A Combination of Geometry Theorem Proving and Nonstandard Analysis With Application to Newton's Prin pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Fleuriot, Jacques

出品人:

页数:140

译者:

出版时间:

价格:1387.00元

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isbn号码:9781852334666

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• 几何定理证明
• 非标准分析
• 牛顿原理
• 数学史
• 微积分
• 数学基础
• 经典力学
• 数学哲学
• 数学建模
• 分析学

《几何定理的证明与非标准分析在牛顿《原理》中的应用》图书简介 核心主题： 本书深度探讨了几何学基础理论的严格证明方法，并将其与20世纪兴起的非标准分析（Nonstandard Analysis, NSA）框架相结合，旨在为经典物理学，尤其是牛顿力学的奠基之作《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）提供一种更具现代数学严谨性的基础重构。 主要内容概述： 本书并非对牛顿《原理》的简单复述或历史解读，而是聚焦于如何利用现代数学工具，特别是几何学中的公理化方法和非标准分析的极限处理方式，来清晰、无歧义地阐述和验证《原理》中所涉及的关键概念——如瞬时速度、加速度、无穷小量以及微积分的早期形式。全书分为三个主要部分，层层递进。 第一部分：欧氏几何的现代重构与公理化基础 本部分回顾并深化了对欧几里得几何体系的理解。重点不在于重述《原本》中的所有命题，而是着眼于现代数学家对几何基础的认识。 欧氏几何的完备性与独立性挑战： 详细分析了希尔伯特对欧氏几何公理系统的重构工作，强调了如何通过一组简洁的、相互独立的公理（如点、线、面之间的关系，以及平行公设）来保证整个几何结构的一致性。 射影几何与仿射几何的视角： 引入了超越传统欧氏几何的更广阔的几何框架。探讨了射影变换如何揭示了透视学的深层数学结构，以及仿射几何如何处理长度和角度不守恒但保持平行关系的变换。这为理解物理定律在不同坐标系下的形式提供了几何直觉。 拓扑学的初步接触： 虽然本书的主线是分析与代数几何，但本部分简要引入了拓扑学的基本概念（如连续性、邻域），为后续处理非标准分析中的“无穷小邻域”打下概念基础。 第二部分：非标准分析的理论基石与微积分的严格化 这是本书的核心理论部分，致力于将莱布尼茨和牛顿所依赖的、但长期缺乏严格基础的“无穷小”概念，纳入到柯西-魏尔斯特拉斯方法之外的一个强大框架中。 超实数系统（R）： 详细构建了超实数系统。通过对标准实数集 $mathbb{R}$ 的超积构造（Ultraproduct Construction），清晰地展示了无穷大（$omega$）和无穷小量（$epsilon$）是如何在集合论的框架内被严格定义的。读者将理解 $epsilon eq 0$ 且 $|epsilon| < x$ 对于任何 $x in mathbb{R}^+$ 成立的含义。 标准性原理（The Standard Part Function）： 阐释了核心的“标准性原理”，即任何有限的超实数 $x$ 都存在一个唯一的标准实数 $ ext{st}(x)$，它是距离 $x$ 最近的实数。这为处理极限和导数的概念提供了直观且严格的工具。 导数与积分的非标准定义： 导数： 瞬时速率被定义为 $ ext{st} left( frac{f(x+epsilon) - f(x)}{epsilon} ight)$，其中 $epsilon$ 是一个非零的无穷小量。这直接解决了牛顿在处理切线问题时，必须在“零除”和“非零”之间摇摆的困境。 定积分： 定积分被定义为黎曼和的“标准部分”，即 $int_a^b f(x) dx = ext{st} left( sum_{i=1}^N f(x_i^) Delta x_i ight)$，其中 $Delta x$ 是一个无穷小的区间宽度。 第三部分：非标准分析在牛顿《原理》中的具体应用 本部分将前两部分的理论工具应用于牛顿力学最基础的几个概念和命题中，展示非标准分析如何提供一个比传统极限论更简洁、更符合牛顿初衷的解释。 瞬时速度与加速度的精确化： 选取《原理》中的关键定义，例如“瞬时速度”的定义，用无穷小替换了“随时间之差趋于零的极限”。分析了如何利用无穷小量来处理速度和加速度随时间变化的连续过程。 圆周运动的分析： 重点解析了牛顿在处理向心力问题时对“运动轨迹无限逼近圆”的描述。通过引入无穷多边形的思想（使用无穷多个边，每条边的长度为无穷小），严格推导出向心力的表达式，避免了在处理无限求和时对无穷级数收敛性的额外依赖。 引力定律的推导与验证： 考察了牛顿关于行星运动的开普勒定律的推导过程。特别关注在处理引力作用下的瞬时加速度时，非标准分析如何自然地处理了曲线上切线与法线方向的分解，从而为平方反比律的几何基础提供了坚实的分析支持。 无穷小量的几何意义： 探讨了牛顿在《原理》的引言中多次提及的“极比”（Ratios of Quantities that flow Equably Together）的概念，并将其映射到超实数系统中的无穷小比值，阐明了在牛顿的时代，直觉上的“无限接近”在现代数学中如何被精确捕获。 本书的价值与读者对象： 本书面向具备扎实微积分基础的高年级本科生、研究生以及对数学史和物理学基础有浓厚兴趣的学者。它不仅是一本关于数学基础的书籍，更是一座连接17世纪经典物理直觉与20世纪分析严谨性的桥梁。通过阅读本书，读者将获得对微积分本质的全新认识，并能以更深刻的视角去欣赏牛顿《原理》的伟大与前瞻性。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时保持了数学论证的深度与广度。

