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出版者:American Mathematical Society, Courant Institute of Mathematical Sciences at New York University

作者:Jalal Shatah and Michael Struwe

出品人:

页数:138

译者:

出版时间:2000-10-24

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821827499

丛书系列:Courant Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 几何波方程
• 偏微分方程
• 波动理论
• 数学物理
• 傅里叶分析
• 泛函分析
• 调和分析
• 谱理论
• 数值分析
• 应用数学

探索数学的奥秘：线性代数与微分几何的交汇 《线性代数基础与应用》 本书导言 本导览旨在深入浅出地介绍线性代数的核心概念及其在现代科学、工程和数据分析中的广泛应用。我们将构建坚实的理论基础，从向量空间、线性映射的本质，到矩阵理论的精妙结构，最终探讨这些抽象工具如何解决现实世界中的复杂问题。本书力求在严谨性与可读性之间取得平衡，帮助读者构建起对线性代数世界的直观理解和操作能力。 第一部分：向量空间与基础结构 线性代数的基石在于向量空间。本书从向量的几何直观出发，逐步过渡到抽象的代数定义。 第一章：向量与域 向量的定义与性质： 向量的加法、标量乘法的封闭性与运算律。 数域（Field）： 介绍实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 作为线性运算的基底。 子空间（Subspaces）： 如何识别一个向量集合是否构成子空间，以及子空间的生成、和与交。 第二章：线性组合、张成与线性无关性 线性组合（Linear Combinations）： 表达一个向量是其他向量的组合。 张成集合（Spanning Sets）： 一个集合如何“覆盖”整个向量空间。 线性相关性与线性无关性（Linear Dependence and Independence）： 识别集合中是否存在冗余向量，这是理解结构复杂度的关键。 第三章：基与维数 基（Basis）： 向量空间的最小生成集，是描述空间结构的最简洁框架。 维数（Dimension）： 描述空间“大小”的内在属性。 同构（Isomorphism）： 证明不同结构但本质相同的向量空间之间的对应关系。 第二部分：矩阵与线性映射 矩阵是线性代数中最强大的工具，它们是线性映射在特定基下的具体表现形式。 第四章：矩阵的运算与线性映射 矩阵的定义与基本运算： 加法、数乘、乘法——深入理解矩阵乘法背后的复合变换意义。 线性映射（Linear Transformations）： 从一个向量空间到另一个向量空间的结构保持映射。 矩阵的表示： 如何根据选择的基来表示一个固定的线性映射。 第五章：子空间与矩阵的关系 列空间（Column Space, Im($T$)）： 映射值的范围，与方程组解的存在性直接相关。 零空间（Null Space, Ker($T$)）： 映射到零向量的向量集合，与方程组解的齐次部分相关。 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）： 揭示了输入维度、输出维度与核空间维度之间的深刻联系。 第六章：矩阵的行列式 行列式的定义与性质： 通过代数公式或几何解释（有向面积/体积的缩放因子）。 行列式与可逆性（Invertibility）： 行列式非零是矩阵可逆的充要条件。 代数几何意义： 行列式如何反映线性变换对体积的影响。 第三部分：对角化与特征值理论 特征值和特征向量揭示了线性变换在特定方向上（特征向量方向）的纯粹缩放行为（特征值）。 第七章：特征值与特征向量 定义与计算： 求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$。 特征空间的理解： 特征值对应的子空间。 对角化（Diagonalization）： 当矩阵可对角化时，可以极大地简化矩阵的幂运算和动态系统分析。 第八章：相似性与经典规范形 相似矩阵（Similar Matrices）： 描述在不同基下对同一线性映射的描述。 若尔当标准型（Jordan Canonical Form）： 针对不可对角化矩阵的普适表示，是理解一般线性变换结构的关键。 