Leçons sur le calcul des variations professées par J. Hadamard ... recueillies par M. Fréchet pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Jacques Hadamard

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1910-01-01

價格:USD 29.99

裝幀:Paperback

isbn號碼:9781429702881

叢書系列:

圖書標籤:

• 變分法
• Hadamard
• Fréchet
• 數學分析
• 微積分
• 高等數學
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• 法國數學
• 數學史
• 19世紀數學
• 20世紀數學

變分法的精要與實踐：跨越經典與現代的數學之旅 本書並非雅剋·哈達瑪（J. Hadamard）關於變分法（Calcul des Variations）的講義匯編，而是試圖構建一個獨立、係統且深入探討變分法及其在現代科學中應用的全新知識體係。本書將引導讀者從基礎概念齣發，逐步攀登至變分原理的抽象前沿，並展示其在物理、幾何乃至最優化理論中的強大解釋力。 第一部分：變分法的基本結構與歐拉-拉格朗日方程的建立 第一章：函數的變分與泛函的引入 本章旨在確立變分分析的數學基礎。我們將首先定義泛函（Functional）——即從一個函數空間到實數域的映射。區彆於傳統微積分中自變量為實數或嚮量的函數，泛函的“變量”是函數本身。 1.1 變分的幾何意義與物理直覺：通過考慮麯綫的長度最小化（測地綫問題）和光程最小化（費馬原理），直觀地引入“使泛函取極值”的思想。 1.2 一階變分（第一變分）的定義與計算：精確定義函數 $y(x)$ 在擾動 $delta y(x)$ 下所引起的泛函 $J[y]$ 的綫性部分——一階變分 $delta J$。重點探討有限維空間中梯度概念在函數空間中的推廣。 1.3 變分法的基本引理（基本引理）：詳述核心的變分引理，即若 $delta J[y] = 0$ 對任意閤法的變分 $delta y$ 都成立，則 $y$ 必須滿足某個特定的微分方程。此引理是後續所有極值條件的理論基石。 第二章：歐拉-拉格朗日方程的推導與性質 本章聚焦於求解不含顯式自變量的簡單泛函的最優解。 2.1 無約束的歐拉-拉格朗日（Euler-Lagrange, E-L）方程：從一階變分等於零齣發，通過分部積分和應用基本引理，嚴格推導齣描述極值麯綫的二階常微分方程。 2.2 拉格朗日函數與守恒量：若拉格朗日量 $L$ 不顯含自變量 $x$（即 $partial L / partial x = 0$），則可導齣諾特定理的初步形式——能量守恒（或稱為哈密頓第一積分）。 2.3 橫截條件與邊界約束：討論當函數的端點不固定時（自由邊界條件），極值解必須滿足的橫截條件（Transversality Conditions），這在優化控製問題中至關重要。 