔顿回路的存在性证明、以及网络流理论(最大流-最小割定理)在资源分配问题中的精确建模。重点阐述了对偶理论在优化问题中的应用。 2. 现代数论与密码学的连接: 本章将数论的抽象概念与实际应用紧密结合。内容涵盖有限域上的算术、二次剩余、三次曲线上的点群结构。我们详细解析了椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)的数学基础,并构建了基于这些理论的公钥加密系统(如ECC)的完整数学模型,包括密钥生成、加密和安全性的数学论证。同时,探讨了高斯和Wiles在素数分布上的前沿猜想及其对大数分解算法的潜在影响。 3. 形式逻辑与证明理论的深化: 超越命题逻辑和一阶逻辑的基础,本章引入了更精密的证明方法。深入讨论了哥德尔不完备性定理的直观理解与严格证明框架,考察了非经典逻辑(如直觉主义逻辑和模态逻辑)在知识表示和推理中的应用。同时,重点介绍自动定理证明的数学基础,包括分辨率原理和归结法的完备性分析。 --- 第二部分:泛函分析与无穷维空间 (Functional Analysis and Infinite-Dimensional Spaces) 本部分是连接经典微积分与现代物理学(如量子力学、偏微分方程)的桥梁,它要求读者对拓扑学和度量空间有初步的认识。 4. 赋范线性空间与巴拿赫空间: 本章从抽象的角度重新审视向量空间。详细定义了拓扑向量空间、赋范空间,并着重研究巴拿赫空间(完备的赋范线性空间)的性质。重点分析了连续线性泛函的存在性,并引入了Hahn-Banach定理的非平凡应用,用以论证某些函数空间上的线性算子的有界性。 5. 希尔伯特空间与正交性: 本章的核心是内积空间。详细阐述了施密特正交化过程在无穷维空间中的推广,傅里叶级数和傅里叶变换如何成为理解平方可积函数空间($L^2$空间)的基石。我们通过对算子在希尔伯特空间上作用的分析,引出谱理论的初步概念,为理解量子力学的可观测量奠定基础。 6. 测度论与勒贝格积分: 本章彻底取代传统的黎曼积分概念。从$sigma$-代数和测度的基本公理出发,构建了勒贝格积分的严格理论。重点分析了勒贝格控制收敛定理、单调收敛定理等关键收敛定理,并展示了它们如何使对函数序列的极限操作变得更加可靠和强大。 --- 第三部分:拓扑与几何的统一视角 (Unified Perspectives in Topology and Geometry) 本部分探索空间本身的内在性质,超越欧几里得几何的限制,关注空间在连续形变下保持不变的属性。 7. 基础拓扑学与连续性: 本章细致定义了拓扑空间、开集、闭集、邻域、紧致性和连通性。通过构造非标准的拓扑空间(如Sierpinski空间),加深对“邻近”概念的理解。深入探讨了商拓扑的构建方法及其在识别等价空间上的重要性。 8. 黎曼几何导论: 将微分的工具应用于弯曲空间。本章介绍了流形的概念,定义了切空间和张量场。核心内容包括联络(Connection)的概念、黎曼度量张量以及测地线的概念。通过高斯绝妙定理的阐述,展示了曲率如何成为描述空间几何特性的内在量度。 --- 第四部分:概率论的高级结构与随机过程 (Advanced Probability Structures and Stochastic Processes) 本部分深入研究随机现象的精确建模,重点关注更复杂的依赖关系和时间演化。 9. 马尔可夫链与遍历理论: 超越简单的状态转移,本章关注具有长期行为的马尔可夫链。详细阐述了平稳分布的存在性与唯一性,引入了遍历定理(如遍历定理的强大版本),并讨论了如何用这些工具来分析复杂的动态系统和模拟算法的收敛性。 10. 鞅论与金融建模: 将概率论提升到条件期望的层面。严格定义了鞅(Martingale)、次鞅和超鞅。核心应用在于Black-Scholes模型的数学推导,展示了鞅论如何帮助在无套利假设下对金融衍生品进行无偏定价。本章强调了停时定理(Optional Stopping Theorem)在定价中的关键作用。 --- 第五部分:动力系统与混沌理论 (Dynamical Systems and Chaos Theory) 本部分研究系统随时间如何演化,关注其稳定性和对初始条件的敏感性。 11. 连续与离散动力系统: 考察常微分方程组(ODE)的相平面分析,重点是稳定点、极限环的分类(如霍普夫分岔)。对于离散系统,则深入分析迭代映射,如Logistic映射,展示简单映射如何产生复杂的、不可预测的行为。 12. 混沌的数学特征: 详细定义了敏感依赖性(蝴蝶效应)和拓扑混合性。引入了庞加莱截面法来简化高维动力学。重点分析了吸引子的概念,特别是奇异吸引子的结构,并从李雅普诺夫指数的角度量化系统的混沌程度。 --- 第六部分:现代数学与其他学科的交叉点 (Intersections of Modern Mathematics and Other Disciplines) 本部分展示了数学工具如何解决跨学科的实际问题。 13. 数值分析与稳定性理论: 不再满足于解析解的存在性,本章聚焦于高效且稳定的数值逼近。分析了求解大型线性系统的迭代方法(如共轭梯度法),并探讨了微分方程数值解(如Runge-Kutta方法)的局部截断误差与全局收敛性的关系。特别关注了计算过程中浮点误差的传播与控制。 14. 信息论与编码理论的数学深度: 从香农的熵定义出发,构建了信息论的完整框架。深入研究了信源编码(如霍夫曼编码的优化)和信道编码(如汉明界、Reed-Solomon码)的代数基础,展示了有限域上的多项式运算如何在保证信息可靠传输中发挥核心作用。 本书的编写风格侧重于引导读者进行主动的数学建构,强调证明的内在逻辑和概念的普适性,鼓励读者将所学知识应用于构建解决复杂现实问题的模型。

