Linear Algebra, Solutions Manual pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Wiley-Interscience

作者:Richard C. Penney

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:2005-09-27

价格:USD 36.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780471778240

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 解题手册
• 高等数学
• 大学教材
• 工程数学
• 数学辅导
• 解题技巧
• 线性方程组
• 矩阵
• 向量空间

现代代数：理论与应用 作者：[请在此处填写原书作者姓名，例如：John Doe, Jane Smith] 出版社：[请在此处填写出版社名称，例如：Academic Press, Springer] 出版年份：[请在此处填写出版年份] --- 内容概要 《现代代数：理论与应用》是一部全面而深入的教材，旨在为数学、物理、工程学以及计算机科学等领域的学生和研究人员提供坚实的线性代数基础。本书不仅严格构建了线性代数的核心理论框架，更注重展示这些抽象概念在解决实际问题中的强大应用能力。全书内容组织清晰，逻辑严密，力求在数学的严谨性与教学的直观性之间找到完美的平衡点。 本书的前半部分着重于基础概念的建立，后半部分则深入探讨更高级的主题，并辅以大量的应用实例和案例研究。我们相信，真正的理解来自于对理论的掌握和对应用的洞察力相结合。 --- 第一部分：向量空间与线性变换 (Foundations: Vector Spaces and Linear Transformations) 本部分奠定了整个线性代数体系的基石，从最基础的结构出发，逐步构建出抽象的代数环境。 第一章：数域与代数结构（Fields and Algebraic Structures） 本章首先回顾了实数域 ($mathbb{R}$) 和复数域 ($mathbb{C}$) 的基本性质，并引出了有限域（如 $mathbb{F}_p$）的概念，为后续在有限域上的矩阵理论打下基础。简要讨论了群、环等抽象代数结构在代数工具箱中的作用，为理解向量空间作为一种阿贝尔群结构做铺垫。 第二章：向量空间的基本概念（Fundamentals of Vector Spaces） 详细定义了向量空间（Vector Space）的公理化定义，并严格区分了其基本要素：向量集合、标量域、加法运算和标量乘法。本章探讨了子空间 (Subspaces) 的定义、判定方法，以及子空间在向量空间内的基本运算，如交集与和空间。随后，引入了线性组合 (Linear Combinations)、生成集 (Spanning Sets) 的概念。 第三章：线性相关性、基与维数（Linear Dependence, Basis, and Dimension） 这是理解向量空间结构的关键一章。本章首先严格定义了线性相关 (Linear Dependence) 和线性无关 (Linear Independence)。在此基础上，精确定义了基 (Basis)，并证明了任何向量空间（有限维情况下）都存在基。核心定理——维数定理 (Dimension Theorem) 被详细证明，确保了维数定义的唯一性和稳定性。章节最后讨论了有限维向量空间的同构性，即任何 $n$ 维向量空间都同构于 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$。 第四章：线性变换与矩阵（Linear Transformations and Matrices） 本章将抽象的线性变换（Linear Maps）与具体的矩阵表示联系起来。详细分析了线性变换的性质，如核（Kernel，或零空间 $ ext{Null}(T)$）和像（Image，或值域 $ ext{Range}(T)$）。秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem) 在此被深入探讨。重点在于，如何根据选定的基，将一个线性变换唯一地表示为一个矩阵，以及矩阵乘法如何对应于线性变换的复合。本章也覆盖了矩阵的初等行变换 (Elementary Row Operations) 及其在求解线性方程组中的作用。 --- 第二部分：矩阵代数与分解 (Matrix Algebra and Decompositions) 本部分聚焦于矩阵运算的细节、行列式的几何意义，以及将复杂矩阵系统分解为更简单、更易于分析的形式。 第五章：矩阵运算与可逆性（Matrix Operations and Invertibility） 详细阐述了矩阵的加法、数乘、矩阵乘法以及转置操作的性质。重点讨论了方阵 (Square Matrices) 的乘法和逆矩阵 (Inverse Matrix) 的存在性与唯一性。本章还介绍了矩阵代数的非交换性，并探讨了矩阵的乘法在变换复合中的实际意义。 第六章：行列式（Determinants） 行列式的定义、性质以及计算方法（代数余子式展开、按行展开）被系统地介绍。