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出版者:Brooks Cole

作者:Jimmie Gilbert

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-08-10

价格:USD 184.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534402648

丛书系列:

图书标签:

• 代数
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好的，这是一份关于一本名为《Elements of Modern Algebra》的图书的详细简介，内容聚焦于现代代数的核心概念和结构，并旨在提供一个深入而全面的学习体验，完全不涉及您提到的特定书籍内容。 --- 《抽象代数基础：结构与应用》图书简介 书名： 抽象代数基础：结构与应用 (Foundations of Abstract Algebra: Structures and Applications) 作者： [此处留空，模拟真实作者信息] 出版社： [此处留空，模拟真实出版社信息] 页数： 约 750 页 ISBN: [此处留空，模拟真实 ISBN] 概述与定位 《抽象代数基础：结构与应用》是一部旨在为高等数学、理论物理、计算机科学和密码学领域的学生及研究人员提供坚实代数基础的教材。本书的核心目标是清晰、系统地介绍现代代数中的基本结构——群、环和域——及其相关的核心定理和构造。不同于许多侧重于抽象证明的传统教材，本书在保持数学严谨性的同时，力求通过大量的实例、直观的几何或组合解释，以及精心设计的习题，帮助读者真正掌握这些抽象概念的内涵与外延。 本书的叙事逻辑遵循了从具体到抽象的渐进路径。我们首先从整数、多项式等熟悉的结构入手，逐步引入群论的基本概念，随后深入到环论的复杂性，最后拓展至域的构造及其在伽罗瓦理论中的初步应用。我们相信，只有在充分理解了操作的“感觉”之后，抽象的定义才能转化为强有力的思考工具。 核心内容模块 本书内容被组织成四大核心部分，涵盖了现代代数的主要领域： 第一部分：群论的构建与探索 (The Construction and Exploration of Group Theory) 本部分是全书的基石，专注于代数结构中最基本、最纯粹的形式——群。 1. 预备知识与基本概念： 本章回顾了集合论的基础，并引入了二元运算、对称性、以及群的正式定义。我们通过对称群（如 $D_n$ 和 $S_n$）和加法群（如 $mathbb{Z}_n$）作为主要示例，使读者迅速建立直观认识。 2. 子群与陪集： 详细讨论了子群的判定、生成子群的概念。陪集的引入为理解商群奠定了基础，并初步探讨了拉格朗日定理的意义和简洁的推论。 3. 正规子群与商群： 这是理解代数结构分解的关键。我们深入探讨了正规子群的定义、性质及其与同态的关系，随后系统地构建了商群（或因子群），并证明了第一同构定理（Homomorphism Theorem）。这一定理是连接不同群结构的核心桥梁。 4. 群作用与重要定理： 本章引入了群作用的概念，并阐述了其在解决计数问题上的强大能力。核心内容包括：轨道-稳定子定理、中心化子与正规化子的关系、Sylow 定理及其在有限群分类中的重要性。特别是 Sylow 定理，本书提供了多于一种的证明视角，以适应不同学习风格的需求。 5. 有限交换群的结构： 详细阐述了有限阿贝尔群的分类定理，通过主因子分解和初等因子分解，展示了所有有限阿贝尔群都可被唯一地分解为循环群的直积。 第二部分：环论：推广与深化 (Ring Theory: Generalization and Deepening) 在掌握了群的结构之后，本书将目光投向了具有两种运算的结构——环。 