Nonstandard Analysis Theory and Applications (NATO Science Series C pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Arkeryd, Leif O.; Cutland, Nigel J.; Henson, C. Ward

出品人:

页数:380

译者:

出版时间:1997-04-30

价格:USD 286.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792345862

丛书系列:

图书标签:

• 非标准分析
• 数学分析
• 无穷小
• 无穷大
• 集合论
• 实分析
• 函数分析
• 拓扑学
• 理论数学
• 应用数学

好的，以下是一本名为《微积分基础：直觉与严格的桥梁》的图书简介。这本书旨在为初学者提供一个清晰、易懂且严谨的微积分入门途径，重点在于概念的直观理解与数学基础的建立。 --- 《微积分基础：直觉与严格的桥梁》 内容简介 本书是为大学本科一年级学生、自学者以及希望巩固微积分基础的专业人士精心设计的一本教材。我们深知微积分是现代科学、工程学和经济学不可或缺的基石，但传统教材往往在概念引入的直观性与数学上的严格性之间难以取得完美的平衡。本书的核心目标正是构建这样一座桥梁：在保留微积分核心思想的直观魅力与强大应用能力的同时，逐步引入并阐释其背后的严谨数学逻辑。 核心理念：从直觉到精确 微积分的魅力在于其能够描述变化、运动和积累。本书从一开始就强调理解这些核心概念的“感觉”。我们首先通过丰富的现实世界案例，如瞬时速度的确定、曲线下面积的计算，引导读者建立对极限、导数和积分的直观认识。例如，在引入导数时，我们不急于抛出 $epsilon-delta$ 定义，而是先深入探讨切线斜率的极限过程，让读者体会“无穷小逼近”的直观意义。 然而，直观理解必须辅以严格的数学基础。一旦概念在直觉上被接受，本书便会系统性地引入严格定义，并展示如何运用这些定义进行严谨的数学证明。这种“先见森林，后识树木”的教学策略，旨在避免初学者在面对严谨定义时感到无所适从，从而建立起对微积分体系的信心。 章节结构与内容深度 本书分为三个主要部分：极限与连续性、微分学、积分学。 第一部分：极限与连续性——微积分的语言 本部分是全书的基石。我们从实数系统($mathbb{R}$)的性质出发，回顾了基本代数知识，并为后续的严谨性分析打下基础。 序列与级数： 引入了收敛性的概念，为理解函数的极限行为做铺垫。我们详细讨论了单调收敛定理和柯西序列，强调了完备性的重要性。 函数的极限： 详细讲解了极限的直观概念（“接近”的意义），随后引入经典的 $epsilon-N$ （或 $epsilon-delta$）定义。通过大量的几何例子和代数练习，帮助读者熟练掌握如何使用这些定义来证明极限存在性或不存在性。我们特别关注极限的代数运算规则，并探讨了极限在无穷远处的情况。 连续性： 连续性被定义为“不间断的”函数行为。我们深入探讨了连续函数的代数性质，并重点证明了三大核心定理：介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT） 和 极值定理（Extreme Value Theorem, EVT）。这些定理的几何意义和理论应用贯穿全书。 第二部分：微分学——变化之律 微分学专注于瞬时变化率。 导数的定义与计算： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，导数的定义被清晰地阐述。本书在计算技巧上给予了足够的篇幅，涵盖了乘积法则、商法则、链式法则，以及多项式、三角函数、指数函数和对数函数的求导。 微分的应用： 这一部分是直观理解发挥最大作用的地方。我们详细分析了导数在函数图像分析（增减性、凹凸性、拐点）、最优化问题（最大值和最小值）、以及相关变化率问题中的应用。我们特别注重 L'Hôpital 法则的推导和应用，并解释了其背后的极限原理。 中值定理的深度剖析： 罗尔定理（Rolle’s Theorem）、平均值定理（Mean Value Theorem, MVT）和柯西中值定理被视为微分学的心脏。我们不仅证明了 MVT，更强调了它在证明不等式和函数性质时的不可替代性。 第三部分：积分学——积累与总量 积分学处理的是累积和面积问题。 黎曼和与定积分： 我们从构造黎曼和开始，逐步逼近曲线下的精确面积。本书详细展示了黎曼和的构造过程，并解释了为什么需要进行“取极限”操作来定义定积分。 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）： FTC 被誉为微积分的“黄金联系”。本书将其分为两部分，并分别给出了严格的证明。第一部分建立了导数和积分之间的反向关系，第二部分（牛顿-莱布尼茨公式）则提供了计算定积分的实用工具。 积分技巧与应用： 涵盖了主要的积分方法，包括换元法（u-substitution）、分部积分法、三角代换法和部分分式分解法。在应用方面，我们拓展到体积、弧长、曲面面积的计算，并引入了更广义的积分概念，如反常积分（Improper Integrals），并分析了其收敛性判定准则。 教学特色 1. 例题驱动： 每引入一个新概念，都伴随一个详细的、逐步分解的求解示例。 2. “为什么”与“如何做”并重： 不仅教授计算方法（如何做），更深入解释这些方法背后的数学原理（为什么）。 3. 视觉辅助： 书中包含大量高质量的图示，清晰地描绘了极限过程、切线逼近、黎曼和的累积，以及高维空间中的曲面概念，帮助读者建立空间想象力。 4. 概念辨析： 专门设置了“陷阱与误区”板块，澄清学生在学习过程中最常混淆的概念，例如“导数存在性”与“连续性”、“定积分”与“不定积分”之间的区别。 结语 《微积分基础：直觉与严格的桥梁》旨在培养出既能灵活运用微积分解决实际问题，又能深入理解其数学本质的读者。掌握了这些基础，读者便能自信地迈向更高阶的数学领域，如多元微积分、微分方程和实分析。本书是对微积分艺术与科学的忠实呈现，我们相信，通过清晰的阐述和严谨的论证，微积分的奥秘将向每一位求知者敞开大门。

