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出版者:

作者:Leff, Lawrence

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2009-8

价格:$ 16.94

装帧:

isbn号码:9780764141966

丛书系列:

图书标签:

• SAT
• 数学
• 备考
• 练习
• 考试
• 指南
• 代数
• 几何
• 三角学
• 历年真题

深度解析：高等代数核心概念与解题策略 本书聚焦于传统高等数学体系中的核心分支——代数结构、线性代数基础、抽象代数入门，旨在为读者构建一个坚实、清晰的数学思维框架，而非侧重标准化考试的技巧训练。 本书并非市面上常见的应试导向型教材，它避开了对SAT数学特定题型（如代数方程、数据分析、几何应用等）的直接覆盖，而是深入探讨支撑这些应用的更底层、更普适的数学原理。我们的目标是培养读者对数学语言的深刻理解和逻辑推演能力，这对于未来进行更高级的数学研究或涉及复杂建模的工作至关重要。 --- 第一部分：代数结构与数域的严谨基础 (Algebraic Structures and Number Fields) 本部分奠定我们理解所有代数操作的哲学基础。 我们将从集合论的公理化视角出发，重新审视我们习以为常的数的概念。 第一章：集合论与构造性数学观 (Set Theory and Constructive Viewpoints) 从皮亚诺公理到自然数集 ($mathbb{N}$): 详细阐述皮亚诺公理体系，并展示如何严格地从这些公理构造出加法、乘法以及序关系。本书不满足于“自然数就是计数”，而是探讨其公理化的严谨性。 整数域 ($mathbb{Z}$) 的构造： 探讨如何通过等价关系和有序对，从自然数集构造出整数集，理解负数和零的代数地位。 有理数域 ($mathbb{Q}$) 的完备性探讨： 深入研究商集的构造，理解有理数系统中的封闭性、结合律、分配律的严格证明。 超越数与代数数： 初步介绍实数域的完备性问题（不使用对角线论证的详细步骤，而是侧重其蕴含的意义），并区分哪些实数可以通过有理系数多项式方程生成（代数数），哪些不能（超越数，如 $pi$ 和 $e$）。 第二章：环、域与代数运算的本质 (Rings, Fields, and the Essence of Algebraic Operations) 环的定义与例子： 详细讨论环的五个基本公理（加法交换群，乘法结合律，分配律）。我们将研究整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 为任意域）以及矩阵环 $M_n(F)$ 的区别与联系。 域 (Field) 的特性： 重点解析域的特征（Characteristic），区分特征为零的域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）和有限域 $mathbb{F}_p$。 理想与商环 (Ideals and Quotient Rings): 这是理解抽象代数结构的关键。我们将用构造性的方式解释理想如何“切割”一个环，从而生成新的、结构更简单的环。例如，如何从 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$。 初等数论在抽象代数中的体现： 探讨最大公约数（GCD）在欧几里得整环（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）中的作用，以及唯一分解整环（UFD）的概念。 --- 第二部分：线性代数：向量空间与变换 (Linear Algebra: Vector Spaces and Transformations) 本部分将线性代数从单纯的矩阵运算提升到抽象的向量空间理论高度，强调几何直觉与代数形式的统一。 第三章：向量空间的基础公理与实例 (Foundations of Vector Spaces) 向量空间的严格定义： 明确定义向量空间必须满足的八条公理。本书将探讨许多“非传统”的向量空间，例如：函数空间 $C[a, b]$（连续函数空间）、多项式空间 $P_n$、乃至无限维的序列空间。 子空间、生成集与线性无关性： 深入探讨线性无关集的意义——它代表了空间中信息的最精简描述。我们将使用抽象的线性组合定义，而不是仅仅依赖于求解方程组。 基与维数 (Basis and Dimension): 证明任何向量空间的基都具有相同的元素个数（维数），这是线性代数中最深刻的定理之一。理解维度如何量化了一个空间的“自由度”。 第四章：线性映射、矩阵表示与变换理论 (Linear Maps, Matrix Representation, and Transformation Theory) 线性映射的性质： 聚焦于核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）的概念，并严格证明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：$ ext{dim}( ext{Ker}(T)) + ext{dim}( ext{Im}(T)) = ext{dim}(V)$。 矩阵作为线性映射的表示： 阐述如何根据选定的基，将一个抽象的线性映射转化为特定的矩阵。重点讨论基变换（Change of Basis）对矩阵表示的影响。 相似性与等价性： 引入相似矩阵的概念，理解相似变换（即改变基）对特征值、特征向量和行列式的影响。 第五章：特征值、对角化与标准型 (Eigenvalues, Diagonalization, and Canonical Forms) 特征值的几何意义： 特征向量是线性变换下方向不变的向量，特征值是伸缩因子。我们不仅计算它们，更要理解它们在动力系统和微分方程中的作用。 对角化条件与不可对角化情况： 明确何时一个矩阵可以被对角化，并分析当矩阵不可对角化时，如存在代数重数大于几何重数的情况，如何使用若尔当标准型（Jordan Canonical Form）来提供最佳的“近似对角化”表示。 内积空间与正交性（选讲）： 引入内积（点积的推广），讨论施密特正交化过程，以及正交矩阵在保持长度和角度不变性方面的关键作用。 --- 第三部分：多项式代数与域扩张 (Polynomial Algebra and Field Extensions) 本部分关注多项式作为构建更复杂数系的“砖块”，这是伽罗瓦理论的先导。 第六章：多项式的代数结构 (Algebraic Structure of Polynomials) 多项式环 $F[x]$ 的性质： 证明多项式环的唯一分解性（类似于整数的唯一分解）。 多项式除法与根的存在性： 深入研究根的重数，以及多项式如何在给定的域上“分解”。 域的扩张 (Field Extensions): 介绍如何通过添加多项式的根来构造新的域。例如，如何从 $mathbb{Q}$ 构造 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，并分析这些新域的维度（作为 $mathbb{Q}$ 上的向量空间）。 --- 总结： 本书的核心价值在于其严谨的数学推导和对抽象概念的深入剖析。它不提供快速解题秘诀，而是致力于构建一个能够应对任何代数问题的、坚不可摧的理论基础。读者应具备一定的微积分或基础代数背景，以便更好地吸收线性代数和抽象代数的核心思想。 本书内容与SAT考试所要求的代数计算技巧、函数图像识别或三角函数应用等领域无直接交集。