第九章：内积空间与正交性 内积（Inner Product）： 引入长度、角度和距离的概念，使抽象空间具体化。 正交性（Orthogonality）： 坐标轴的去相关性。 施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）： 如何从任意基构造一组正交基。 正交投影： 求解最小二乘问题的基础。 第四部分：应用与高级主题 第十章：最小二乘法与数据拟合 线性回归的矩阵表述： 如何在数据点不完全满足模型时，找到“最佳”拟合解。 正规方程组（Normal Equations）的推导与求解。 第十一章：应用举例：动态系统 离散时间系统： 使用状态转移矩阵分析时间序列数据的演化。 稳定性分析： 基于特征值位置对系统长期行为的预测。 --- 《经典力学中的张量分析》 本书导言 本书旨在为物理学、工程学及应用数学的研究者提供一套严谨而实用的张量分析工具集，重点关注其在描述物理场和连续介质力学中的应用。张量作为多线性映射的自然推广，是处理各向异性材料和复杂几何变形的必备语言。本书将从张量的基本定义出发，穿梭于微分几何的弯曲时空，最终聚焦于刚体动力学和电磁场理论中的具体张量形式。我们强调从物理直觉出发，构建数学形式的桥梁。 第一部分：张量的基础构造与代数 张量是对向量和标量概念的自然延伸，用以描述物理量与坐标系选择无关的本质属性。 第一章：张量的起源与定义 标量与向量的张量视角： 零阶张量和一阶张量。 共变与反变向量（Covariant and Contravariant Vectors）： 坐标变换下的行为差异（上指标与下指标的引入）。 张量的多重线性性定义： 基于多重线性映射的严格构造。 第二章：指标符号与爱因斯坦求和约定 指标的意义： 上指标（自由指标、哑指标）的引入和处理规则。 爱因斯坦求和约定： 简化张量代数表达式的强大工具。 克罗内克符号（Kronecker Delta）与黎曼克里斯托费尔符号（Levi-Civita Symbol）的张量性质。 第三章：张量的代数运算与变换 张量的缩并（Contraction）： 降低张量阶数的操作。 张量的外积（Outer Product）与张量积。 指标的升降： 协变与反变指标之间的转换，依赖于度规张量。 第二部分：度规、微分与弯曲空间 在处理场论和广义相对论时，我们需要在弯曲空间中定义距离、角度和导数。 第四章：度规张量与内积 度规张量 $g_{mu u}$ 的定义： 决定空间中内积和距离的基础。 闵可夫斯基度规与欧几里得度规： 平直空间中的特例。 共变张量与反变张量的形成： 利用 $g^{mu u}$ 和 $g_{mu u}$ 升降指标。 第五章：协变导数与黎曼几何的引入 平直空间中的梯度、散度与旋度： 使用指标符号表示。 弯曲空间中的挑战： 引入“虚拟的”矢量来解释导数在不同切平面上的比较。 联络系数（Connection Coefficients）与克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）： 定义协变导数的基础。 第六章：黎曼曲率张量 曲率的物理意义： 度量空间弯曲程度的内在量。 黎曼曲率张量 $R^{ ho}{}_{sigmamu u}$ 的定义与分量计算。 里奇张量（Ricci Tensor）与里奇标量（Ricci Scalar）： 它们在引力场方程中的关键作用。 第三部分：张量在物理学中的具体应用 第七章：张量在电磁场论中的统一 四维电磁势（Four-potential）与四维电流密度（Four-current）。 法拉第张量 $F_{mu u}$： 将电场 $mathbf{E}$ 和磁场 $mathbf{B}$ 统一为一个二阶反对称张量。 麦克斯韦方程组的张量形式： 展示其在洛伦兹变换下的形式不变性。 第八章：连续介质力学中的应力与应变 柯西应力张量（Cauchy Stress Tensor）： 描述物体内部作用力的二阶对称张量。 应变率张量与应变张量： 描述材料变形的几何量。 本构关系： 在各向同性弹性体中，应力张量与应变张量之间的线性关系（弹性系数）。 第九章：刚体动力学与转动惯量 惯性张量（Moment of Inertia Tensor）： 描述物体抵抗其绕轴转动能力的三阶对称张量。 角动量的张量表示： $mathbf{L} = mathbf{I} oldsymbol{omega}$。 欧拉方程（Euler Equations）的张量形式： 用于描述陀螺运动。 本书的最终目标是使读者能够熟练地使用张量语言，将复杂的物理概念转化为简洁的、坐标无关的数学表达式，从而在更深层次上理解物理定律的普适性。