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读后感

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用户评价

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这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》真是名副其实,虽然我才刚接触其中一小部分,但那种扑面而来的严谨和深度就足以让我惊叹。我一直对数学竞赛充满好奇,但又总觉得无从下手,市面上的一些参考书要么过于浅显,要么过于晦涩,总感觉差了点什么。直到我翻开这本书,我才找到了那种“对味儿”的感觉。它不是简单地罗列题目和解法,而是从最基础的概念出发,层层递进,构建起一个庞大而精密的数学知识体系。我尤其喜欢它对一些经典数学思想的梳理,比如数论中的整除性原理,组合数学中的鸽巢原理,它们在书中被讲解得既清晰透彻,又引人入胜。我感觉作者不仅仅是在传授知识,更是在培养我们分析问题、解决问题的数学思维。每一个例题的解析都像是一次精彩的头脑风暴,让我看到了不同解题思路的可能性。即使是看上去最简单的证明题,书中也会提供多种角度的解读,让我明白数学的优雅与精妙。我曾为一道几何题绞尽脑汁,但书中提供的某个辅助线技巧,一下子就点亮了我的思路,那种豁然开朗的感觉,简直是数学学习中最美妙的时刻。这本书的排版也很舒服,字迹清晰,图示规范,让人在阅读过程中不会感到疲惫。我感觉自己已经爱上了这本书,并且迫不及待地想要深入钻研下去。

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我必须承认,《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》是一本让我花费了大量时间和精力去研读的宝藏。它不像市面上许多同类书籍那样,只是简单地罗列题型和解题技巧。相反,它更注重培养读者对数学的深刻理解和逻辑推理能力。我尤其欣赏书中关于集合论和逻辑推理的部分,它们为我解决许多复杂的数学问题奠定了坚实的基础。书中对一些基本概念的定义和证明,都做得非常严谨,让我对数学的严谨性有了更深的认识。我曾经对一些看似“显而易见”的数学结论深感困惑,但通过阅读这本书,我找到了它们背后严格的证明过程,这让我对数学的信任感油然而生。而且,这本书的题目设计也非常精妙,它们往往能够在一个看似简单的题目中,隐藏着深刻的数学思想。我记得有一道关于数论的题目,表面上看只是一个简单的同余方程,但深入分析后,发现它涉及到二次剩余和模方程的求解,这让我大开眼界。这本书不仅仅教会了我如何解题,更教会了我如何去“思考”数学问题,如何从不同的角度去审视问题,找到最 elegant 的解决方案。我感觉这本书的阅读体验,就像是在与一位学识渊博的智者对话,每一次的阅读,都能有所启发,有所收获。