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这本书的结构设置似乎是为那些寻求“深度融合”而非“浅尝辄止”的读者设计的。它不像是一本单纯的几何教材，也不是一本纯粹的分析学专著，更像是一份精密的工程蓝图，展示了如何用两种不同的“工具箱”来拆解和重建同一个宏大的“结构”——牛顿的经典物理世界。我个人对“几何定理证明”在这一体系中的作用非常好奇。非标准分析通常被视为分析学的延伸，但几何学，特别是欧氏几何，往往更依赖于拓扑和空间直觉。这本书如何调和这种张力？是否在利用非标准分析处理几何问题时，引入了诸如“无穷小三角形”或“无穷远点”的概念，从而用分析的语言重塑了欧氏几何的公理化基础？如果作者能够巧妙地展示，通过非标准分析的视角，某些原本繁复的欧氏几何证明（例如涉及圆锥曲线的部分）可以被简化，那无疑是其价值的直接体现。至于对《原理》的应用，我希望看到它不仅限于对运动定律的重新表述，而是能深入到牛顿在书中处理引力、轨道计算以及流体力学（如阻力问题）时的那些关键证明步骤。这本书仿佛在说：让我们用20世纪后半叶的数学语言，重新审视17世纪的伟大成就，看看我们能发现什么新的纹理和细节。

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从一个资深爱好者的角度来看，这本书最吸引人的地方在于其“跨界”的雄心。在当代学术界，很多研究倾向于将数学分支划分得越来越细，而这本书却试图打破学科壁垒，将分析的严谨性、几何的直观性与物理学的奠基性文本紧密联系起来。这不仅仅是一个技术层面的尝试，更是一种哲学层面的回归，即对“数学统一性”的追求。我期待书中关于“非标准分析”的介绍是既具备现代数学的完备性，又对初学者保持一定的可读性——当然，前提是读者已经具备扎实的微积分背景。如果它能成功地证明，非标准分析不仅是一种替代性的构建方法，更是一种能够揭示经典理论内在结构（如牛顿体系）的“更优”视角，那么这本书的价值将远远超出学术圈的范畴。它可能为我们理解科学革命的本质提供一种新的认识论工具：一个世纪前的物理直觉，其实蕴含着一种尚未被完全形式化的、深刻的数学真理，而这本书，就是利用现代利剑去发掘这埋藏宝藏的地图。

