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出版者:Springer

作者:Xingui He

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2010-01-13

价格:USD 169.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540737612

丛书系列:Advanced Topics in Science and Technology in China

图书标签:

• 神经网络
• 过程神经网络
• 深度学习
• 机器学习
• 模式识别
• 人工智能
• 计算智能
• 数据挖掘
• 信号处理
• 优化算法

《拓扑数据分析：从基础理论到前沿应用》 本书旨在系统、深入地探讨拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）的理论基础、核心算法以及在多个学科领域的实际应用。TDA作为一种新兴的数据科学工具，利用代数拓扑学的概念，尤其是持久同调（Persistent Homology），来捕捉数据集的“形状”或“内在结构”，为理解高维、非线性、噪声干扰下的复杂数据提供了强大的数学框架。 --- 第一部分：拓扑学基础与数据几何 本部分将为读者构建理解TDA所需的数学基石。我们将从最基本的拓扑空间概念入手，逐步过渡到更具应用价值的代数拓扑工具。 第一章：拓扑空间基础与度量 本章首先回顾经典拓扑学的核心概念，包括开集、闭集、紧致性、连通性等，强调这些概念在定义数据“邻近性”和“形态”中的作用。随后，我们将讨论在数据分析背景下，如何将离散数据集嵌入到拓扑空间中。重点介绍滤子化（Filtration）的概念——如何通过逐步增加连接阈值来构建一系列嵌套的拓扑结构，这是TDA的基石。此外，我们将探讨不同类型的度量空间（如欧氏空间、黎曼流形）对拓扑特征提取的影响，并引入临界距离（Critical Distance）的概念，解释为何某些连接的建立或断裂比其他连接更能揭示数据的内在结构。 第二章：同调理论入门：洞与连通性 本章是TDA的核心理论支撑。我们将详细介绍单纯复形（Simplicial Complex）的构造，包括0-单纯形（点）、1-单纯形（边）、2-单纯形（三角面）以及更高维度的单纯形。随后，我们将深入探讨链群（Chain Groups）、边界算子（Boundary Operator）和循环群（Cycle Groups）的概念，并据此定义拓扑学中的“洞”。特别关注$eta_k$数，即贝蒂数（Betti Numbers），它们量化了不同维度拓扑特征的数量：$eta_0$代表连通分支数，$eta_1$代表一维“环”或“洞”的数量，$eta_2$代表二维“空腔”的数量。本书将以直观的几何解释配合严格的代数推导，确保读者能清晰理解高维“洞”的含义。 第三章：持久同调：挖掘尺度不变的特征 持久同调（Persistent Homology, PH）是TDA的标志性工具。本章将详述如何通过对滤子化过程中的拓扑变化进行追踪，从而计算出拓扑特征的“寿命”或“持久性”。我们将详细介绍矩阵简化算法（如Smith Normal Form的应用）在计算持久同调群时的实现细节。核心内容包括：出生时间（Birth Time）和死亡时间（Death Time）的定义，以及如何利用这些信息构建持久图（Persistence Diagrams, PD）。PD被视为数据集的“拓扑指纹”，我们将分析如何解读PD中的点的位置和密度，判断哪些拓扑特征是真正的结构信号，哪些是噪声导致的短暂现象。 --- 第二部分：拓扑特征的量化与表示 仅仅计算出持久图是不够的，如何将这些信息转化为可供机器学习模型处理的向量形式，是TDA从理论走向实践的关键一步。 第四章：持久图的向量化方法 本章专注于将抽象的持久图转化为可计算的特征向量。我们将对比和分析几种主流的向量化技术： 1. 