Abstract Algebra and Solution by Radicals pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:John E. Maxfield

出品人:

页数:209

译者:

出版时间:2010-04-15

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486477237

丛书系列:

图书标签:

• 抽象代数
• 代数学
• 域论
• 伽罗瓦理论
• 解根式
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 代数结构
• 群论

《线性代数：基础与应用》 内容详述 第一部分：向量空间基础 本书的开篇深入探讨了线性代数的基石——向量空间。我们从最基本的定义出发，阐述了向量、标量、向量加法和数乘的运算规则，并介绍了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 作为最直观的例子。随后，我们将概念推广到更抽象的向量空间，如多项式空间 $P_n(mathbb{R})$ 和函数空间。 子空间、生成集与线性相关性： 详细分析了子空间的概念，区分了列空间、行空间和零空间，并重点介绍了它们的性质与计算方法。线性相关性与线性无关性的判断标准被清晰阐述，这是理解基与维数的前提。 基与维数： 本部分的核心内容之一是基的概念，即生成一个向量空间所需的最少线性无关向量组。我们严格证明了任何向量空间的基的数目是固定的（即维数），并展示了如何通过行简化等方法求得特定向量空间的基。 第二部分：线性变换与矩阵表示 线性代数的核心在于对线性变换（或称线性映射）的研究。本章建立了向量空间之间的线性变换与矩阵之间的深刻联系。 线性变换的性质与矩阵表示： 我们定义了线性变换的核（Kernel）和像（Image），并阐述了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），这是连接线性变换的“输入空间”和“输出空间”维度关系的关键工具。对于有限维空间，任何线性变换都可以用一组基下的矩阵来表示，我们详细讨论了如何构建这个矩阵，以及改变基如何影响矩阵的表示。 矩阵运算与行列式： 矩阵的加法、乘法以及逆矩阵的计算被系统地回顾。随后，我们引入了行列式的概念，不仅作为判断矩阵可逆性的工具，还深入探讨了其几何意义（如体积的缩放因子）。莱布尼茨公式和代数余子式展开被用于计算 $n imes n$ 矩阵的行列式。 第三部分：线性方程组的求解与矩阵分解 本部分聚焦于线性代数最实用的方面：求解线性方程组 $Ax=b$。 高斯消元法与行阶梯形： 我们以高斯消元法为核心算法，详细演示了如何通过初等行变换将增广矩阵转化为行阶梯形或简化行阶梯形，从而系统地确定方程组解的存在性与唯一性。零空间（Null Space）的基的求法被作为求解齐次方程组的关键步骤。 LU分解与QR分解： 对于大型方程组的求解和数值稳定性考虑，矩阵分解至关重要。我们详细介绍了 LU 分解（利用三角矩阵来简化计算）以及 QR 分解（在最小二乘法中具有核心地位）。 第四部分：特征值、特征向量与对角化 本章将线性代数的理论推向深入，处理的是向量在特定线性变换下仅发生缩放而不改变方向（或方向保持在同一子空间内）的情况。 特征值的求解与意义： 特征值和特征向量的定义是通过解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 得到的。我们探讨了它们在动力系统、微分方程和主成分分析中的应用。 对角化： 一个矩阵是否可以被对角化，是理解其在不同基下行为的关键。我们提供了判定矩阵可对角化的充要条件，并展示了如何利用特征向量构建对角化矩阵 $P$ 使得 $A = PDP^{-1}$。 第五部分：内积空间与正交性 在线性代数中，欧几里得空间引入了长度和角度的概念。本章将这些概念推广到任意维度、任意域上的内积空间。 内积、范数与正交性： 详细定义了内积（如点积），并由此导出向量的范数（长度）和两个向量之间的夹角。正交（垂直）的概念在抽象空间中被重新定义，即内积为零。 正交基与施密特正交化过程： 正交基是简化许多计算的“理想基”。我们严格推导了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于将任意基转换为一组正交基。随后，我们探讨了正交投影，这是最小二乘法理论的基础。 第六部分：二次型与谱定理 本章将正交性理论应用于描述几何形状和优化问题。 二次型与对称矩阵： 介绍了二次型函数 $q(x) = x^T A x$，并展示了如何通过矩阵 $A$ 的对称性来理解其性质。 谱定理： 这是本领域最深远的定理之一。对于实对称矩阵，谱定理保证了存在一组正交特征向量作为 $mathbb{R}^n$ 的一组基，并且所有的特征值都是实数。这使得对二次型进行对角化（主轴变换）成为可能，从而清晰地识别椭圆、双曲线等二次曲面的几何形状。 第七部分：应用：最小二乘法 本章将理论应用于实际问题：当线性方程组 $Ax=b$ 无精确解时，如何找到“最佳近似解”。 最小二乘解的推导： 通过投影理论，我们推导出最小二乘解 $hat{x}$ 必须满足法方程 $A^T A hat{x} = A^T b$。我们利用 QR 分解来高效地求解该方程组，并探讨了残差平方和的意义。 附录：复数域上的线性代数 简要介绍了在复数域 $mathbb{C}$ 上进行线性代数运算的特殊考量，特别是厄米特矩阵、酉矩阵等概念，它们是量子力学等领域的重要工具。 --- 本书特点： 本书旨在提供一个既具有严谨的数学证明基础，又注重实际计算和几何直觉的线性代数教材。每一章都包含大量的例题、几何解释和应用驱动的练习。重点在于理解“为什么”而不是仅仅记住“如何做”，确保读者能够灵活应对从纯数学到工程应用中的各种线性问题。本书的叙述风格力求清晰、逻辑连贯，避免了对高级抽象概念的预设，引导读者逐步建立起对向量空间这一核心思想的深刻理解。

