Leçons sur le calcul des variations professées par J. Hadamard ... recueillies par M. Fréchet pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Jacques Hadamard

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1910-01-01

价格:USD 29.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781429702881

丛书系列:

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变分法的精要与实践：跨越经典与现代的数学之旅 本书并非雅克·哈达玛（J. Hadamard）关于变分法（Calcul des Variations）的讲义汇编，而是试图构建一个独立、系统且深入探讨变分法及其在现代科学中应用的全新知识体系。本书将引导读者从基础概念出发，逐步攀登至变分原理的抽象前沿，并展示其在物理、几何乃至最优化理论中的强大解释力。 第一部分：变分法的基本结构与欧拉-拉格朗日方程的建立 第一章：函数的变分与泛函的引入 本章旨在确立变分分析的数学基础。我们将首先定义泛函（Functional）——即从一个函数空间到实数域的映射。区别于传统微积分中自变量为实数或向量的函数，泛函的“变量”是函数本身。 1.1 变分的几何意义与物理直觉：通过考虑曲线的长度最小化（测地线问题）和光程最小化（费马原理），直观地引入“使泛函取极值”的思想。 1.2 一阶变分（第一变分）的定义与计算：精确定义函数 $y(x)$ 在扰动 $delta y(x)$ 下所引起的泛函 $J[y]$ 的线性部分——一阶变分 $delta J$。重点探讨有限维空间中梯度概念在函数空间中的推广。 1.3 变分法的基本引理（基本引理）：详述核心的变分引理，即若 $delta J[y] = 0$ 对任意合法的变分 $delta y$ 都成立，则 $y$ 必须满足某个特定的微分方程。此引理是后续所有极值条件的理论基石。 第二章：欧拉-拉格朗日方程的推导与性质 本章聚焦于求解不含显式自变量的简单泛函的最优解。 2.1 无约束的欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange, E-L）方程：从一阶变分等于零出发，通过分部积分和应用基本引理，严格推导出描述极值曲线的二阶常微分方程。 2.2 拉格朗日函数与守恒量：若拉格朗日量 $L$ 不显含自变量 $x$（即 $partial L / partial x = 0$），则可导出诺特定理的初步形式——能量守恒（或称为哈密顿第一积分）。 2.3 横截条件与边界约束：讨论当函数的端点不固定时（自由边界条件），极值解必须满足的横截条件（Transversality Conditions），这在优化控制问题中至关重要。 2.4 高阶变分与充分条件：引入二阶变分（$delta^2 J$），并探讨勒让德条件（Legendre Condition）作为局部极小值的必要条件。 第二部分：变分法的推广与边界值的处理 第三章：带约束的变分问题 变分法在工程和经济学中常需处理等式或不等式约束。 3.1 等式约束——拉格朗日乘数法在泛函空间的应用：对于形如 $int G(x, y, y') dx = 0$ 的等式约束，引入拉格朗日乘子函数 $lambda(x)$，建立扩充后的拉格朗日量，并推导联合的欧拉-拉格朗日方程组。 3.2 不等式约束与卡罗什-库恩-塔克（KKT）条件：处理固定边界上或内部函数值受限（如 $y(x) ge a(x)$）的问题。通过引入斯莱特（Slater）条件和乘子函数，阐述变分不等式的形式，最终导出变分领域的 KKT 条件。 第四章：微分方程作为约束（最优控制理论的萌芽） 本章将变分法与动力学系统相结合。 4.1 状态变量与控制变量：将微分方程 $dot{x} = f(x, u, t)$ 视为约束，目标是最小化性能指标 $J = int L(x, u, t) dt$。 4.2 庞特里亚金极大值原理（Pontryagin's Maximum Principle, PMP）：构建哈密顿量 $H(x, u, p, t)$，系统地推导出自伴随方程（Adjoint Equations）和最优控制律。PMP 是现代最优控制的基石，其数学结构与经典变分法的联系与区别将被深入剖析。 第三部分：直接法、近似与稳定性 第五章：直接法与能量泛函的最小化 直接法避免了解微分方程，直接在函数空间中寻找最优解。 5.1 能量泛函的定义与物理意义：将稳定问题的平衡态视为能量泛函的最小值。讨论能量泛函的结构特性（如二次型或凸性）。 5.2 黎茨空间与黎茨-里兹法（Ritz Method）：选择一组完备的基函数逼近解 $y_N(x)$，将无限维问题转化为有限维的优化问题（矩阵求逆或求解线性方程组）。讨论收敛性的充分条件。 5.3 有限元方法的数学基础：将黎茨法推广到更一般、更灵活的基函数选择上，为现代数值计算奠定理论基础。 第六章：变分问题的正则性与稳定性 在证明一个解存在后，必须探究其性质。 6.1 解的存在性：直接法与极小化序列：在满足适当的“弱收敛”条件下（如紧致性），证明存在一个函数序列使得泛函收敛到其下确界。 6.2 正则性理论的初步：若拉格朗日量具有足够的平滑性，且边界条件满足，探讨欧拉-拉格朗日解是否也具有相同的平滑性。讨论解的唯一性与光滑性之间的关系。 6.3 二阶变分的特征值问题：利用二阶变分来判断解是极小值、极大值还是鞍点，将稳定分析与矩阵的特征值问题联系起来。 第四部分：几何学中的变分应用 第七章：曲面理论与极小曲面 本章将变分法置于微分几何的背景下，探讨最小表面积的问题。 7.1 面积泛函：定义曲面的面积泛函 $A[S]$，并考虑其变分。 7.2 极小曲面的微分方程：推导出描述极小曲面的平均曲率恒为零的条件，即欧拉-拉格朗日方程在三维空间中的具体形式。 7.3 Plateau 问题：讨论极小曲面的存在性难题（普拉托问题），以及周期边界条件下的解的性质，例如肥皂膜的形状。 通过这四个部分，本书旨在提供一个严谨的、覆盖了从基础推导到高级应用的全景式变分法课程，强调其作为连接分析、控制与几何学的核心数学工具的地位。