持久景观（Persistence Landscapes, PL）：通过将持久图中的点转化为一系列分段线性函数并进行特征提取。我们将讨论如何选择合适的函数近似方法（如傅里叶分析或样条拟合）来保证特征的稳定性。 2. 持久条形码（Persistence Barcodes）：作为PD的直观替代表示，本章将分析条形码在解释数据结构时的优缺点，并讨论如何通过对条形码的统计量（如长度、数量）进行聚合来生成特征向量。 3. 拓扑特征向量（Topological Feature Vectors, TFV）：介绍基于特征值和特征向量的更紧凑的表示方法，包括将其与核方法（如拓扑核）相结合，以度量两个数据集之间的拓扑距离。 第五章：拓扑摘要与鲁棒性分析 为了处理不同大小的数据集或在噪声环境下进行比较，拓扑摘要（Topological Summaries）至关重要。本章将探讨多尺度拓扑描述子，如拓扑熵（Topological Entropy）和信息熵在拓扑空间中的定义。此外，我们将深入研究TDA的稳定性定理，即Hausdorff距离对持久图的微小扰动所表现出的有界敏感性，这为TDA在实际工程中的应用提供了理论保证。 --- 第三部分：前沿算法与扩展理论 本部分将超越标准的持久同调，介绍TDA领域内更先进的算法和理论扩展，以应对更复杂的现实世界数据挑战。 第六章：几何与流形上的TDA 当数据点位于非欧几里得空间或流形上时，标准欧氏距离的TDA方法可能失效。本章将介绍如何在黎曼流形上定义距离和邻域，并构造相应的流形上的持久同调。重点讨论测地线距离在构建滤子化中的应用，以及如何利用切空间近似来简化高维流形数据的分析。 第七章：动态系统与时间序列的拓扑分析 时间序列数据的分析需要捕捉其随时间演化的动力学。本章将介绍重构空间（Reconstruction Space）技术，即将一维时间序列嵌入到高维相空间中（如使用Takens' embedding theorem）。在重构空间中构建单纯复形，并通过时间延迟作为滤子参数，来揭示底层动力系统的吸引子（Attractor）的拓扑结构（如环面、混沌吸引子的拓扑不变性）。 第八章：随机拓扑与高维张量分析 面对海量高维数据，随机采样和降维是必要的。本章将介绍随机持久同调方法，例如使用随机邻域图来近似全局的拓扑结构，从而提高计算效率。同时，我们将探讨TDA在张量数据分析中的应用，如何通过定义张量上的多线性距离来构建高阶单纯复形，并识别张量中跨越多个维度（如时间-空间-特征）的耦合结构。 --- 第四部分：跨学科应用案例研究 本部分将通过详细的案例研究，展示TDA在解决实际科学和工程问题中的强大能力。 第九章：材料科学与结构完整性 在多孔介质、复合材料和晶体结构的研究中，孔隙率、连通性和缺陷的分布是决定材料性能的关键。本章将演示如何利用TDA分析CT扫描或SEM图像获得的体数据（Volume Data），精确量化孔隙的尺寸分布、连通路径的拓扑复杂度，并将其与材料的机械强度和渗透性相关联。特别关注体素化数据到持久同调的转换流程。 第十章：生物信息学与基因调控网络 基因调控网络和蛋白质相互作用网络本质上是复杂的图结构。本章将展示如何利用TDA来分析网络结构，识别具有特定拓扑特征（如环路、桥接点）的模块，这些模块可能对应着关键的生物学功能。我们将探讨如何将基因表达数据视为高维特征空间中的点云，并通过TDA来发现不同细胞状态（如健康与疾病）之间拓扑差异，为生物标志物的发现提供新的视角。 第十一章：金融市场建模与风险评估 金融时间序列的波动性和非线性特征使其难以预测。本章将应用TDA来分析资产收益率的时变相关性结构。通过构建相关性拓扑图，我们将展示如何利用持久同调捕捉市场在危机期间出现的拓扑结构变化（如连通性增强或新环路的形成），从而为构建更鲁棒的风险管理模型提供拓扑约束。 结语 本书的最终目标是使读者不仅掌握TDA的数学工具，更能以一种全新的“形状”视角来审视和分析复杂数据。拓扑数据分析正处于快速发展的阶段，我们期待读者能够运用这些知识，在各自的研究领域中发现数据中隐藏的、以往被传统统计方法所忽略的深层结构。

