Calculus of a Single Variable pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley

作者:John B. Fraleigh

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1990-06

价格:USD 76.65

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201534924

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
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深入探索多维空间与抽象结构的奥秘：线性代数导论 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的基础，以理解和应用现代数学的基石——线性代数。我们摒弃了仅仅停留在机械计算的层面，而是着重于概念的内在联系、几何直观的培养以及在各个科学与工程领域中的广泛应用。 本书的结构经过精心设计，力求引导初学者平稳过渡到对抽象概念的掌握。我们从最直观的二维和三维空间中的向量和线性变换入手，逐步扩展到抽象的 $n$ 维向量空间，并在每一步都辅以丰富的几何解释和实际例子。 第一部分：向量空间的基础 第一章：向量与线性组合的几何意义 本章首先复习了高中代数中对向量的初步认识，但立即将其提升到代数结构的高度。我们详细探讨了 $mathbb{R}^n$ 空间，并引入了线性组合、张成（Span）的概念。通过大量的二维和三维可视化练习，读者将建立起对“子空间”的初步直觉。我们清晰地区分了张成集合与向量空间的区别，并强调了线性组合作为构建所有可能结果的基本操作单元的重要性。 第二章：线性无关性、基与维数 本章是理解向量空间结构的核心。我们严格定义了线性无关性，并展示了它如何决定一组向量是否能够唯一地表示空间中的任意一点。随后，我们引入了“基”（Basis）的概念，将其描述为构成空间且相互之间“不冗余”的最小集合。维数（Dimension）的概念作为基的元素个数被精确定义，并证明了任何向量空间的维数都是唯一的。本章最后通过讨论行空间、列空间和零空间，将抽象的维数概念与矩阵的内在属性紧密联系起来。 第三章：矩阵的代数结构与行阶梯形 本章专注于矩阵作为线性变换的载体，而非仅仅是数字的排列。我们详细介绍了矩阵的加法、乘法，并深入探讨了矩阵乘法的结合律和分配律的几何含义。关键部分在于对行阶梯形（Row Echelon Form, REF）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）的深入分析。我们不仅展示了如何通过高斯消元法求得这些形式，更重要的是，揭示了 RREF 如何唯一地揭示一个矩阵的秩、零空间和列空间的基础。 第二部分：线性变换与映射 第四章：线性变换的本质 本章将视角从向量空间本身转移到它们之间的映射——线性变换。我们定义了线性变换的两个核心性质（加法和标量乘法的保持）。我们将矩阵视为线性变换的“表示”，并探讨了如何从基向量的像来完全确定一个线性变换。本章还涵盖了变换的复合、逆变换的概念，并引入了核（Kernel，或零空间）和像（Range，或列空间）的严格定义，以及重要的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 第五章：坐标系与基的变换 理解坐标系如何影响矩阵表示是掌握高级主题的关键。本章详细解释了如何使用“变换矩阵”（Change of Basis Matrix）在不同基之间进行坐标转换。这不仅深化了对矩阵表示的理解，也为后续的特征值问题奠定了基础，因为它本质上是在寻找一个最优化的、最简单的坐标系来描述同一个线性变换。 第三部分：内在结构与对角化 第六章：方阵的行列式 行列式被引入为衡量线性变换对“体积”或“面积”的缩放因子。我们从 2x2 和 3x3 矩阵的几何解释出发，通过归纳法定义了任意大小方阵的行列式，并探讨了代数性质，如行列式的乘法性质。本章的重点是利用行列式来判断矩阵的可逆性，以及它在求解线性方程组（Cramer’s Rule）中的应用。 第七章：特征值与特征向量 本章是线性代数的灵魂所在。我们探讨了特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的物理和几何意义：它们代表了在线性变换作用下方向保持不变的特殊向量。我们展示了如何通过求解特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$ 来计算它们。 第八章：相似性与对角化 本章将特征值理论应用于实际：对角化。我们探讨了当一个矩阵 $A$ 可以被相似对角化为 $D = P^{-1}AP$ 时的条件，即是否存在一组完整的特征向量作为新基。对角化带来的巨大优势在于简化了矩阵的幂运算 $A^k$ 和指数函数的计算，这在动力系统和微分方程的求解中至关重要。对于不可对角化的矩阵，我们简要介绍了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的概念，作为最终极的简化形式。 第四部分：内积空间与正交性 第九章：内积、长度与正交性 本部分将讨论引入了“距离”和“角度”的概念，将抽象的向量空间提升到更具几何意义的内积空间。我们定义了实数域和复数域上的内积，并基于此定义了向量的长度（范数）和正交性。本章强调了正交性在简化问题中的强大威力。 第十张：正交投影与最小二乘法 我们首先推导出正交投影的公式，并展示了它如何解决“精确解不存在”的问题。基于此，我们详细阐述了最小二乘法（Least Squares Method），这是处理超定线性系统（数据点多于模型参数）的基石，广泛应用于数据拟合和回归分析中。 第十一章：正交基与施密特正交化 本章介绍了一种构造正交基的系统方法——Gram-Schmidt 正交化过程。通过该过程，我们能够从任意一组基中构建出一组正交基，这极大地简化了投影和坐标表示的计算。随后，我们探讨了对称矩阵的特殊性质，即它们总是在一组实特征向量构成的正交基下可以对角化，这是傅里叶分析和主成分分析（PCA）的理论基础。 第五部分：应用与拓展 第十二章：应用实例：动力系统的稳定性分析 本章将理论知识应用于现实世界。我们利用特征值和特征向量来分析离散时间动力系统 $x_{k+1} = A x_k$ 的长期行为，如收敛性、周期性或发散性，帮助读者理解稳定性和不稳定性的概念。 第十三章：应用实例：主成分分析（PCA）的数学原理 虽然更详细的统计学讨论超出本书范围，但我们深入剖析了 PCA 的核心数学机制：如何通过求解协方差矩阵的特征值问题，找到数据方差最大的方向（主成分），从而实现数据的有效降维。 本书特色： 几何优先： 每个代数定义之后都紧跟着一个清晰的几何解释或可视化例子。 严格与直观并重： 证明清晰严谨，同时大量的“概念核查”问题确保读者理解背后的物理意义。 计算与理论的平衡： 既介绍了高斯消元法、求特征值等实用计算技巧，也深入探讨了向量空间结构的抽象理论。 学习完本书，读者将不仅能够熟练运用线性代数的工具，更重要的是，能够将线性代数的思维方式应用于解决任何涉及多变量、线性关系和空间结构的问题。