本章侧重于行列式的几何解释——它代表了线性变换对面积或体积的缩放因子。证明了行列式与矩阵可逆性之间的关键联系：$det(A) eq 0$ 当且仅当 $A$ 可逆。此外，还介绍了克拉默法则 (Cramer's Rule) 作为求解线性方程组的理论工具。 第七章：线性方程组的求解（Solving Systems of Linear Equations） 本章集中于应用，使用高斯消元法 (Gaussian Elimination) 和行阶梯形 (Row Echelon Form) 来分析线性方程组的解的存在性和唯一性。深入讨论了增广矩阵 (Augmented Matrix) 的概念，以及如何通过行简化确定解空间（零空间）的基。 --- 第三部分：特征值、特征向量与相似性 (Eigenvalues, Eigenvectors, and Similarity) 本部分是理解线性变换动态行为和对角化问题的核心。 第八章：特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors） 定义了特征值 (Eigenvalues) 和特征向量 (Eigenvectors)，它们是线性变换下的“不变方向”。详细介绍了如何通过求解特征方程 (Characteristic Equation) $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值，并计算对应的特征空间。本章还探讨了代数重数 (Algebraic Multiplicity) 和几何重数 (Geometric Multiplicity) 之间的关系。 第九章：对角化与相似性（Diagonalization and Similarity） 本章的核心是矩阵的对角化 (Diagonalization) 问题。证明了只有当一个 $n imes n$ 矩阵拥有 $n$ 个线性无关的特征向量时，它才能被对角化。解释了对角化矩阵在计算矩阵幂次 $A^k$ 时的巨大优势。此外，还介绍了相似矩阵 (Similar Matrices) 的概念，并讨论了 Jordan 标准型的必要性（作为对角化在矩阵不可对角化情况下的推广）。 第十章：实对称矩阵与正交性（Real Symmetric Matrices and Orthogonality） 本章是欧几里得空间理论的基石。定义了内积空间 (Inner Product Spaces)，并在此基础上定义了正交性 (Orthogonality)。重点研究了实对称矩阵的特殊性质，如 谱定理 (Spectral Theorem)，该定理保证了任何实对称矩阵都可以被正交对角化。引入施密特正交化过程 (Gram-Schmidt Process)，用于从任意基构造一组正交基。 --- 第四部分：高级主题与应用 (Advanced Topics and Applications) 本部分将理论知识应用于更广阔的数学和工程领域。 第十一章：二次型与正定性（Quadratic Forms and Positive Definiteness） 研究由二次型函数 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 产生的几何形状（如椭圆、双曲线）。利用对称矩阵的正交对角化，将二次型化为标准形式，从而实现对二次曲线和二次曲面的分类。讨论了正定矩阵 (Positive Definite Matrices) 的判别准则（如主子式法）。 第十二章：多线性映射与张量（Multilinear Maps and Tensors - 选读） 本章为高年级或研究生课程准备，简要介绍了张量的概念，从双线性映射（如外积）的角度重新审视线性代数结构，为微分几何和高阶数据分析奠定基础。 第十三章：奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD） 奇异值分解（SVD）被视为矩阵分解中最强大、最通用的工具之一。本章详细介绍了 SVD 的构造过程，证明了所有矩阵（不一定是方阵）都可以进行 SVD 分解 $A = U Sigma V^T$。深入探讨了 SVD 在数据压缩、图像处理、主成分分析 (PCA) 中的核心作用。 第十四章：应用案例研究（Case Studies in Application） 本章通过具体案例展示线性代数的实际力量： 1. 图论与网络分析： 利用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵分析网络的连通性和中心性。 2. 微分方程组： 使用矩阵指数 $e^{At}$ 来求解常系数线性微分方程组的解。 3. 优化问题： 线性规划问题的几何解释和高斯-牛顿法中的迭代步骤。 --- 教材特色 1. 理论的严谨性： 所有重要定理均提供完整、清晰的证明，确保读者对数学推导的信心。 2. 概念的几何直觉： 努力将抽象的向量空间和线性变换可视化，通过 $R^2$ 和 $R^3$ 的几何直觉来辅助理解高维空间的结构。 3. 丰富的习题资源： 每章末尾均包含大量的练习题，分为计算题、证明题和应用题，旨在巩固概念并培养解决问题的能力。 4. 计算工具的整合： 穿插介绍如何使用 MATLAB/Python (NumPy) 等现代计算工具来验证理论结果和处理大规模问题，强调理论与实践的结合。

