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出版者:Prentice Hall

作者:Walter Fleming

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988-01

价格:USD 49.19

装帧:Hardcover

isbn号码:9780130213389

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 数学
• 高等数学
• 函数
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• 预微积分

《代数与三角函数：基础概念与应用进阶》 作者：[虚构作者姓名 A] & [虚构作者姓名 B] 出版社：[虚构出版社名称] ISBN：[虚构 ISBN 号码] --- 内容简介： 本书旨在为寻求坚实数学基础的学生提供一套全面、深入且富有启发性的学习资源。我们聚焦于代数的核心原理、函数的深入剖析以及三角函数的几何与分析应用，致力于构建学生从初级代数到高等微积分之间的桥梁。本书强调概念的清晰阐述、严谨的逻辑推导，以及数学在实际问题解决中的强大效能。 第一部分：代数基础与函数的核心结构 (Foundations of Algebra and Function Structure) 本部分从最基本的实数系统、复数系统开始，为后续的复杂运算打下坚实基础。我们细致地探讨了代数表达式的构建、简化以及多项式的深入分析。 第1章：实数系统与数域扩展 本章首先回顾了自然数、整数、有理数和无理数的严格定义与性质，特别是对实数的完备性进行了初步的讨论。随后，引入复数系统 $mathbb{C}$，详细解释了复数的代数形式、几何表示（阿甘图），以及加减乘除、乘方和开方运算。特别关注了复数的共轭性质及其在求解二次方程中的关键作用。 第2章：多项式函数与有理表达式 本章是代数的核心。我们不仅仅停留在多项式的基本运算，而是深入探究了多项式的根的性质。通过余数定理和因子定理，我们系统地学习了如何有效分解高次多项式。牛顿求根法和因式分解的策略被细致地分解，帮助读者掌握“找到根”这一核心技能。对于有理表达式，本章详述了加减乘除、通分以及部分分式分解技术，为微积分中的积分准备了必要的工具。 第3章：指数、对数与增长模型 指数函数 $y=a^x$ 和对数函数 $y=log_a x$ 被视为描述自然界中普遍存在的增长和衰减现象的关键工具。本章深入探讨了这些函数的性质、反函数关系，以及最重要的自然对数 $e$ 和自然指数函数 $e^x$ 的定义和意义。我们探讨了连续复利、半衰期、放射性衰变等实际应用场景，展示了如何利用这些函数进行精确的数学建模。 第4章：函数的概念与分析工具 函数的概念贯穿全书，但在本章中被提升到抽象层面。我们定义了域（Domain）、值域（Range）、奇偶性、单调性等关键术语。通过图形变换（平移、伸缩、反射）来理解函数结构的变化，这是直观理解函数行为的关键。此外，本章还引入了复合函数及其反函数的严格求解方法。 --- 第二部分：超越线性与二次：函数的深入探索 (Beyond Linearity: Deeper Function Analysis) 本部分将代数知识扩展到更复杂的关系，为三角函数的引入奠定基础。 第5章：方程与不等式的求解艺术 我们超越了一元线性方程，重点研究了涉及绝对值、分段函数以及高次多项式方程的求解策略。特别强调了不等式的解集表示法，并引入了区间符号和集合符号的严谨使用。对涉及有理函数和无理函数的不等式求解，我们特别关注检验测试点和处理变号区间的重要性。 第6章：二次函数与二次曲线的几何基础 虽然二次函数是代数的基础，但本章从几何角度重新审视了抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的性质，包括顶点公式的推导、对称轴的确定以及判别式在确定实根个数中的作用。我们使用配方法将二次函数转化为顶点形式，并解释了为什么顶点代表函数的最大值或最小值。 第7章：序列、级数与极限的初步接触 (Sequences, Series, and Preliminary Limits) 本章引入了离散数学的元素。我们详细区分了等差数列（算术级数）和等比数列（几何级数）的通项公式和求和公式。对无穷级数的收敛性与发散性进行了直观的探讨，为读者日后学习微积分中的无穷级数理论打下直觉基础。 --- 第三部分：三角函数的几何与分析：周期性的力量 (Trigonometry: Geometry, Analysis, and Periodicity) 三角函数是连接几何直觉与周期性分析的桥梁。本部分力求在直角三角形、单位圆和周期函数这三个视角之间实现完美过渡。 第8章：直角三角形的三角比与度量系统 本章从最基础的毕达哥拉斯定理出发，定义了正弦（Sine）、余弦（Cosine）和正切（Tangent）在直角三角形中的比值关系。我们强调了度（Degrees）和弧度（Radians）两种角度度量方式的相互转换，并明确指出了弧度制在高等数学中的不可替代性。我们还介绍了正割、余割和余切的倒数关系。 第9章：单位圆：三角函数的扩展 这是理解三角函数周期的关键。我们将三角函数扩展到任意角度（包括负角和大于 $360^circ$ 的角），通过单位圆上的坐标 $(x, y) = (cos heta, sin heta)$ 来定义它们。本章重点推导和应用了基本的三角恒等式，特别是勾股关系式 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 的重要性。 第10章：三角函数的图像与周期性 本章专注于可视化三角函数的行为。我们详细描绘了正弦波 $y=Asin(Bx+C)+D$ 和余弦波的图像，并对振幅 $A$、周期 $B$、相位移 $C$ 和垂直移位 $D$ 的参数影响进行了系统分析。我们还探讨了正切函数 $ an heta$ 及其垂直渐近线的性质。 第11章：三角恒等式与方程的求解 三角恒等式是解决复杂三角方程的“工具箱”。本章系统地介绍了和差角公式（和差化积的逆运算）、二倍角公式、半角公式的推导与应用。随后，我们将这些恒等式应用于求解涉及多个三角函数的复杂方程，强调了识别不同形式并使用适当恒等式化简的重要性。 第12章：正弦定理与余弦定理 (The Law of Sines and Cosines) 本章将三角学从直角三角形扩展到任意三角形。我们详尽地推导了正弦定理（用于 ASA, AAS, SSA 情况）和余弦定理（用于 SAS, SSS 情况），并提供了大量的应用实例，包括测量高度、距离以及求解非直角三角形的边角。本章还包括对 SSA 情况下“模糊案例”（Ambiguous Case）的细致讨论。 --- 本书特色： 1. 概念驱动，应用导向： 每个新概念的引入都伴随着清晰的几何或现实背景解释，确保读者不仅知道“如何做”，更知道“为什么这样做”。 2. 严格的符号逻辑： 从第一章开始，就要求读者使用精确的数学语言和符号进行思考和表达，为进入更高级的分析课程打下基础。 3. 丰富的例题与习题： 全书包含数百个经过精心设计的例题，分为“概念验证”、“技巧训练”和“综合应用”三个层次，以满足不同学习进度的需求。 4. 历史与背景注释： 穿插了数学史上的关键人物及其发现背景，增强了学习的趣味性和对数学发展的理解。 本书是大学预科、理工科学生以及所有希望系统回顾和深化代数与三角函数知识的自学者理想的教材。它将为您未来的数学学习之旅提供一个坚不可摧的基石。