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配套资源的支持力度是衡量一套优秀教材的另一个关键维度，而这一点上，本书的表现超出了我的预期。这本书的官方网站上提供了一个非常完善的在线学习平台。它不仅仅是提供了习题的答案，更重要的是，每一个章节后面都附带了相关的软件模拟演示。我尤其喜欢那个可以实时调整参数观察函数图像变化的交互式模块。例如，当你改变一个函数的$epsilon-delta$定义中的$delta$值时，屏幕上对应的区间会同步收缩或放大，这种即时反馈机制，比单纯看书本上的静态图示要直观得多。此外，网站上还有定期的线上问答环节，虽然我没有参加过，但光是知道有这种机制存在，就让人感觉学习的后盾很强大。这些增值服务，让这本书的价值远远超出了其纸质部分的标价，它真正构建了一个从理论学习到实践验证的完整生态系统。

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坦白说，我对比过市面上几本主流的微积分教材，很多版本在保持严谨性的同时，常常牺牲了趣味性，读起来味同嚼蜡。然而，这本书在保持数学内核不松动的前提下，成功地注入了一种探索的乐趣。作者在一些看似无关紧要的“历史侧注”和“拓展阅读”部分，挖掘了许多有趣的典故，比如牛顿和莱布尼茨关于优先权的争论，或是微积分在物理学发展中的几次关键突破。这些小故事不仅丰富了知识背景，更重要的是，它们将冰冷的数学公式和鲜活的人类智慧联系了起来，让人意识到，这些理论并非凭空出现，而是历经数百年思想碰撞的结晶。阅读过程中，我常常会因为一个精妙的历史插曲而停下来，思考数学家们当年是如何在缺乏现代工具的情况下，仅凭逻辑和洞察力跨越那道鸿沟的。这使得学习过程不再是枯燥的记忆，而是一场跨越时空的对话。

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阅读体验方面，我必须为作者清晰的逻辑梳理点赞。这本书并非那种堆砌公式和例题的“题海战术”型教材，它更侧重于概念的建立和直觉的培养。作者似乎深谙初学者在面对微积分概念时的思维障碍，因此，在介绍极限、导数和积分这些核心概念时，总是先从一个非常生活化或几何直观的例子切入，然后再逐步过渡到严谨的数学定义。这种“先感性认识，后理性升华”的教学方式，极大地降低了理解的门槛。比如，在讲解黎曼和的收敛性时，作者用了整整两页篇幅来描绘不同形状的曲边梯形如何逼近真实面积的过程，配图的精确度和动画感十足，让人仿佛能亲手去“切割”和“累加”那些无限小的部分。对于那些在传统教科书中感到迷茫的读者来说，这本书的讲解就像是为你量身定做了一位耐心且富有洞察力的私人导师，总能在你快要放弃时，递上一把理解的钥匙。

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这本书的装帧设计实在让人眼前一亮。封面采用了哑光处理，触感细腻，拿在手里有一种沉甸甸的质感，显示出出版方对内容的尊重。主色调是深邃的午夜蓝，搭配着烫金的书名和作者信息，在光线下闪烁着低调而优雅的光芒。内页的纸张选择也极其考究，米白色的纸张既保护了视力，又让墨色显得格外清晰锐利。装订处非常牢固，即使是频繁翻阅和在书桌上摊开，也丝毫没有松动的迹象。我特别喜欢它在章节标题和重要公式旁采用的细微插图——那些抽象的几何图形和简洁的符号，虽然只是点缀，却在视觉上有效地缓解了纯文字带来的枯燥感，仿佛在提醒读者，数学的本质也是一种艺术。唯一的小遗憾是，如果能附赠一张可以标记重点的透明书签就更完美了。总的来说，从打开包裹的那一刻起，这本书就给人一种“这是一本值得珍藏的工具书”的强烈印象，它不仅仅是知识的载体，更像是一件经过精心打磨的工艺品，让人忍不住想要细细品味。

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如果你是一位需要将微积分知识应用于工程或物理领域，但又对纯理论推导感到头疼的读者，这本书可能会是你的“救星”。它的应用案例部分处理得非常出色，没有采用那种过于简化的“一笔带过”式讲解。书中挑选的应用场景极具代表性，涵盖了优化问题、速率分析以及面积体积计算等多个方面，且每一个应用案例都详尽地展示了从“现实问题描述”到“数学模型建立”，再到“求解与解释”的全过程。特别是它在处理多变量函数和偏导数时，对梯度向量的几何意义的阐释，简直是教科书级别的清晰。我曾被一个关于热传导的偏微分方程应用题困扰良久，但在书中找到了一个几乎一模一样的案例，其详尽的步骤解析让我茅塞顿开。这本书的实用性强得惊人，它不仅仅是在教你“怎么算”，更是在教你“为什么这样算”以及“算出来能干什么”，对于提升实战能力而言，价值无可估量。

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