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这本书的语言风格是我非常喜欢的。它没有那些晦涩难懂的学术术语，也没有故弄玄虚的华丽辞藻，而是用一种非常平实、清晰、易懂的语言来阐述复杂的数学概念。就好像一个经验丰富的朋友在和你聊天，分享他的解题心得。我曾经在其他教材上看到过一些让人头疼的定义，读了半天都不知道在说些什么。但在这本书里，作者总是能用最简洁明了的方式解释清楚，甚至会用类比的方式来帮助我们理解。比如，在讲解函数概念时，作者会用“投入与产出”的比喻，让你立刻就能明白函数的作用。更重要的是，作者在解释每一个公式和定理时，都会给出一到两个典型的例题，并且详细地解析了每一个解题步骤，让你不仅知道“怎么做”，更知道“为什么这么做”。这种深入浅出的讲解方式，让我不再害怕数学，甚至开始感受到数学的魅力。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮。封面选用了深邃的蓝色，搭配亮眼的黄色字体，整体感觉既沉静又不失活力，仿佛预示着一场智慧的冒险即将展开。翻开扉页，纸张的质感相当不错，光滑但不反光，即便长时间阅读也不会感到刺眼。内页的排版也很人性化，字体大小适中，行间距恰到好处，阅读起来十分舒适。每一章的开头都配有精美的插图，这些插图并非随意的点缀，而是巧妙地将抽象的数学概念以具象化的方式呈现出来，比如将概率论的公式融入到抛硬币的趣味场景中，或是将几何图形的变换与建筑设计联系起来。这些视觉元素有效地降低了学习的枯燥感，让我在开始阅读之前就充满期待。书中的目录结构清晰明了，每个章节的主题都概括得很到位，让我能够快速找到自己需要复习或学习的部分。而且，每一章的结尾还设有“本章小结”和“思考题”，这不仅帮助我巩固当堂知识，还能引发更深层次的思考，可以说是非常贴心了。整体而言，从这本书的外观到内页设计，都透露出一种严谨而又不失创意的态度，让我觉得这是一本值得认真对待的学习材料。