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作为一本参考书，这本书的习题部分设计得中规中矩，难度梯度设置得比较平缓，对于巩固课堂知识点非常有帮助。但是，我发现缺少足够多的开放性或探究性的问题。很多习题都是直接检验某个定义的理解或者某个定理的应用，缺乏那种需要将不同章节的知识点糅合在一起才能解决的综合性难题。例如，在学习了环和域之后，我希望看到一些涉及多项式环在特定域上的性质分析，或者是一些需要用到同构定理来简化问题的挑战。如果习题部分能多一些“思考题”或者“研究课题”，鼓励读者自己去探索代数结构中未被明确指出的性质，那么这本书的价值会大大提升。总的来说，它是一本可靠的、结构严谨的入门教材，但距离一本能激发长期研究兴趣的“圣经”级别著作，似乎还有一段距离。

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关于“根式解”这个主题，我期待这本书能提供一个非常详细的证明链条，从最基本的代数扩张到最终证明五次及以上方程的不可解性，这无疑是抽象代数中最具戏剧性的部分之一。但实际上，关于这部分内容的介绍，可能只占了全书很小的篇幅，且往往只是蜻蜓点水地提及其结论和重要性，而将证明的重担留给了读者自己去挖掘或者参考其他更专业的著作。这让我感到有些失望，因为“根式解”往往是许多人学习抽象代数的一个重要驱动力。如果一本书以它命名，却未能充分展开这一核心内容，那么它的市场定位就显得有些模糊了。我更希望它能定位为一本纯粹的基础代数教材，或者干脆深入到伽罗瓦理论的更深处去，而不是在名字上给人带来过高的期待。

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我对这本书的排版和数学符号的呈现方式印象深刻，看起来相当的清晰和专业。封面设计虽然简洁，但传达出一种严肃的学术气息。不过，在阅读过程中，我发现某些章节的例题设置似乎有些过于理想化了，它们往往是那种教科书式的完美例子，缺少了一些现实世界中代数结构可能出现的“棘手”情况。比如，在探讨群的子群结构时，我更喜欢那些稍微复杂一点的、需要多步骤推理才能得出结论的例子，而不是那些直接套用定理就能解决的简单情况。这种例题的选取，虽然保证了理解的顺畅性，却牺牲了一定的挑战性和应用性。我希望能看到更多来自数论、几何甚至物理背景的例子来佐证抽象代数的威力，让抽象的概念不再是空中楼阁，而是能够解决实际问题的有力工具。这本书在这一点上略显保守，总感觉像是停留在对概念的描述和验证上，而未能充分展示其作为一门“艺术”的魅力。

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这本《抽象代数与根式解》的书名倒是挺吸引眼球的，尤其是“根式解”这三个字，让人不禁联想到伽罗瓦理论和高等数学里那些关于解方程的精彩篇章。我本来以为它会深入探讨伽罗瓦群的结构，或者详细剖析如何用根式来表示多项式的解，毕竟这个主题在数学史上具有里程碑式的意义。然而，当我翻开书页，期望着那些严谨的群论定义和复杂的域扩张理论时，却发现内容似乎转向了更基础的代数结构，比如群、环和域的引入，以及一些基础的模论概念。这种期待与现实的落差感还是挺明显的。我希望能看到对抽象代数核心思想的深度挖掘，比如同态、商结构如何揭示代数对象之间的内在联系，但这本书似乎花了很多篇幅在概念的铺垫上，导致真正触及“根式解”那一核心问题的部分显得有些单薄。也许作者的意图是想构建一个非常坚实的基础，以便读者能够更好地理解后来的高等内容，但对于一个已经有一定基础的读者来说，前期的铺陈显得有些冗长和重复，我更希望直接看到那些构建在这些基础之上的精妙理论。

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这本书的叙述风格，总体而言是相当内敛和严谨的，作者的措辞几乎找不到任何模棱两可的地方。这一点对于初学者来说无疑是福音，因为数学的严密性是第一位的。然而，这种极致的严谨有时会带来一种疏离感，使得读者难以感受到数学家在探索这些概念时的那种“顿悟”瞬间。我个人更偏爱那种在讲解复杂定理时，能够穿插一些历史背景或者作者个人思考的叙述方式，哪怕只是寥寥数语，也能让冰冷的公式焕发生机。比如，讲解正规子群的概念时，如果能稍微提及为什么需要这个概念来构建商群，以及它在解决特定群论问题中的关键作用，可能会比单纯的定义和性质罗列更加引人入胜。这本书的结构紧凑，章节之间的逻辑衔接是无可挑剔的，但缺乏一些能够激发读者好奇心和深入探索欲望的“引导性”描述。

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