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我是在一个跨学科研讨会上听闻这本书的，当时一位理论物理学家高度赞扬了它对量子场论中某些基本问题的启发意义。购入后，我发现这本书的特别之处在于它极强的统一性，作者成功地将看似风马牛不相及的领域——经典的波动理论与微分几何的抽象美学——编织成了一个逻辑自洽的整体。书中引用的文献跨度极大，从古老的欧几里得几何到最新的微分拓扑研究成果，都得到了恰当的引用和整合。我尤其欣赏作者在阐述完理论后，总会紧跟着一个精心设计的案例分析，这些案例不仅展示了理论的威力，也巧妙地回避了数学细节的过度冗余，让读者能够专注于抓住核心思想。这本书的语言是精炼且富有韵律感的，即便是在讨论最复杂的数学结构时，文字本身也保持着一种优雅的流动性，读起来是一种享受，一种对知识和美学的双重享受。

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这本书的深度绝对不是浪得虚名，它对“波”的定义进行了极大的拓展，远超出了我们传统意义上对声波或电磁波的理解。作者构建了一个全新的数学框架，用以描述存在于非欧几里得空间中的波动行为。我花了好几个星期才啃完关于“曲率对波传播速度影响”的章节，因为其中涉及到大量的张量分析和外微分形式的应用。尽管过程艰辛，但最终理解那种感觉是无与伦比的——仿佛自己掌握了一套全新的语言去描述宇宙中的基本现象。这本书的难度系数相当高，我建议只有那些对纯数学有深厚背景，并且对几何学抱有浓厚兴趣的读者才尝试挑战。它更像是一本高级研究生的参考书，而不是入门教材。但如果你有决心攻克它，那么它所带来的知识回报将是极其丰厚的，它会从根本上重塑你对“波动”这一概念的理解。

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说实话，我拿到这本书的时候，第一感觉是它的排版和装帧设计非常出色，那种沉稳的蓝色封面配上简洁的字体，透露出一种低调的学术气质。内容上，这本书的视野非常开阔，它不仅仅关注于理论的推导，还花费了大量的篇幅来讨论这些方程在实际工程问题中的潜在应用，比如在地震波模拟和新型光学材料设计中的应用前景。我特别喜欢作者在每一章末尾设置的“思考题”部分，这些问题往往不是简单地考察知识点的记忆，而是引导读者进行深层次的思考和创新性的联想。例如，其中有一章探讨了如何利用拓扑不变量来区分不同类型的几何波现象，这个想法对我启发很大，让我开始重新审视我在处理材料缺陷检测时遇到的那些棘手问题。这本书的写作风格非常具有个人特色，仿佛作者正坐在你旁边，耐心地为你讲解每一个难点，语气中充满了对数学美的热爱与执着，让人读起来倍感亲切，丝毫没有枯燥之感。

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这本书的出版，无疑给几何分析领域的研究者们带来了一股清新的空气。我是一个在非线性偏微分方程领域摸爬滚打多年的研究人员，原以为自己对“波”这个概念已经有了非常成熟的理解框架。但《几何波方程》这本书，彻底颠覆了我的固有认知。它巧妙地将经典的波动理论与现代微分几何的最新进展结合起来，尤其是在处理高维空间中的散射问题和适定性分析时，所采用的工具和方法都显得非常前沿和深刻。我最佩服作者的地方在于，他敢于挑战一些看似已经定论的传统观点，并用严密的数学论证推翻或修正了它们。书中的证明过程虽然繁复，但逻辑链条异常清晰，每一个步骤的推导都建立在坚实的基础之上，没有丝毫的含糊不清。对于那些希望将自己的研究推向更高层次的专业人士来说，这本书无疑是一座灯塔，指引着我们探索更广阔的数学疆域。它不是一本可以快速翻阅的书，而是一部需要沉下心来，细嚼慢咽才能体会其中妙处的鸿篇巨制。

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这是一本我最近才读完的书，书名是《几何波方程》。老实说，当我第一次翻开这本书的时候，我并没有抱太高的期望，因为我对这个领域的研究其实并不算深入。然而，这本书很快就以其独特的视角和深入浅出的讲解方式吸引了我。作者在处理复杂的数学概念时，展现出了令人惊叹的清晰度和洞察力。他不仅仅是将公式堆砌在一起，而是将波的运动和几何结构之间的内在联系阐述得淋漓尽致。特别是关于黎曼几何在描述波动现象中的应用部分，写得非常精彩，让人仿佛能看到那些抽象的曲线和曲面如何影响着声波、光波的传播路径。这本书的结构安排也很有条理，从基础概念的引入到高级主题的探讨，每一步都衔接得非常自然，使得即便是初学者也能逐步建立起坚实的理解基础。我尤其欣赏作者在解释一些关键定理时，总是会提供非常直观的物理图像或类比，这极大地帮助我克服了理解上的障碍。这本书读起来既有学术的严谨性，又不失阅读的趣味性，绝对是一本值得反复品味的佳作。

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