Real and Functional Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Mukherjea, Arunava; Mukherjea, Arunava; Pothoven, K.

出品人:

页数:286

译者:

出版时间:1986-11-30

价格:USD 178.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780306415586

丛书系列:

图书标签:

• 实分析
• 泛函分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 理论基础
• 学术
• 教材
• 研究生
• 数学专业

《实分析与泛函分析》图书简介（不含本书内容） 《数学分析基础：极限、连续性与微积分的严谨构建》 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数学分析基础，重点关注经典实分析的严谨发展，而不涉及泛函分析的高级抽象结构。本书将带领读者从最基本的集合论概念出发，逐步构建起极限理论、连续性、可微性以及黎曼积分的完整框架。我们的目标是清晰地阐释分析学中那些看似直观但实际上需要精细逻辑支撑的核心概念，培养读者对数学证明的深刻理解和严谨的逻辑思维能力。 第一部分：预备知识与拓扑基础的铺垫 在进入严格的分析讨论之前，我们首先回顾和巩固必要的预备知识。第一章将系统介绍集合论的基本概念，包括集合的运算、笛卡尔积、函数的定义及其性质，特别是单射、满射和双射的精确含义。随后，我们引入自然数、整数和有理数的构造，着重于构造性证明的思想，强调从皮亚诺公理到实数的构造过程，为后续的极限讨论奠定基础。 第二章是本书的基石——拓扑初步。尽管本书不深入探讨一般拓扑空间，但为了理解实数系统（$mathbb{R}$）的特性，我们必须引入必要的拓扑工具。我们将详细讨论度量空间的概念，将其作为最直观的“距离”结构。在此基础上，我们定义开集、闭集、邻域、聚点和孤立点。特别是，我们将集中探讨 $mathbb{R}^n$ 空间中的标准拓扑结构，阐明开集的具体形式（区间或开球）及其在极限过程中的重要作用。紧密相连地，我们将讨论紧致性的概念，并深入证明实数线上 Heine-Borel 定理的精妙之处及其在函数性质证明中的关键地位。 第二部分：极限的严谨定义与收敛性理论 第三章全面聚焦于序列的极限。我们将严格阐述 $epsilon-N$ 语言的意义，并展示如何运用它来证明或否定序列的收敛性。本书会用大量实例说明处理极限时的常见陷阱，并强调上、下极限（limsup 和liminf）的概念，它们是处理非收敛序列或序列性质的强大工具。我们将深入研究柯西序列的概念，并利用这一工具完成对实数集完备性的证明——这是实分析区别于有理数分析的决定性特征。 第四章将分析函数的极限。我们不仅会重述 $epsilon-delta$ 定义，更会展示如何利用序列和拓扑概念（如邻域）来统一理解函数极限。本章的核心内容包括： 1. 连续性： 从点集拓扑的角度阐释函数在一点的连续性，并扩展到一致连续性。我们将详细讨论连续函数在紧集上的性质（如达到最大值和最小值，连续函数保持紧致性）。 2. 单调函数与有界函数的性质： 结合上界和下界理论，分析单调收敛定理。 第三部分：微分学：变化率的精确描述 第五章进入微分学的核心领域。我们从导数的正式定义开始，推导出微分的基本法则。本书将非常注重对中值定理的证明和应用，特别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。对这些定理的深入理解是掌握后续积分理论的基础。 本章的难点与亮点在于对高阶导数的探讨。我们将讨论莱布尼茨公式，并详细分析泰勒定理（Taylor's Theorem）的各个形式，包括带有拉格朗日余项和柯西余项的形式。通过泰勒多项式，我们可以精确地估计函数在某点附近的近似程度，这为分析函数的局部行为提供了强大的解析工具。 第四部分：黎曼积分：有界函数的积分理论 第六章是本书关于积分理论的主体部分，专注于经典的黎曼积分。我们从分割、上和、下和的概念出发，清晰地界定黎曼可积的充要条件。本书将花费大量篇幅来证明： 1. 有界函数黎曼可积的判定定理（勒贝格可测集的零测度条件）。 2. 连续函数和单调函数在闭区间上均可黎曼积分。 第七章深入探究黎曼积分的性质及其与微分学的关系： 1. 微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 详细区分牛顿-莱布尼茨公式的两大形式，并严格证明其成立的条件。 2. 积分的性质： 讨论积分的线性性、单调性、积分的平均值定理。 3. 反常积分（Improper Integrals）： 考察积分区间为无限或被积函数在区间内有无界点的情况，并提供收敛判别法（如比较判别法、阿贝尔判别法等）。 第五部分：序列与级数的深入分析 第八章返回序列和函数序列的收敛性，聚焦于一致收敛性。我们清晰区分逐点收敛与一致收敛的差异，并展示一致收敛性在保持极限运算（如求导、求积分）与原函数性质之间的桥梁作用。本章将集中证明和应用魏尔斯特拉斯 M-判别法，以及关于一致收敛序列的极限交换问题。 第九章系统研究无穷级数。除了对几何级数和 $p$-级数的分析外，我们将严格讨论正项级数的收敛性判别法（比值判别法、根值判别法、积分判别法）。对于交错级数，我们将重点分析莱布尼茨判别法及其在绝对收敛与条件收敛之间的界定。最终，我们将探讨幂级数的收敛半径和收敛区间，为后续的函数展开（如泰勒级数）做好准备。 结语： 本书旨在成为学习分析学的第一本参考书，它不追求泛函分析的抽象广度，而专注于实数系统上微积分的逻辑严密性。通过对概念的精确定义和对定理的细致证明，读者将能够真正掌握现代数学分析的“语言”与“思维方式”。