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对于动手能力的需求来说，这本《线性代数》可以说是教科书级别的范本。很多教材在理论阐述上做得很足，但一到实际操作层面就显得力不从心，公式堆砌，让人无从下手。然而，这本书在处理计算问题时展现出了令人惊讶的细腻和系统性。它不仅仅告诉你“怎么算”，更重要的是解释了“为什么用这种方法算最有效率”。比如在讲解高斯消元法和LU分解时，书中不仅详述了每一步的操作规则，还深入分析了矩阵的秩和解空间的结构如何影响这些分解的唯一性和适用范围。我尤其喜欢它在讲解数值稳定性时的那一段描述，虽然我不是纯粹的数值分析专业的学生，但能了解到计算过程中可能出现的误差来源以及如何规避，这无疑拓宽了我的视野。这套书让我明白，线性代数不仅仅是纸面上的优雅，它在工程和计算科学中有着极其重要的实际意义，这本书成功地搭建了理论与实践之间的桥梁。

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这本书的写作风格，坦率地说，非常“英式”——严谨、克制，但又在关键时刻迸发出洞察人心的光芒。它很少使用那种为了迎合读者而故作轻松的口吻，而是采用了一种近乎邀请你参与学术对话的语态。这种风格可能对初学者来说需要一点适应期，但一旦你适应了它的节奏，你会发现这种尊重读者的态度，反而更能激发你独立思考的欲望。我尤其欣赏作者在处理历史背景和不同数学学派观点时的平衡把握。它没有陷入无休止的哲学争论，而是点到为止地展示了线性代数是如何从几何学、代数学的交叉点中诞生的，这让整本书读起来更有“人情味”和历史厚重感。它让你感觉自己是在和一位真正的数学大家对话，而不是在阅读一本冰冷的教科书。这种沉稳而不失深邃的笔触，让我爱不释手，每一次重读都能发现新的层次。

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说实话，这本书的深度和广度真的超乎我的预期。我原本以为这只是又一本普通的入门教材，但随着阅读的深入，我发现它对理论基础的挖掘非常扎实，而且并没有停留在表面概念的罗列上。它大胆地引入了一些更前沿或者更深刻的视角来审视线性代数的核心原理。比如，在讨论内积空间和正交性的时候，作者引入了泛函分析的一些初步思想，虽然只是蜻蜓点水，但足以让有更高追求的读者感受到这门学科的宏大体系。更让我赞赏的是，它在每个章节的末尾都附带了大量的思考题，这些题目设计得极为精妙，它们不仅仅是公式的简单代换，更多的是要求你运用所学的理论去解决一些看似无关，实则内在相连的问题。我花了大量时间在这些习题上，每一次挣扎和最终的突破，都极大地增强了我对线性代数“语言”的掌握。这本书与其说是一本教材，不如说是一位严谨的导师，它引导你进行真正的数学思考，而不是机械地模仿计算步骤。

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这本书，天哪，简直是数学学习路上的救星！我最近在攻克高等代数这个“拦路虎”，市面上那些教材动辄晦涩难懂，讲解方式仿佛在跟我玩猜谜游戏。但是，当我翻开这本《线性代数》时，我立刻感到一种豁然开朗的感觉。作者的叙述逻辑极其清晰，从最基础的向量空间概念讲起，层层递进，每一步的推导都像是精心设计的台阶，让你稳稳地向上攀登，而不是摔个底朝天。特别是对于那些抽象概念，比如特征值和特征向量，书中竟然能用非常直观的几何解释来辅助理解，这对我这种偏爱直观感受的学习者来说，简直是太宝贵了。我记得有一次我在一个矩阵对角化的问题上卡壳了好几天，几乎要放弃，结果翻到书中的对应章节，作者通过一个非常巧妙的例子——旋转和平移的组合——一下子就点亮了我脑海中的灯。那种“原来如此”的顿悟感，是其他任何资料都无法给予的。这本书的排版和字体选择也十分考究，长时间阅读也不会感到视觉疲劳，这对于需要长时间面对公式和符号的读者来说，是一个巨大的加分项。

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如果非要用一个词来概括我对这本《线性代数》的感受，那一定是“全面性”。它在知识体系的覆盖面上做得非常到位，从最基础的矩阵运算、行列式，到中级的线性变换、特征值，再到高级主题如 Jordan 标准型和奇异值分解（SVD），几乎涵盖了本科阶段乃至部分研究生入门所需要的所有核心内容。最难能可贵的是，它在这些不同主题之间建立起了清晰的内在联系，让你不再觉得它们是一个个孤立的知识点。例如，作者巧妙地将 SVD 的概念穿插在矩阵分解的讨论中，并在后续章节中回溯性地使用它来解释最小二乘法的最优解。这种“首尾呼应”的教学设计，极大地增强了知识结构的整体性和连贯性。对于一个想要打下扎实基础，并希望未来能深入研究相关领域的学生来说，这本书无疑是一笔巨大的财富，它提供的不仅仅是解题工具，更是一种看待世界和解决复杂问题的结构化思维方式。

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