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自从接触了《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》,我的数学视野仿佛瞬间开阔了许多。我一直认为,数学竞赛的魅力在于它能将抽象的数学概念与具体的解题技巧巧妙地结合起来,而这本书恰恰做到了这一点。它并没有回避那些看起来“高难度”的知识点,而是用一种非常系统化的方式,循序渐进地引导读者去理解和掌握。例如,书中关于函数方程的章节,我曾多次在其他书籍中遇到,但总觉得云里雾里,难以把握。然而,在这本书中,作者通过分解、代换、特殊值代入等一系列操作,将看似复杂的函数方程化繁为简,让我看到了解决问题的具体路径。而且,这本书的题目难度分布非常合理,从入门级的热身题,到具有挑战性的思考题,再到能够激发我无限想象力的难题,应有尽有。我最喜欢的是那些需要“灵光一闪”才能解决的题目,它们能极大地锻炼我的思维敏捷度和创新能力。我记得有一道关于数列的题目,让我反复尝试了几种方法都未能奏效,最终在书中看到了一个巧妙的构造方法,一下子就解决了问题。这种“解惑”的过程,远比死记硬背公式要来得有成就感。这本书不仅仅是一本教材,更像是一位循循善诱的老师,它教会我如何去思考,如何去探索,如何在数学的海洋中乘风破浪。

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《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》这本书,可以说是我在数学学习道路上遇到的一个重要的转折点。它所提供的知识深度和广度,远远超出了我之前的想象。我曾以为自己对数学已经有了一定的了解,但在这本书面前,我意识到自己之前的学习是多么的浅显。书中对代数、几何、数论、组合数学等各个领域的讲解,都达到了一个非常高的水准。我最喜欢的是书中对一些抽象数学概念的具象化处理。例如,在讲解群论时,作者并没有直接给出复杂的定义,而是通过一些生动的例子,比如对称群、置换群等,来帮助读者理解群的概念。这种“由浅入深”的教学方式,让我对原本枯燥的抽象数学产生了浓厚的兴趣。而且,本书的题目设计也非常具有挑战性,它们不仅考察了我对知识的掌握程度,更重要的是锻炼了我独立思考和解决问题的能力。我记得有一道关于几何的题目,它需要我巧妙地构造一个辅助圆,才能顺利求解。这种“化繁为简”的解题思路,是我在其他书籍中很少见到的。这本书让我明白,数学竞赛并非只是死记硬背公式,更是一种思维的艺术,一种智慧的较量。我感觉自己通过这本书,不仅提升了数学技能,更重要的是培养了一种探索未知、勇于挑战的精神。

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说实话,《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》给我带来的震撼是巨大的,它彻底颠覆了我对数学学习的认知。我一直以为数学竞赛就是一堆难题的集合,但这本书让我明白,真正的数学竞赛,考验的是深厚的数学功底和灵活的思维能力。书中对每一个数学概念的阐述都极其深入,绝不仅仅停留在表面。比如,在讲解不等式时,它不仅介绍了基本的不等式性质,还深入探讨了柯西-施瓦兹不等式、闵可夫斯基不等式等高级不等式的构造和应用。这些内容让我看到了数学的无限可能性。我印象特别深刻的是书中关于图论的部分,作者从图的定义、性质入手,逐步讲解了各种经典的图算法,如最短路径算法、最小生成树算法等。这些在实际应用中有着广泛用途的算法,在书中被讲解得既严谨又易于理解,让我不禁感叹数学的实用性。而且,这本书的题目设计也非常有匠心,很多题目并不是直接考查某个知识点,而是需要融会贯通多个知识点才能解决。我曾为一道关于概率的题目冥思苦想,后来发现它其实巧妙地融合了组合数学和期望的概念,这种跨领域的思考方式,是平时学习中很难接触到的。这本书让我明白了,数学竞赛不仅仅是技巧的较量,更是智慧和创造力的比拼。

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