1. 环的基本概念与例子： 从整环、域、交换环、单位环等基本定义出发，本书引入了矩阵环、多项式环 $F[x]$ 和整数环 $mathbb{Z}$ 作为主要研究对象。 2. 子环与理想： 讨论了理想作为加法子群的特殊推广，并详细区分了主理想、素理想和极大理想。理想是理解商环结构的必要工具。 3. 环同态与商环： 类似于群论，本章建立了环同态的概念，并证明了第二个和第三个同构定理，以及同态定理在环论中的精妙应用。 4. 整环中的特殊结构： 这是环论中最富有挑战性也最优雅的部分。我们深入研究了以下核心结构： 整环 (Integral Domains)： 强调了零因子不存在的重要性。 唯一分解整环 (UFDs)： 讨论了整除性、不可约元、素元之间的区别与联系，以及 $mathbb{Z}[i]$ 和多项式环 $mathbb{F}[x]$ 作为 UFD 的例子。 主理想整环 (PIDs)： 证明了 PID $Rightarrow$ UFD，并引入了欧几里得整环 (Euclidean Domains)，探究了 ED $Rightarrow$ PID 的关系。 5. Noetherian 环与 Hilbert 基定理： 介绍提升链条件，理解代数几何中至关重要的 Noetherian 结构，并应用 Hilbert 基定理说明多项式环的有限生成性。 第三部分：域与多项式环 (Fields and Polynomial Rings) 本部分侧重于域的构造及其在代数扩展中的作用，这是连接抽象代数与经典代数问题的关键。 1. 域的构造： 详细考察了如何通过构造商环来“分裂”一个环，从而构建域。重点分析了如何将 $mathbb{Z}_p$ 扩展到有限域 $mathbb{F}_{p^n}$。 2. 域扩张： 引入了扩张域 $E/F$ 的概念，并定义了次数 $[E:F]$。本章系统地讨论了代数元与超越元，以及最小多项式的唯一性。 3. 分裂域与代数闭包： 阐释了分裂域（Splitting Fields）的构造及其在保证多项式根存在方面的作用，并定义了代数闭包。 4. 可分扩张与正规扩张： 区分了可分性（与特征无关）和正规性，为最终的伽罗瓦理论做好铺垫。 第四部分：伽罗瓦理论的初步导览 (An Introduction to Galois Theory) 本部分是对前三部分结构进行整合的典范，展示了群论在解决具体代数问题上的威力。 1. 伽罗瓦群的定义与性质： 引入了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的核心概念，并证明了基本定理：伽罗瓦群的子群与中间域之间存在一一对应关系。 2. 可解群与域扩张的可解性： 探讨了伽罗瓦群的解（Solvability）概念，并证明了“一个域扩张是可根式解的，当且仅当其伽罗瓦群是可解群”这一经典结论。这直接解释了五次及以上方程不可用根式求解的原因。 教材特色与学习优势 1. 丰富的代数几何和数论联系： 书中穿插了大量关于二次域、高斯整数环的讨论，以及在密码学（如有限域的乘法结构）中的应用实例，使抽象概念得以落地。 2. 严格的证明与清晰的动机： 每一定理的证明都力求完整、清晰，同时在证明之前会详细解释该定理想要解决的代数困境，而非仅仅罗列步骤。 3. 结构化的习题设计： 每章末尾设有三类习题：概念理解题（检验基本定义）、计算与构造题（侧重于实际操作）、以及高级证明题（挑战深入理解）。 4. 历史背景补充： 在关键章节（如伽罗瓦理论）后附有简短的历史笔记，介绍相关概念的发现历程，增加阅读趣味性。 《抽象代数基础：结构与应用》是一本严肃的、面向本科高年级和研究生初阶的教材，旨在培养读者用结构化、逻辑化的眼光看待数学问题的能力，是构建扎实数学思维的理想读物。