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这本书简直就是对现代数学分析思想的一次全面而深刻的梳理。我最欣赏它的一点是，它成功地将看似分离的实分析基础与更抽象的泛函分析理论无缝对接。例如，它对Hahn-Banach定理的介绍，不仅限于其拓扑形式，还巧妙地引入了其在凸分析中的应用背景，这让我对线性泛函的性质有了更直观的认识。阅读过程中，我最大的感受是思维的拓展——它强迫你跳出有限维空间的直觉，去适应和理解无限维空间中的奇异行为。作者在处理Riesz表示定理时，那种对对偶空间的精妙构造，简直是分析学的美学体现。这本书的阅读体验是沉浸式的，它需要你全身心的投入，但回报也是巨大的。它提供的理论工具箱的质量和数量，足以支持你在接下来的高级数学研究中披荆斩棘，我毫不犹豫地将其推荐给所有致力于深入理解数学分析本质的人。

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与我过去读过的几本同类书籍相比，《Real and Functional Analysis》在教材的“可读性”和“深度”之间找到了一个近乎完美的平衡点，尽管我必须承认，这种平衡点设置在一个非常高的学术水平上。作者在介绍Banach空间和Hilbert空间时，所采用的例子既经典又富有启发性，比如 $L^p$ 空间的完备性证明，清晰得令人叹服。我尤其喜欢书中对算子范数和强收敛、弱收敛的细致区分，这在实际处理无限维优化问题时至关重要。这本书的排版和符号系统也值得称赞，清晰且一致，这对于阅读复杂的数学推导至关重要，能大大减少阅读中的认知负荷。它不仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师在你身边，耐心地为你讲解那些晦涩难懂的数学概念，确保你每一步都走得坚实有力，绝对是值得反复研读的经典之作。

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坦白说，这本书的难度曲线有点陡峭，初次接触实分析的读者可能会感到吃力，但我认为这种挑战正是其价值所在。它拒绝给读者提供任何“捷径”，要求你必须踏踏实实地跟上作者的思维步伐。在我看来，它更像是一本“武功秘籍”，而不是一本轻松的入门读物。最让我印象深刻的是关于Baire范畴定理和各种泛函的对偶理论的阐述，作者在这里的处理极其精彩。他没有满足于仅仅给出定理的陈述，而是深入挖掘了这些定理背后的结构性意义，以及它们在几何拓扑和调和分析中扮演的关键角色。我甚至觉得，这本书的结构本身就是一种优雅的数学表达：从最基础的度量空间开始，逐步搭建起更复杂的拓扑结构和分析框架，每一步都自然而然，水到渠成。对于那些渴望真正掌握分析学精髓，而不是停留在表面概念的进阶学习者来说，这本书无疑是灯塔般的存在。

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我最近在准备一个关于希尔伯特空间应用的研讨会，实在找不到一本能将理论与应用完美结合的教材，直到我发现了这本《Real and Functional Analysis》。这本书的独特之处在于，它没有沉溺于纯粹的理论推导，而是非常注重将泛函分析的工具应用到实际问题中去。比如，它在讲解算子理论时，会穿插一些关于微分方程解的存在性和唯一性的讨论，这对我解决具体工程问题提供了极大的启发。我特别欣赏作者的叙述风格，非常扎实，逻辑链条严密得像是瑞士钟表，任何一个微小的跳跃都会被作者用严密的论证填补。而且，书中的习题设置也相当高明，不同于那种纯粹考验计算能力的题海战术，这里的习题更多的是引导你深入思考理论的边界和潜在的应用场景。读完这本书，我感觉自己对“无限维度”下的数学直觉有了质的飞跃，不再是生硬地套用公式，而是开始真正地“感受”到那些向量空间和算子是如何运作的。

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这本《Real and Functional Analysis》的书简直是数学分析领域的“圣经”！我得说，光是翻开这本书的目录，就能感受到作者深厚的功底和严谨的态度。它不仅仅是把那些高深的理论堆砌在那里，而是以一种近乎艺术的精妙方式，将实分析和泛函分析这两个看似庞大的学科脉络清晰地串联起来。特别是关于测度论和勒贝格积分那几章，简直是茅塞顿开。以前我总觉得那些抽象的定义像是空中楼阁，但这本书里通过大量的直观例子和巧妙的证明，让我真正理解了测度空间背后的物理意义和数学美感。作者在讲解收敛性、完备性这些核心概念时，那种层层递进、抽丝剥茧的处理方式，让人不得不佩服。我花了好几个月的时间才啃完第一遍，但即便是现在，我偶尔还是会翻回去重温一些关键的定理证明。这本书的深度和广度都达到了一个令人惊叹的水平，绝对是数学系学生和研究人员必备的参考书，它不仅教你“是什么”，更重要的是教你“为什么是这样”。

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