What Is Calculus About? (New Mathematical Library) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mathematical Association of America

作者:W. W. Sawyer

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1962

价格:USD 29.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883856024

丛书系列:New Mathematical Library

图书标签:

• 微积分
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《微积分的奥秘：探寻变化之美》 导言：我们为何需要微积分？ 在我们的日常生活中，充满了各种各样的“变化”：物体的运动速度如何瞬息万变？曲线的斜率在不同点有何不同？一个复杂系统如何随着时间推移而演化？要精确、量化地描述和预测这些现象，我们需要一种强大的数学语言——微积分。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，去理解微积分这一数学分支的核心思想、基本工具以及它在现代科学、工程和经济学中的广泛应用。我们不将微积分视为一堆难以理解的公式和定理的堆砌，而是将其视为一种描述“变化”和“累积”的思维方式。 第一部分：极限——微积分的基石 微积分的构建，源于一个核心概念：极限 (Limit)。极限是连接离散数学与连续数学的桥梁。 1. 无限逼近的艺术： 我们将详细探讨极限的直观意义——当我们无限接近一个数值时，函数值或数列会趋向于哪个特定的值。我们将通过直观的几何问题（例如，在圆内接正多边形逼近圆周长）来引入这个概念，从而理解为什么传统的代数方法在处理无限过程时会遇到困难。 2. 极限的严格定义： 随后，我们将转向微积分的严格化基础——$epsilon-delta$ 定义。虽然这部分内容对初学者可能略显抽象，但它是确保微积分逻辑严谨性的关键。我们将通过大量的图示和具体的函数实例，逐步拆解这个定义的内涵，展示如何用精确的语言来描述“任意小的误差”和“充分大的范围”之间的关系。 3. 连续性：函数的“不间断”状态： 极限的直接应用是定义函数的连续性 (Continuity)。一个函数如果处处连续，意味着它的图像可以不间断地画出。我们将分析不连续点（如跳跃、空洞或垂直渐近线）的类型，并探讨连续函数在闭区间上保证存在最大值和最小值的介值定理 (Intermediate Value Theorem) 和极值定理 (Extreme Value Theorem) 的强大威力。 第二部分：导数——瞬时变化的度量 如果说极限是微积分的语言，那么导数 (Derivative) 就是微积分描述“变化率”的动词。 1. 切线问题与平均变化率： 导数的起源与解决两个古老问题紧密相关：如何精确地找到一条曲线上任意一点的切线斜率（瞬时变化率），以及如何描述物体在某一瞬间的速度。我们将对比平均变化率（斜割线的斜率）和瞬时变化率（切线的斜率）之间的本质区别。 2. 导数的计算规则： 本部分将系统介绍计算导数的基本工具。从幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数，到至关重要的乘积法则、商法则和链式法则 (Chain Rule)。链式法则因其在复合函数求导中的核心地位，将得到特别的详述和案例分析。 3. 隐函数求导与相关变化率： 并非所有函数都能写成 $y=f(x)$ 的形式。我们将介绍隐函数求导法 (Implicit Differentiation)，这在处理圆形、椭圆等几何关系时极为有用。在此基础上，我们将探讨相关变化率 (Related Rates) 问题，学习如何建立物理模型并利用导数来求解相互关联的量随时间变化的速率。 4. 导数的几何与物理意义的应用： 导数不仅仅是斜率。它代表了函数增长或衰减的速度、物体的瞬时速度及其加速度。我们将通过分析导数的正负来确定函数的增减性，并利用二阶导数来判断凹凸性和拐点，从而精确描绘函数的形态。 第三部分：积分——累积与面积的计算 如果导数关注的是“局部”的变化，那么积分 (Integral) 则关注“整体”的累积效果。 1. 面积问题的引入： 我们将从计算不规则图形的面积开始，重温黎曼对这一问题的思考。如何用越来越窄的矩形去逼近曲线下的精确面积？这自然地引出了黎曼和 (Riemann Sum) 的概念。 2. 定积分与不定积分： 我们将明确区分定积分 (Definite Integral)（计算特定区间上的净累积量，即面积）和不定积分 (Indefinite Integral)（寻找导数为原函数的过程，即反导数）。 3. 微积分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus, FTC)： 这是微积分理论体系中的最高成就。FTC 揭示了导数（微分）和积分（反微分）之间惊人的互逆关系。我们将深入探讨FTC的两个部分，理解它如何将原本独立的求切线和求面积的问题统一起来，使得定积分的计算变得高效可行。 4. 积分技巧与应用： 我们将学习各种反导数（不定积分）的计算技术，包括换元法（u-Substitution）、分部积分法 (Integration by Parts) 以及有理函数积分的部分分式分解。在应用方面，积分被用来计算更复杂的几何量，如旋转体的体积（圆盘法、壳层法）、平面曲线的弧长，以及物理学中的功和质心计算。 第四部分：超越基础——更广阔的微积分世界 微积分的威力远不止于单变量函数。本书的最后部分将拓宽读者的视野，介绍多变量微积分的初步概念。 1. 数列与级数： 我们将探索无限求和的概念——级数 (Series)。如何判断一个无限项的和是否收敛到一个有限值？我们将介绍泰勒级数 (Taylor Series)，这是用多项式来精确逼近任意复杂函数的强大工具，解释了为什么看似简单的多项式能够描述三角函数、指数函数的复杂行为。 2. 多变量函数初探： 现实世界中，许多量依赖于多个变量（如温度依赖于位置的x, y, z）。我们将简要介绍偏导数 (Partial Derivatives) 的概念，即在保持其他变量不变的情况下，函数对其中一个变量的变化率，以及多元函数的链式法则。 结语：微积分是一种思维模式 《微积分的奥秘》不仅是一本数学教科书，更是一部关于“如何思考变化”的指南。通过对极限、导数和积分的系统学习，读者将掌握一种将复杂现象分解为无限小片段、并最终重新组合以理解整体的分析方法。这种思维模式渗透在物理学定律的表述、工程设计的优化、生物学模型的建立乃至金融市场的预测之中，是理解现代科学世界的必备工具。