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这本书的价值远超其作为一本教材的身份，它更像是一部关于数学思维方式的深度专著。它对数论和代数拓扑等前沿领域的潜在联系进行了精妙的预示，使得读者在学习基础知识的同时，也对未来的研究方向保持着清晰的视野。关于有限域（finite fields）的构建和分类，书中给出的论证结构极其优美和完整，显示出作者对该主题的深刻掌控力。我特别喜欢它对“构造性证明”的强调，很多定理的证明过程本身就揭示了一种构建新结构或验证存在性的强大方法论。这本书的深度使得它几乎没有过时一说，因为现代代数的核心思想是稳定的。对于任何希望将数学作为自己工具箱中主要工具的人来说，这本书是不可或缺的基石，它不仅教会你代数的“什么”，更教会你代数的“如何思考”，其影响深远，值得反复研读。

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这本书的排版和结构设计简直是业界楷模，这对于阅读一本如此密集的数学著作至关重要。每一章的开头都有清晰的章节目标概述，让读者对即将学习的内容有一个宏观的把握。术语的引入总是伴随着精确的定义，并且在第一次出现时就进行了加粗处理，这对于快速检索和复习极为方便。更值得称赞的是，作者在引入抽象概念后，总是紧跟着一系列来自不同领域（如几何、组合学）的具体实例来佐证理论的有效性和普适性。例如，在讲解多项式环时，书中不仅讨论了其代数性质，还联系到了函数插值问题。这种跨学科的联系，使得原本枯燥的符号操作变得生动起来。我发现自己不再是被动地接受知识，而是主动地去寻找这些抽象工具在现实世界中的对应物。总而言之，这本书在确保内容严谨性的同时，极大地优化了读者的认知负荷。

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与市面上其他侧重于机械化计算和套用定理的代数教材相比，这本《Elements of Modern Algebra》在哲学层面上显得更为深刻。它不仅仅是一本“如何做”的指南，更是一本“为什么是这样”的探索。作者在引入环和域的概念时，花费了大量篇幅来阐述这些结构是如何自然地从整数和有理数的世界中抽象出来的，这使得学习过程变得非常具有历史感和逻辑必然性。我印象最深的是对理想（ideals）的讲解，作者巧妙地将理想类比为在代数结构中具有特殊“边界”性质的子集，这极大地帮助我理解了商环（quotient rings）的构建过程。阅读体验是渐进式的，但每一步的提升都建立在坚实的基础之上，没有任何跳跃感。这本书的行文风格是那种沉稳而富有洞察力的，仿佛一位经验丰富的导师在耳边细语，引导你避开常见的思维陷阱。对于想要深入研究代数几何或数论的读者来说，这本书提供的基础视角是无可替代的。

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坦率地说，我最初对深入学习抽象代数感到畏惧，因为许多教科书的叙述方式过于冷峻和高高在上。然而，《Elements of Modern Algebra》成功地打破了这种隔阂。作者的语气是鼓励性的，他似乎深知初学者在面对伽罗瓦理论或更深层次的结构时会产生的困惑。书中对于某些关键证明的分解，细致到令人赞叹，每一个推理步骤都得到了充分的阐述，避免了“读者应自行显而易见”的傲慢态度。特别是对于像群作用（group actions）这样容易混淆的概念，书中采用了多种不同的视角去解释，例如通过置换群（permutation groups）和 Cayley 定理，确保了无论读者的直觉偏向哪一类，都能找到理解的切入点。这本书带来的不仅仅是知识的增长，更是一种信心的建立——它证明了即便是最抽象的数学理论，通过正确的引导，也是可以被掌握的。

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这本《Elements of Modern Algebra》简直是为那些渴望真正理解代数世界奥秘的学习者量身定制的宝典。从一开始，作者就展现出一种令人惊叹的清晰度和深度，将抽象的概念以一种既严谨又易于消化的方式呈现出来。特别是关于群论的介绍部分，作者没有急于抛出复杂的定义，而是通过一系列精心设计的例子和直观的解释，逐步引导读者进入抽象代数的核心。我特别欣赏书中对同态和同构的讨论，它不仅仅是公式的堆砌，更像是在描绘不同代数结构之间的“对话”与“翻译”。书中的习题设计也极其巧妙，它们不仅测试了对基本概念的掌握，更重要的是，它们鼓励读者进行深入的思考和探索，真正将理论内化。读完这部分，我感觉自己对对称性、结构和变换有了全新的认识，这远超出了我高中时接触的初等代数范畴。这本书成功地架起了从基础算术到高等抽象理论之间的坚实桥梁，让人在阅读过程中充满了发现的乐趣。

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