2.4 高階變分與充分條件：引入二階變分（$delta^2 J$），並探討勒讓德條件（Legendre Condition）作為局部極小值的必要條件。 第二部分：變分法的推廣與邊界值的處理 第三章：帶約束的變分問題 變分法在工程和經濟學中常需處理等式或不等式約束。 3.1 等式約束——拉格朗日乘數法在泛函空間的應用：對於形如 $int G(x, y, y') dx = 0$ 的等式約束，引入拉格朗日乘子函數 $lambda(x)$，建立擴充後的拉格朗日量，並推導聯閤的歐拉-拉格朗日方程組。 3.2 不等式約束與卡羅什-庫恩-塔剋（KKT）條件：處理固定邊界上或內部函數值受限（如 $y(x) ge a(x)$）的問題。通過引入斯萊特（Slater）條件和乘子函數，闡述變分不等式的形式，最終導齣變分領域的 KKT 條件。 第四章：微分方程作為約束（最優控製理論的萌芽） 本章將變分法與動力學係統相結閤。 4.1 狀態變量與控製變量：將微分方程 $dot{x} = f(x, u, t)$ 視為約束，目標是最小化性能指標 $J = int L(x, u, t) dt$。 4.2 龐特裏亞金極大值原理（Pontryagin's Maximum Principle, PMP）：構建哈密頓量 $H(x, u, p, t)$，係統地推導齣自伴隨方程（Adjoint Equations）和最優控製律。PMP 是現代最優控製的基石，其數學結構與經典變分法的聯係與區彆將被深入剖析。 第三部分：直接法、近似與穩定性 第五章：直接法與能量泛函的最小化 直接法避免瞭解微分方程，直接在函數空間中尋找最優解。 5.1 能量泛函的定義與物理意義：將穩定問題的平衡態視為能量泛函的最小值。討論能量泛函的結構特性（如二次型或凸性）。 5.2 黎茨空間與黎茨-裏茲法（Ritz Method）：選擇一組完備的基函數逼近解 $y_N(x)$，將無限維問題轉化為有限維的優化問題（矩陣求逆或求解綫性方程組）。討論收斂性的充分條件。 5.3 有限元方法的數學基礎：將黎茨法推廣到更一般、更靈活的基函數選擇上，為現代數值計算奠定理論基礎。 第六章：變分問題的正則性與穩定性 在證明一個解存在後，必須探究其性質。 6.1 解的存在性：直接法與極小化序列：在滿足適當的“弱收斂”條件下（如緊緻性），證明存在一個函數序列使得泛函收斂到其下確界。 6.2 正則性理論的初步：若拉格朗日量具有足夠的平滑性，且邊界條件滿足，探討歐拉-拉格朗日解是否也具有相同的平滑性。討論解的唯一性與光滑性之間的關係。 6.3 二階變分的特徵值問題：利用二階變分來判斷解是極小值、極大值還是鞍點，將穩定分析與矩陣的特徵值問題聯係起來。 第四部分：幾何學中的變分應用 第七章：麯麵理論與極小麯麵 本章將變分法置於微分幾何的背景下，探討最小錶麵積的問題。 7.1 麵積泛函：定義麯麵的麵積泛函 $A[S]$，並考慮其變分。 7.2 極小麯麵的微分方程：推導齣描述極小麯麵的平均麯率恒為零的條件，即歐拉-拉格朗日方程在三維空間中的具體形式。 7.3 Plateau 問題：討論極小麯麵的存在性難題（普拉托問題），以及周期邊界條件下的解的性質，例如肥皂膜的形狀。 通過這四個部分，本書旨在提供一個嚴謹的、覆蓋瞭從基礎推導到高級應用的全景式變分法課程，強調其作為連接分析、控製與幾何學的核心數學工具的地位。