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这本书最让我感到惊喜的是它所蕴含的“数学之美”的阐述。它不仅仅是在教授“如何计算”导数和积分，更是在展示微积分作为描述自然界动态变化的语言的强大力量。作者在讲解完核心概念后，往往会拓展到微积分在物理学、工程学乃至经济学中的具体应用案例，这些例子选择得非常巧妙，既有经典的、能展现学科威力的场景，也有一些非常新颖、贴近现代生活的应用。通过这些具体的应用，读者能够真切地体会到，微积分是如何将那些看似杂乱无章的现象，提炼成简洁、优美的数学模型。读完这些应用篇章，我深切地感受到了一种对知识的敬畏感——原来我们习以为常的运动、增长、变化，背后都隐藏着如此精妙的数学规律。这本书成功地将一门被认为枯燥的学科，描绘成了一幅充满活力和创造力的艺术画卷，激发了我持续探索和思考数学世界更深层次奥秘的动力。

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在我阅读的体验中，本书在结构上的精心编排是其脱颖而出的关键要素之一。它并非将微积分的各个分支简单地堆砌在一起，而是建立了一个清晰、逻辑严密的知识体系框架。章节之间的过渡处理得非常平滑，前一个概念的铺垫和收尾，总是能完美地为下一个更深层次的探讨做好准备，读起来完全没有那种生硬的跳跃感。更值得称赞的是，作者在引入每一个新的数学工具或概念时，都非常注重其历史背景和实际应用的关联性。比如，在讨论积分的起源时，穿插了对古代几何学家们如何尝试解决面积问题的描述，这不仅仅是增加了历史的趣味性，更重要的是让读者明白，这些数学工具并非凭空出现，而是人类为了解决实际问题而创造出来的强大工具。这种将历史、哲学思考与纯粹的数学逻辑完美融合的写作手法，让整个学习过程充满了探索的乐趣和发现的成就感，让人感觉自己不仅仅是在学习一门学科，更是在参与一场跨越时空的智慧对话。

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这本书的叙事风格真是让人耳目一新，它没有那种高高在上、拒人于千里之外的纯理论书籍的架势，反而像是一位知识渊博但又极其耐心的老朋友，循循善诱地引导你进入微积分的奇妙世界。作者似乎深谙普通读者在面对高等数学时的那种畏惧心理，所以开篇并没有直接抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是巧妙地从一些生活中非常直观的现象入手，比如速度的变化率、曲线下的面积等等，将抽象的概念具象化。这种“软着陆”的处理方式，极大地降低了阅读门槛，让即便是对数学只有基础了解的人，也能迅速找到切入点并产生兴趣。我特别欣赏作者在解释核心思想时所使用的类比和比喻，它们精准而又富有画面感，仿佛真的能“看到”极限是如何逼近，导数是如何描绘瞬间变化的神奇过程。这种深入浅出的表达能力，是很多专业数学作家难以企及的，它让“理解”成为了一个自然而然、水到渠成的过程，而非痛苦的“啃书”。

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这本书在处理数学细节时的严谨性达到了一个令人称赞的高度，这在很多侧重于科普的读物中是很难兼顾的。它在保持易读性的同时，对于必要的数学证明和符号推导并没有含糊带过。作者在呈现这些关键步骤时，通常会先用直观的语言描述其背后的逻辑意图，然后再展示严格的数学形式。这种“先知其意，再习其法”的教学顺序，极大地增强了学习效果。对于那些想要真正掌握微积分原理、而不只是停留在“会用”层面的读者来说，这本书提供了充足的深度。我特别关注了关于收敛性的讨论部分，作者处理得极其清晰，既展示了直觉上的判断，也给出了形式化的论证，没有留下任何模糊地带。这种对细节的关注，使得这本书既能作为初学者的入门向导，也能充当进阶学习者巩固基础知识的参考宝典，其内容的“耐读性”和“复习价值”非常高。

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这本书的封面设计实在是太抓人眼球了，那种复古又带着点现代感的排版，让人一眼就能感觉到里面内容的深度和广度。我拿到手的时候，就忍不住被它那种散发出来的学术气息所吸引，那种感觉就像是打开了一个通往新世界的大门。这本书的装帧质量也相当不错，纸张的质感和印刷的清晰度都让人感到满意，这对于一本需要反复阅读和思考的数学书籍来说，简直是太重要了。书页之间的留白处理得恰到好处，让读者在阅读复杂的公式和概念时，眼睛不会感到过于疲劳，这也是很多科普类书籍常常忽略的一点。而且，从书本的整体重量和手感来看，就知道作者在内容组织和篇幅控制上花了不少心思，既保证了内容的详尽，又避免了冗长和拖沓。总的来说，光是这本书的外在表现，就已经成功地勾起了我深入探索其内在知识的强烈欲望，它不仅仅是一本书，更像是一件精心制作的工艺品，让人爱不释手。

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