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阅读这本《Nonstandard Analysis Theory and Applications》的过程，更像是一次与数学大师的深度对话。它不仅清晰地梳理了非标准分析的历史脉络——从莱布尼茨的直觉到洛宾逊的严谨化——而且展现了它在现代数学中的强大生命力。书中对于无限维度空间和函数空间的非标准处理，是传统分析工具难以触及的领域。例如，处理无限和时的积分和极限，在这里可以通过更有限的方式来表述，这极大地简化了某些复杂证明的表达形式。全书的排版和插图（如果包含的话，此处假设其图表清晰）都体现了专业出版物的标准，文字流畅，逻辑链条清晰可见。虽然其内容的前沿性和理论深度意味着它不太可能成为大众读物，但对于任何致力于探索数学分析极限、寻求更深层次统一理论的学者和高年级学生而言，这本书绝对是案头必备的经典之作，它挑战你固有的知识结构，并以一种革命性的方式重建你对“连续”和“无穷”的理解。

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初次接触这套“NATO Science Series C”中的卷册时，我抱持着一种审慎的态度，毕竟科学系列丛书的质量往往参差不齐，但这本书的深度和广度完全超出了我的预期。它不仅仅是对非标准分析（NSA）理论的简单介绍，更像是一部完整的“工具箱”手册。让我印象深刻的是它对于连续性、微分和积分概念的重新定义。传统分析往往需要依赖 $epsilon-delta$ 语言，这在直观理解上常常构成障碍，而这本书中引入的“标准部分”（standard part operator）和“无穷小量”（infinitesimals）则提供了一种更接近牛顿和莱布尼茨本意的处理方式，却又建立在严格的数理基础之上。书中对拓扑学和泛函分析的非标准处理方法的介绍，尤为精彩，它揭示了许多传统方法中隐藏的“巧合”是如何在更广阔的框架下变得自然而然。对于那些已经熟悉经典分析，但对现有框架感到束缚的研究者来说，这本书是极佳的“解毒剂”，它鼓励我们跳出固有的思维定势，去探索数学世界的更多可能性。

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这本《Nonstandard Analysis Theory and Applications》的出版，无疑为数学分析领域注入了一股清新的空气。我过去在学习传统微积分和实分析时，总觉得在处理无穷小和无穷大时，那种“极限”的定义总是在那里悬着，不够直观。阅读这本书，尤其是它对超实数（hyperreals）系统的详尽阐述，简直像打开了一扇新的大门。作者们没有回避那些在传统分析中显得晦涩难懂的概念，反而将其置于一个更加坚实、更具可操作性的框架之下。从基础的数理逻辑构建，到如何利用非标准模型来重构勒贝格积分和傅里叶分析，每一步都经过了深思熟虑的打磨。我特别欣赏它在应用层面的探讨，如何将这些看似抽象的工具应用于概率论和随机过程的建模中，这对于那些期望将理论知识转化为实际工具的读者来说，价值是无可估量的。全书的论证逻辑严密，数学符号的使用精准到位，但同时，作者们似乎也努力在保持严谨性的同时，兼顾了对初学者的友好度，尽管这依然是一本需要相当数学功底才能完全消化的著作。总而言之，它提供了一种理解分析学本质的全新视角，让人对“无穷”的敬畏感中多了一份掌控感。

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这本书的结构安排非常出色，它并没有将理论的严谨性与实际应用割裂开来。前半部分扎实地奠定了超实数系统和紧致性原理的理论基础，这部分内容对于理解非标准分析的合法性至关重要。但真正让我感到惊喜的是后半部分，其中关于微分方程解的存在性证明，以及在动力系统理论中的应用。作者们展示了如何使用无穷小量来描述系统的瞬时变化，这使得对复杂系统演化的分析变得更加直观和有力。与一些侧重于纯粹哲学探讨的分析著作不同，这本书的“Applications”部分是实实在在的数学工程。它没有停留在“我们可以这样想”的层面，而是展示了“我们确实可以这样计算和证明”。对于应用数学背景的读者，这本书无疑是一个宝贵的资源，它提供了一种不同于传统数值方法和渐近分析的、更具解析性的工具。

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坦率地说，这本书的阅读体验并非一帆风顺，它需要读者具备强大的数理逻辑背景和对高等数学概念的深刻理解。然而，一旦跨越了最初的知识壁垒，随之而来的收获是巨大的。我尤其关注其中关于测度论和概率论部分的讨论。在经典测度论中，处理不可测集总是令人头疼，而 NSA 似乎提供了一条更优雅的路径来避开这些悖论性的问题。书中对随机变量和鞅的非标准处理，展示了如何用更“具象”的方式来处理那些定义在无限样本空间上的概念。这种具象化并不意味着牺牲严谨性，恰恰相反，它是建立在完备的超实数系统之上的。此外，书中的许多习题和案例研究，都要求读者不仅要理解理论，更要动手去“构建”非标准模型下的证明，这极大地锻炼了读者的数学直觉和证明能力。这本书更像是为数学分析的高级学习者准备的一份深度钻研报告，而非入门教材。

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