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isbn号码:9780887431388

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好的，这是一份针对《Math BASICS 2》之外的图书的详细简介，内容着重于其他数学领域，以确保完全不涉及《Math BASICS 2》可能涵盖的内容。 --- 《高等拓扑学导论：流形、纤维丛与同调理论》 作者： 亚历山大·维尔纳 (Alexander Werner) 出版社： 普林斯顿大学出版社 页数： 680 页 装帧： 精装 内容概述 本书旨在为具备扎实微积分、线性代数以及基础实分析基础的读者，全面引入现代数学物理与纯数学交叉领域的核心——微分拓扑学和代数拓扑学的精髓。它不是一本侧重于基础算术或初等代数的教材，而是直接深入到抽象空间结构和复杂形变的数学研究前沿。 本书的结构经过精心设计，首先建立起必要的严谨性基础，然后逐步攀升至高阶概念。我们相信，只有深刻理解了连续性、紧致性在更广泛空间中的推广，才能真正把握现代几何学的力量。 --- 第一部分：拓扑空间的基础与度量结构 本部分致力于打下坚实的拓扑学地基，但其关注点远超欧几里得空间中的闭开集概念。 第 1 章：一般拓扑空间的构建 我们从集合论出发，但迅速转向拓扑结构的定义，重点分析由子基、序拓扑、积拓扑以及商拓扑所生成的复杂空间。详细探讨了同胚的概念，并引入了Urysohn 引理和Tietze 扩张定理，这些定理是构造和区分拓扑空间的强大工具。着重分析了函数空间（如紧致收敛拓扑 $C_c(X)$）的特性，这是泛函分析的基石。 第 2 章：完备性与函数空间 本章深入研究了度量空间的完备性。除了标准的 Baire 范畴定理在完备度量空间上的应用外，我们将重点分析Banach 空间的结构，并引入压缩映射定理（Banach 定理）及其在常微分方程解的存在性证明中的关键作用。对于超越基础微积分的读者，我们将探讨函数空间的赋范结构及其在变分法中的初步应用。 第 3 章：紧致性与连通性的推广 我们超越了“有限开复盖”的有限性定义，探讨了仿紧致性 (Para-compactness) 和局部紧致性。特别关注李群等结构中局部紧致性带来的便利。在连通性方面，我们将引入路径连通性，并分析由路径构造出的基本群的直观意义，为后续的代数拓扑打下基础。 --- 第二部分：微分拓扑与光滑流形 本部分是本书的核心，将分析在具有光滑结构的流形上进行微积分的理论基础。 第 4 章：光滑流形与切空间 本书正式引入微分流形的概念，超越简单的曲面，关注高维流形的局部结构。详细定义了坐标图集 (Atlas)、转移映射以及光滑性的严格要求。关键在于切空间 $T_pM$ 的构建，我们将其视为所有通过 $p$ 点的曲线的“速度向量”构成的向量空间。本书将严格证明切空间是一个向量空间，并讨论其维数即为流形的维数。 第 5 章：张量场与微分形式 本章将建立流形上的微积分工具。我们定义了张量，特别是二阶和更高阶的张量，并介绍了微分 $k$ 形式 $Omega^k(M)$。读者将学习如何定义形式的外导数 ($d$)，并验证其满足 $d^2 = 0$ 的基础关系。我们将着重展示如何使用坐标变换来定义这些对象，以确保它们在流形上是良好定义的。 第 6 章：向量场与李括号 我们研究向量场——即光滑地分配给流形上每一点的切向量。详细定义了向量场之间的李括号 $[cdot, cdot]$，并证明了它满足雅可比恒等式。我们将探讨由向量场生成的流 (Flow) 的概念，以及李括号如何衡量两个向量场“不通勤”的程度，这对于理解对称性至关重要。 --- 第三部分：代数拓扑的初步应用 本部分从拓扑和几何的交界处，引向更抽象的代数工具来区分空间。 第 7 章：基本群与覆盖空间 本章回归基本群 $pi_1(X)$ 的计算。读者将学习如何计算圆周 $S^1$、环面 $T^2$ 等空间的 $pi_1$ 群。随后，本书将深入探讨覆盖空间 (Covering Spaces) 理论，严格证明了提升定理 (Lifting Property)，并将基本群与覆盖空间之间的一一对应关系作为核心结果进行展示。这些概念是代数拓扑区分非同胚空间的第一个强有力工具。 第 8 章：同调理论的动机与构造 虽然不进行完整的奇异同调（Simplicial Homology）的详尽构造，本章会介绍其动机：如何用代数（链复形）来“测量”拓扑空间的“洞”。我们将介绍链复形 (Chain Complexes) 的基本概念，并定义边界算子和同调群 $H_n(X)$。本书将利用这些工具来证明 Brouwer 不动点定理的一个重要拓扑版本，并展示同调群如何有效地区分高维球面 $S^n$ 和 $S^m$（当 $n eq m$ 时）。 --- 本书特色与目标读者 本书的特点在于其严谨的数学构建与清晰的几何直觉相结合。我们避免了对初等算术或代数方程的任何重复或回顾。 目标读者包括： 1. 数学专业高年级本科生或研究生： 需要一本全面、深入且现代的微分拓扑学入门教材。 2. 理论物理学家： 特别是从事广义相对论、规范场论或弦理论研究，需要扎实掌握流形和微分形式的读者。 3. 几何学家与分析学家： 寻求将基础分析工具推广到更抽象、更高维度的函数空间的专业人士。 本书假设读者已经熟练掌握了多元微积分、线性代数以及基本的实分析概念，并准备好迎接抽象的、依赖于集合论和范畴论思想的数学结构。本书内容完全聚焦于高阶空间理论、几何结构以及代数不变量的研究。