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从历史文献的角度来看，这本书的价值同样不可估量。它不仅记录了雅克·哈达玛在数学上的贡献，更定格了二十世纪初高等数学教学的一个侧面。通过弗雷谢的记录，我们得以窥见当时欧洲顶级学府的课堂氛围和学术标准。这种“第一手”的记录，远比后世的二手整理更具有现场感和生命力。我可以想象，在那些布满黑板粉笔灰的教室里，思路的火花是如何在老师的阐述和学生的质疑之间碰撞产生的。书中某些证明的构建方式，虽然在后来的发展中可能出现了更简洁的表述，但其最初的思路脉络，却充满了那个时代数学家探索未知时的那种“拓荒精神”。这种精神，对于今天的我们反思数学教育的本质，重拾对数学美学的追求，有着深刻的警示作用。它提醒我们，最伟大的数学发现往往诞生于对基本概念的深刻反思，而非仅仅是工具的迭代更新。

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当我深入到这部作品的核心章节时，我发现它对变分原理的探讨，远超出了教科书范畴的广度和深度。它似乎有意地避开了那种仅停留于应用层面或纯粹公式推导的肤浅处理，而是执着于探究变分问题的内在结构和拓扑性质。我特别欣赏作者处理“边界条件”时所展现的洞察力，那种对物理直觉与数学抽象之间张力的捕捉，极为精妙。书中对极值存在的条件、解的正则性等关键问题的讨论，处理得极其扎实且富有启发性。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼那些看似简洁的推导步骤，因为它们背后蕴含着深厚的泛函分析基础。这本书的价值在于，它不只是告诉你“如何做”，更让你理解“为何如此”。它迫使读者主动去构建完整的逻辑链条，而不是被动接受既定的结论。对于那些已经掌握了基础变分法，渴望更进一步探究其理论根基的进阶学习者来说，这无疑是一笔宝贵的财富，它提供了一个坚实的理论支点，让你能够更自信地面对更复杂的数学问题。

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这部著作的装帧设计着实令人眼前一亮，封面的那种古朴与现代的微妙平衡，散发出一种知识的厚重感，让人忍不住想立刻翻开它。内页的纸张质感也十分考究，即使是早期的印刷品，排版也显得精致而清晰，这对于研读像变分法这种逻辑性极强的学科来说，是极其重要的体验。初次捧读时，我最大的感受是它所蕴含的学术精神——那种对数学真理毫不妥协的严谨态度，即使是课堂讲义的汇编，也丝毫没有敷衍的痕迹。马尔丹教授（Fréchet）的整理工作功不可没，使得哈达玛（Hadamard）先生那深邃的洞察力得以如此清晰地呈现在世人面前。我注意到，书中对于一些基础概念的引入，并非是生硬的公式堆砌，而是循序渐进，仿佛一位经验丰富的导师在耳边细细讲解，引导你从直观感受过渡到形式化的逻辑构建中去。这种教学的温度，在当今许多冷冰冰的教材中是难以寻觅的。它不仅仅是一本工具书，更像是一次与二十世纪初最伟大的数学家之一进行的深度对话，让人在阅读中不仅学习了知识，更领悟了数学家思考问题的视角和方法论，这无疑是最大的收获。

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细细品味这本书中对分析方法论的侧重，我越来越觉得它更像是一部关于“如何构建数学理论”的指南，而非单纯的“变分法教程”。哈达玛的思维方式——那种坚持从最基本、最普遍的条件出发，去探寻问题的本质限制——深深地影响了我对其他数学领域的看法。书中对收敛性和稳定性讨论的细致程度，已经触及了现代泛函分析的一些前沿领域，这在当时的环境下，无疑是极具前瞻性的。它不回避困难，而是直面那些“病态”的例子，试图为这些反常现象找到合理的数学解释。这种“不妥协的求真精神”，是任何时代顶尖数学家所共有的品质。对于渴望理解数学发展脉络，并希望将分析工具运用到更广阔领域的研究者而言，这部汇编提供的视角是无可替代的。它成功地将一个具体的数学分支，提升到了哲学和方法论的高度，让人在学完具体技巧的同时，也提升了自身的数学素养和批判性思维。

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阅读体验上，这部作品带给我的是一种近乎“智力上的挑战与享受”交织的奇妙感受。它的语言风格是典型的法式严谨，逻辑链条清晰可见，但同时又带着一种优雅的内在节奏。我发现，即便是对照着现代的参考书进行比对，这本书中某些关键性的论证，依然显得那么有力且不可替代。比如，在处理某些非线性问题时的初步思路铺陈，显示了哈达玛本人在面对尚未完全成熟的理论框架时，是如何构建起一套自洽的分析体系的。这要求读者必须保持高度的专注力，因为稍微走神，就可能错过一个至关重要的前提假设或者一个微妙的转折点。然而，正是这种“高门槛”，使得最终的理解显得格外踏实和牢固。它不是那种能让你快速“入门”的读物，而是需要你投入时间、心力去“征服”的经典，一旦攻克，收获的知识密度是惊人的，足以成为构建自己数学知识体系的坚实基石。

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