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读完书名，我立刻想到了那种需要反复研读、时常停下来在草稿纸上推导和思考的阅读体验。这本书的体量想必不小，内容密度也必然极高。它很可能不是那种一次读完就能完全消化的著作，而是需要像对待一本经典教材那样，进行长期的消化和吸收。我尤其好奇作者在论证过程中，是如何平衡“严格性”与“可理解性”的。非标准分析本身就要求读者放弃一些根深蒂固的直觉，接受无穷小量的真实存在。当这种方法被用来重新解读《原理》中的那些依赖于物理背景的论证时，如何确保分析的严密性不至于让牛顿的物理洞察力黯然失色？我希望看到一种平衡的艺术，即既能展示非标准分析作为一种强大的形式化工具的威力，又能保持对牛顿思想的尊重和准确把握。这本书似乎在挑战传统：它暗示着，要真正理解经典，我们也许需要超越那个时代所拥有的数学工具。它不是在“美化”牛顿，而是在用最尖锐的现代思维工具，对他进行一次最彻底的、充满敬意的“内部审计”，看看他的伟大理论在当代逻辑的审视下，还能焕发出怎样的光彩。

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这本书的标题读起来就像是为那些对数学的深层结构和历史渊源都抱有浓厚兴趣的读者量身定做的。光是“几何定理证明”和“非标准分析”这两个核心概念的结合，就足以让人浮想联翩。它似乎不仅仅是想展示如何运用现代的分析工具去处理经典的几何问题，更可能是在探讨这两种看似分属不同时代的数学思想之间是否存在着一种深层次的统一性。我猜想作者在书中会细致地铺陈非标准分析——那个由洛宾逊发展起来的、用无穷小和无穷大来重新构建微积分基础的强大框架——是如何为欧几里得几何的某些复杂证明提供一种更加直观或简洁的新路径。想象一下，如果能够用非标准微积分的语言去审视那些数百年来困扰数学家的空间关系和极限问题，那将是多么令人振奋的体验。更何况，当这一切被引申到牛顿的《原理》时，这本书的雄心就不言而喻了：它不满足于仅仅停留在理论的交汇点，而是要用这种强大的理论工具，去重新解读人类科学史上最伟大的著作之一，揭示其中可能隐藏的更深层次的数学结构，或者至少是提供一种全新的、更具现代洞察力的阅读视角。这绝对不是一本轻松的读物，它要求读者对数学史和数理逻辑都有一定的涉猎，但对于那些渴望站在知识前沿、试图弥合经典与现代鸿沟的钻研者来说，这无疑是一座知识的宝库。

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我拿到这本书的初印象，是那种扑面而来的、沉甸甸的学术气息。封面设计也许朴素，但内页的逻辑编排却透露出一种极端的严谨性。它不像某些科普读物那样试图用生动的比喻来“稀释”复杂的概念，而是直接将读者带入高阶数学的腹地。我特别期待它在处理“非标准分析”部分时的处理方式。通常，引入无穷小量和无穷大常常伴随着对传统 $epsilon-delta$ 语言的挑战，这本书是否会详细阐述如何在这种新的框架下，不动摇数学基础的可靠性，同时又释放出更强大的表达能力？更引人注目的是它与牛顿《原理》的应用联系。牛顿在创立微积分时，对“流数”的处理是相当直觉化的，充满了对物理直觉的依赖，而现代数学对此进行了严格化。这本书是否会尝试用非标准分析的无穷小量，来模拟牛顿在《原理》中处理瞬时速度或切线斜率时所用的那种“幽灵般的量”？如果能够成功地将非标准分析的严格性与牛顿研究的物理直觉进行无缝对接，那将是对数学史研究的一个重要贡献。它承诺的不是简单的历史回顾，而是一次跨越时空的“方法论重构”，这对于那些痴迷于科学思想演变脉络的读者来说，是无法抗拒的诱惑。

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