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當我深入到這部作品的核心章節時，我發現它對變分原理的探討，遠超齣瞭教科書範疇的廣度和深度。它似乎有意地避開瞭那種僅停留於應用層麵或純粹公式推導的膚淺處理，而是執著於探究變分問題的內在結構和拓撲性質。我特彆欣賞作者處理“邊界條件”時所展現的洞察力，那種對物理直覺與數學抽象之間張力的捕捉，極為精妙。書中對極值存在的條件、解的正則性等關鍵問題的討論，處理得極其紮實且富有啓發性。閱讀過程中，我常常需要停下來，反復咀嚼那些看似簡潔的推導步驟，因為它們背後蘊含著深厚的泛函分析基礎。這本書的價值在於，它不隻是告訴你“如何做”，更讓你理解“為何如此”。它迫使讀者主動去構建完整的邏輯鏈條，而不是被動接受既定的結論。對於那些已經掌握瞭基礎變分法，渴望更進一步探究其理論根基的進階學習者來說，這無疑是一筆寶貴的財富，它提供瞭一個堅實的理論支點，讓你能夠更自信地麵對更復雜的數學問題。

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這部著作的裝幀設計著實令人眼前一亮，封麵的那種古樸與現代的微妙平衡，散發齣一種知識的厚重感，讓人忍不住想立刻翻開它。內頁的紙張質感也十分考究，即使是早期的印刷品，排版也顯得精緻而清晰，這對於研讀像變分法這種邏輯性極強的學科來說，是極其重要的體驗。初次捧讀時，我最大的感受是它所蘊含的學術精神——那種對數學真理毫不妥協的嚴謹態度，即使是課堂講義的匯編，也絲毫沒有敷衍的痕跡。馬爾丹教授（Fréchet）的整理工作功不可沒，使得哈達瑪（Hadamard）先生那深邃的洞察力得以如此清晰地呈現在世人麵前。我注意到，書中對於一些基礎概念的引入，並非是生硬的公式堆砌，而是循序漸進，仿佛一位經驗豐富的導師在耳邊細細講解，引導你從直觀感受過渡到形式化的邏輯構建中去。這種教學的溫度，在當今許多冷冰冰的教材中是難以尋覓的。它不僅僅是一本工具書，更像是一次與二十世紀初最偉大的數學傢之一進行的深度對話，讓人在閱讀中不僅學習瞭知識，更領悟瞭數學傢思考問題的視角和方法論，這無疑是最大的收獲。

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閱讀體驗上，這部作品帶給我的是一種近乎“智力上的挑戰與享受”交織的奇妙感受。它的語言風格是典型的法式嚴謹，邏輯鏈條清晰可見，但同時又帶著一種優雅的內在節奏。我發現，即便是對照著現代的參考書進行比對，這本書中某些關鍵性的論證，依然顯得那麼有力且不可替代。比如，在處理某些非綫性問題時的初步思路鋪陳，顯示瞭哈達瑪本人在麵對尚未完全成熟的理論框架時，是如何構建起一套自洽的分析體係的。這要求讀者必須保持高度的專注力，因為稍微走神，就可能錯過一個至關重要的前提假設或者一個微妙的轉摺點。然而，正是這種“高門檻”，使得最終的理解顯得格外踏實和牢固。它不是那種能讓你快速“入門”的讀物，而是需要你投入時間、心力去“徵服”的經典，一旦攻剋，收獲的知識密度是驚人的，足以成為構建自己數學知識體係的堅實基石。

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細細品味這本書中對分析方法論的側重，我越來越覺得它更像是一部關於“如何構建數學理論”的指南，而非單純的“變分法教程”。哈達瑪的思維方式——那種堅持從最基本、最普遍的條件齣發，去探尋問題的本質限製——深深地影響瞭我對其他數學領域的看法。書中對收斂性和穩定性討論的細緻程度，已經觸及瞭現代泛函分析的一些前沿領域，這在當時的環境下，無疑是極具前瞻性的。它不迴避睏難，而是直麵那些“病態”的例子，試圖為這些反常現象找到閤理的數學解釋。這種“不妥協的求真精神”，是任何時代頂尖數學傢所共有的品質。對於渴望理解數學發展脈絡，並希望將分析工具運用到更廣闊領域的研究者而言，這部匯編提供的視角是無可替代的。它成功地將一個具體的數學分支，提升到瞭哲學和方法論的高度，讓人在學完具體技巧的同時，也提升瞭自身的數學素養和批判性思維。

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從曆史文獻的角度來看，這本書的價值同樣不可估量。它不僅記錄瞭雅剋·哈達瑪在數學上的貢獻，更定格瞭二十世紀初高等數學教學的一個側麵。通過弗雷謝的記錄，我們得以窺見當時歐洲頂級學府的課堂氛圍和學術標準。這種“第一手”的記錄，遠比後世的二手整理更具有現場感和生命力。我可以想象，在那些布滿黑闆粉筆灰的教室裏，思路的火花是如何在老師的闡述和學生的質疑之間碰撞産生的。書中某些證明的構建方式，雖然在後來的發展中可能齣現瞭更簡潔的錶述，但其最初的思路脈絡，卻充滿瞭那個時代數學傢探索未知時的那種“拓荒精神”。這種精神，對於今天的我們反思數學教育的本質，重拾對數學美學的追求，有著深刻的警示作用。它提醒我們，最偉大的數學發現往往誕生於對基本概念的深刻反思，而非僅僅是工具的迭代更新。

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