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这本书的封面设计确实很吸引人，那种深沉的蓝色调配上简洁的白色字体，给我的第一印象是专业且严谨。当我翻开第一页时，我立刻被它清晰的排版和逻辑严谨的章节划分所折服。作者显然非常注重读者的学习体验，每一个概念的引入都像是经过精心打磨的雕塑，既有足够的理论深度，又不至于让初学者望而却步。比如，在讲解三角函数的周期性时，作者没有采用那种干巴巴的公式堆砌，而是通过生动的几何图形和实际生活中的周期现象（比如钟摆的摆动）进行类比，这让抽象的数学概念瞬间变得具象化、可触摸。更让我欣赏的是，书中的例题选择非常巧妙，它们不仅仅是检验你是否理解了公式，更是引导你思考如何将所学知识应用于解决复杂问题的桥梁。我记得有一次我在为一个工程项目中的角度计算感到头疼时，正是书中关于向量投影的一个小练习给了我灵感，这种“学以致用”的即时反馈，极大地增强了我继续钻研下去的动力。这本书的配套习题量适中，难度梯度设计得非常合理，从基础巩固到拔高思维，每一步都稳扎稳打，让人感觉到自己是在稳步地提升，而不是在盲目地刷题。总而言之，这是一本能真正帮助读者建立起扎实数学基础的优秀教材。