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这本书的章节组织结构非常跳跃，与其说它是一本系统性的教材，不如说它更像是一系列高度浓缩的研究笔记汇编。在深入探讨了某种特定的矩阵分解技术后，紧接着的下一部分内容，竟然是关于“时间序列数据中的非线性耦合性”的深入分析，中间缺少了通常意义上的过渡和桥接。这使得阅读过程充满了挑战，我不得不频繁地查阅参考文献，甚至需要自己绘制中间的逻辑链条才能跟上作者的思维跳跃。有一处关于“稀疏表示学习”的论述尤其让我印象深刻，作者并未采用常见的L1正则化作为切入点，而是构建了一个基于贝叶斯推断的隐变量模型，来解释为何某些特定的网络层倾向于产生稀疏激活。这种不同学科领域知识的交叉引用，体现了作者深厚的跨学科背景。我感觉自己更像是在参与一场高水平的学术研讨会，而不是单纯地阅读一本指南。这本书显然不是为初学者准备的，它要求读者对概率论、优化理论以及基础的拓扑学都有一定的掌握，否则很容易在那些看似无关紧要的数学符号迷宫中迷失方向。但正是这种不妥协的深度，让它在众多同类书籍中脱颖而出，成为一本可以反复研读的“工具书”。

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这本书的排版和装帧质量令人担忧。纸张的质感偏薄，印刷墨迹在某些页面的特定角度下会有些许反光，这在需要长时间阅读时，对眼睛是一个不小的负担。而且，全书几乎没有彩图，即便是用来解释复杂空间结构的示意图，也仅仅是用简单的线条和阴影构成，对于视觉学习者来说，这简直是一种折磨。我不得不自己动手，用绘图软件重新绘制了几个核心算法的流程图，才勉强理清了它们之间的相互作用关系。不过，抛开这些外在的因素，书中的核心论点——关于如何设计一个能够自我“剪枝”并适应环境变化的计算单元——确实提供了一种全新的视角。作者提出的那个“动态拓扑重构”模型，虽然在实现细节上仍有许多需要填补的空白，但它描绘出的未来计算形态，比目前主流的静态网络模型要迷人得多。这本书与其说是一本指导你如何立即应用某项技术的指南，不如说是一部设定未来研究方向的“宣言书”，它提出了问题，并给出了一个极具挑战性的解决方案蓝图。

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我拿到这本书时，是抱着寻找一篇“万能优化器”指南的期望的。然而，阅读完一半后，我意识到我完全误解了这本书的意图。它不是告诉你如何用梯度下降解决所有问题，相反，它似乎在系统性地论证为什么“梯度下降”本身在某些复杂系统中是注定会失败的。书中对“局部最优陷阱”的分析，运用了大量的随机过程理论，其深度已经远远超出了普通应用工程师的知识范围。我发现，作者在论证过程中，频繁地引用了早期控制论和系统动力学领域的文献，这表明作者试图将这些被AI界遗忘的经典理论重新引入到现代计算模型的设计中。这本书的价值，并不在于提供即插即用的代码库，而在于它提供了一种批判性的思维工具——让你学会质疑当前的范式，并敢于从更底层的物理或数学原理上去寻找新的解决方案。读完后，我感觉自己对模型“为什么会失败”的理解，比对“如何成功”的理解要深刻了许多。这是一种略带苦涩但极其宝贵的收获。

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这本书的封面设计得极为简洁，纯黑的背景上印着一行细小的白色字体，初看之下，还以为是某个学术会议的程序手册。我是在一个技术论坛上偶然看到有人提及的，说是内容相当硬核，但又不像传统教科书那样枯燥。翻开扉页，作者的介绍寥寥数语，没有过多的自我拔高，反而让我对这本书的内容多了一丝期待。第一章的开篇，作者没有直接跳入复杂的公式推导，而是从对“信息流”在传统网络架构中如何受限这一基础问题入手，用一种近乎哲学思辨的口吻，探讨了构建更具动态适应性计算模型的必要性。这种宏大的叙事方式，确实能迅速抓住那些对现有AI范式感到不满的读者。我尤其欣赏作者在引言中提出的“自组织涌现”这一概念，它似乎暗示着这本书将要揭示的，并非仅仅是算法层面的优化，而是一种更接近生物学习机制的底层逻辑重构。对于一个在深度学习领域摸爬滚打多年的人来说，这种从基础原理出发的探讨，远比堆砌最新的模型架构参数来得更有价值。我花了整整一个下午来消化第一章的论述，那种感觉就像是重新学习了编程语言的底层语法，虽然有些晦涩，但每理解一个概念，都仿佛推开了一扇新的大门。

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阅读这本书的过程中，我体验到一种强烈的“认知失调”感。作者似乎刻意避开了当前业界最热门的那些术语和流行框架，例如，关于“注意力机制”的讨论，完全是从信息熵的角度而非传统的加权求和角度切入的，这使得原本熟悉的概念被置于一个全新的、更抽象的框架下重新审视。我必须承认，书中的某些证明过程过于冗长和复杂，尤其是涉及到高维几何空间的拓扑分析时，插图的使用也极其有限，这无疑增加了理解的难度。我甚至怀疑作者是否完全不关心读者的阅读体验，他更像是沉浸在自己的数学世界里，将所有推导的痕迹都一一保留了下来。然而，正是这种近乎偏执的严谨性，保证了书中提出的每一个“创新点”都有坚实的数学基础支撑。例如，在关于“网络稳定性”的章节里，作者引入了一个源自控制论的李雅普诺夫函数来度量学习过程的收敛性，这在纯粹的机器学习文献中是极为罕见的。这本书迫使我走出舒适区，去重新审视那些被我们习以为常的“黑箱”操作背后的真实驱动力。

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