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我觉得，一本真正优秀的教材，不仅仅是知识的搬运工，更应该是一个能够激发学习者内在动力的催化剂。这本书恰恰做到了这一点。它不仅仅是教你如何解题，更是在潜移默化中培养你的数学思维。书中大量的题目设计，都不仅仅是简单的计算和代数操作，而是更侧重于考察你分析问题、解决问题的能力。很多题目都提供了多种解法，并且作者会深入剖析不同解法的优劣，让你学会从不同的角度去看待同一个问题。这种思维训练，对于SAT数学考试来说是至关重要的，因为SAT数学往往不考死记硬背，而是考你的灵活运用和逻辑推理能力。每次完成这本书中的一些思考题，我都会有一种豁然开朗的感觉，感觉自己的数学思维被打开了。这让我不再把SAT数学看成是一项枯燥的任务，而是把它当作一个锻炼自己解决问题能力的机会，这本身就极大地提升了我的学习动力。

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对于我这样一位正在备考SAT的学生来说，时间无疑是最宝贵的资源。所以，一本能够高效帮助我查漏补缺、提升速度的教材至关重要。这本书的结构安排就非常符合我的需求。它将SAT数学的知识点进行了细致的划分，并且对每个知识点的考察频率和难度进行了初步的预估。这让我在复习时能够做到有的放矢，将更多精力放在那些自己相对薄弱或者在考试中占比更高的部分。我特别欣赏书中提供的“分阶段练习”模式。不是上来就给你一套完整的模拟题，而是根据知识点的掌握程度，循序渐进地安排练习。比如，当你学完某个章节后，它会提供该章节的专项练习；当你掌握了几个相关章节后，又会有一组综合性的练习。这种“小步快跑”的学习方式，让我能够及时检验自己的学习成果，并迅速纠正错误，避免将错误延续到后面的学习中。而且，书中的题目设计也相当灵活，既有巩固基础的入门题，也有挑战思维的进阶题，能够满足不同水平的考生。

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我一直觉得，一本好的学习资料，不仅仅在于内容的深度，更在于它能否真正地“对话”读者，引导读者主动思考。这本书在这方面做得尤为出色。在讲解每一个概念时，作者并非简单地罗列定义和公式，而是像一位经验丰富的老师，循循善诱地引导我理解数学背后的逻辑。他会先从一个实际生活中的小问题入手，比如“如何计算一次多项选择题全对的概率？”然后，再逐步引出相关的数学概念和公式，让你在解决问题的过程中自然而然地掌握知识。我特别喜欢书中的“易错点提醒”和“陷阱分析”环节。很多时候，我们花费了大量时间去学习，但却因为一些微小的细节或常见的思维误区而功亏一篑。这本书就像是为我量身打造了一位“保姆”，提前预判了我可能遇到的困难，并给出了清晰的解决方案。例如，在讲到不等式性质时，它不仅列出了各种情况，还特别强调了“两边同乘以负数时不等号方向改变”这个关键点，并配上了形象的图示，让我印象深刻。这种“预防性”的教学方式，极大地提高了我的学习效率，让我能够更自信地应对各种题型。

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如果是为了把七百多分得数学单项提高到800分而做这本书，真的没必要，没多大用啊……

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如果是为了把七百多分得数学单项提高到800分而做这本书，真的没必要，没多大用啊……