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这本书的装帧和印刷质量也值得特别称赞。作为一本需要频繁翻阅和做笔记的工具书，其纸张的厚度和油墨的质量直接影响了阅读体验。我用铅笔和荧光笔做了大量的标记，但纸张完全没有出现洇墨的现象，这让我可以放心地在书页上记录自己的思考和疑问。更不用说那些精美的图表了，它们的线条清晰锐利，色彩区分得当，尤其是在解析几何和极坐标转换的部分，那些复杂的图形能够被清晰地呈现出来，极大地减少了阅读障碍。我记得有一次我将这本书带到咖啡馆使用，旁边一位正在准备高等数学考试的同学，好奇地翻阅了几页，他立刻对我表示了羡慕，并询问了这本书的来源，原因是他被其中关于周期函数图像叠加的那个彩图所吸引——那个图表将正弦波和余弦波的叠加过程展示得如同一幅艺术品。这不仅仅是一本学习材料，它在视觉传达上也是一流的，将严谨的数学内容与优雅的呈现方式完美地结合在了一起，使得学习过程本身也成了一种享受。

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这本书的真正价值，在于它为我构建了一个坚不可摧的“数学思维框架”。很多教材只是教你“怎么做”，但这本《Algebra and Trigonometry》却在教你“为什么应该这样做”。特别是在复习和深入理解三角恒等式的部分，作者的处理方式堪称教科书级别的典范。他们没有简单地罗列那些复杂的公式，而是从最基础的勾股定理出发，通过旋转和平移的几何直觉，一步步推导出和差化积、倍角公式等。这种自下而上的构建过程，让我对这些公式的记忆不再是死记硬背，而是基于深刻的理解和逻辑推导。每当我在解题过程中遇到瓶颈时，回头翻阅书中的某个关键证明，总能豁然开朗。此外，书中还穿插了一些历史小插曲，简要介绍了这些代数和三角概念是如何在古代文明中被发展和完善的。这些背景知识虽然不直接影响解题，却极大地丰富了学习体验，让数学不再是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。对于渴望从“会做题”跨越到“理解数学”的读者来说，这本书提供了无与伦比的深度和广度。

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说实话，我买这本教材的时候，内心是有点抗拒的，毕竟“代数”和“三角”这两个词听起来就意味着枯燥和公式的海洋。但这本书完全颠覆了我的预设。它的叙事方式非常具有引导性，更像是一位经验丰富的导师在你身边轻声细语地讲解，而不是一本冷冰冰的参考书。最让我感到惊喜的是它对函数概念的深入剖析。作者没有止步于介绍线性函数和二次函数，而是花费了大量的篇幅去探讨复合函数、反函数以及函数变换的几何意义。这种对“为什么”的深入挖掘，远超出了我过去接触的任何一本同类书籍。阅读过程中，我仿佛在进行一场智力上的探险，每一次推导和证明都像是在解开一个精心布置的谜题。特别是作者在处理超越函数（如指数和对数）时，不仅给出了严格的定义，还追溯了它们在自然科学和社会科学中的起源和应用，这极大地拓宽了我对数学工具的认识。我开始意识到，这些看似纯粹的数学结构，其实是我们理解和描述真实世界的强大工具。这本书的排版也十分考究，大量的图表和高亮部分有效地分解了文字的密度，使得长时间阅读也不会感到视觉疲劳，这一点对于需要长时间面对数学问题的学生来说，简直是福音。

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我必须承认，这本书的自学友好度达到了一个令人难以置信的高度。我是在一个相对短的时间内需要掌握这部分知识的，时间压力很大，但我发现这本书的结构设计完美地适应了这种需求。每一个章节的开头都有一个清晰的“学习目标”列表，让你在开始之前就知道自己将要达成什么。更重要的是，它内置了大量的“自检”环节。这些自检往往出现在一个知识点刚刚讲完，但还没有进入更复杂应用之前，用几个关键问题来确认你是否真正掌握了核心。这种即时反馈机制，有效地避免了“滚雪球效应”——即一个小小的知识盲区积累成一个巨大的学习障碍。例如，在处理有理函数和多项式函数时，书本特别强调了渐近线的几何意义和代数求法之间的对应关系，用图形化的方式直观地解释了为什么当分母的次数大于分子时，函数会趋于零。这种对概念之间内在联系的强调，使得知识点之间形成了强大的网络，而不是孤立的碎片。对于自学者而言，这种清晰的路径规划和及时的自我纠错能力，是任何优秀教材不可或缺的品质，而这本书在这方面做得近乎完美。

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