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我必须得说，这本书在提升读者的“数学自信心”方面，效果简直是立竿见影。我过去对数学的恐惧感主要来源于考试和应试教育中那些脱离实际的难题，让人觉得数学是少数天才才能掌握的领域。然而，这本书采取了一种极其温和且鼓励性的教学策略。它大量使用日常生活中随处可见的例子来构建数学模型。比如，用排队论来解释概率分布，用最优路径规划来阐述图论的初步概念。这些例子并非生硬地塞入，而是自然而然地从一个生活场景延伸到数学定义，让你在不经意间就掌握了知识。书中还设置了大量的“自我检测”环节，但它们的形式非常多样化，有开放性的思考题，也有需要动手操作的实验性练习（比如用硬币模拟伯努利试验）。最重要的是，即便是做错了，书中的反馈机制也不会让人感到挫败，而是会引导你回顾是哪个环节的思维跳跃出了轨道。这种不断给予积极反馈的氛围，让原本紧绷的神经放松了下来，我发现自己竟然开始享受解决数学问题的过程了。

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这本书的叙事风格简直是清奇，完全不是我印象中那种一本正经的教科书模样。它更像是一位知识渊博但又有点幽默感的前辈，在跟你进行一场深入的、充满启发性的对话。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的“反直觉”案例。比如，在讨论集合论的初步概念时，他没有直接给出定义，而是设置了一个“理发师悖论”的变体，引导我们去思考‘边界’和‘归属’的模糊地带。这种引导式的学习过程，极大地激发了我主动思考的欲望，而不是被动地接受信息。更让我惊喜的是，书中穿插了一些数学史上的小轶事，讲到那些伟大的数学家在哪个特定情境下‘顿悟’了某个定理，这让原本冰冷的数学知识瞬间有了温度和人情味。阅读体验非常流畅，几乎没有遇到让我感到卡壳的地方，即使是稍微复杂一点的证明，作者也会先给出‘大局观’——即这个证明想达成什么目的，然后再拆解步骤，这让整个推理过程变得有迹可循，而不是一团乱麻。这本书的价值不仅仅在于传授知识，更在于培养一种严谨而又充满好奇心的数学思维模式。

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天呐，我刚刚读完了一本让我茅塞顿开的数学书！这本书简直是为我这种对基础概念总是感到有些模糊的人量身定做的。它没有上来就抛出那些令人望而生畏的复杂公式，而是非常耐心地从最最基础的部分讲起。比如，它对“数”本身的定义，作者用了好多贴近生活的例子来阐释，让我突然明白了，原来我一直以来以为理所当然的东西，背后是有这么严谨的逻辑在支撑的。特别是关于分数和小数的转化那一块，我以前总是死记硬背规则，但这本书通过几何图形的分解和重组，把为什么那样做才对讲得清清楚楚，我甚至能想象出那些数字在纸面上跳舞的样子。读完这一部分，我感觉自己像是重新认识了数字这个老朋友，那种踏实的感觉真是太棒了。而且，书里的排版设计也极其友好，关键步骤都有加粗和注释，即便是中途走神了，回头看也能迅速找到知识点。这本书的作者绝对是个懂得如何与初学者沟通的教育家，他没有炫耀自己的高深学问，而是真正致力于把复杂的知识点‘翻译’成我们都能理解的语言。我强烈推荐给所有觉得数学枯燥或者基础不牢的同学，它会帮你把地基打得无比坚固。

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这本书的深度和广度处理得拿捏得恰到好处，让我这个在某些领域略有基础的人也能找到新的视角。很多基础读物在讲完基础运算后就戛然而止，或者直接跳到微积分的门槛，留下一个巨大的鸿沟。但这本书巧妙地在‘基础’和‘高阶’之间架设了一座稳固的桥梁。它在讲解代数基础时，用到了非常现代的离散数学的思想进行铺垫，比如关于逻辑推理和模式识别的部分，我感觉自己像是在玩一场高智商的逻辑游戏。作者没有满足于仅仅展示‘如何计算’，而是深入挖掘了‘为什么这样算’背后的数学原理和结构美感。特别是关于图形与空间的初步探讨，引入了向量的基本概念，但描述方式非常直观，几乎不需要复杂的坐标系操作就能理解向量的加减和平行关系。这对我后续学习线性代数无疑是一个极好的预热。这本书不是速食快餐，它要求你停下来思考，但回报是丰厚的——你得到的不仅仅是几个公式，而是一种对数字世界底层逻辑的深刻洞察力。对于希望打好坚实数理基础，并对未来深入学习有规划的人来说，这本书是不可多得的指路明灯。

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这本书的语言风格非常古典而精准，有一种老派学术著作的沉稳气质，但又不失现代的清晰度。它避免了过多的口语化表达，使得每一个术语的引入都显得庄重而有分量，这对于建立精确的数学词汇至关重要。在处理代数运算的严谨性时，作者对等价变换的每一步都做了详尽的、近乎苛刻的解释，确保读者不会在任何看似微小的步骤上产生歧义。我尤其欣赏它对‘证明’这一核心概念的阐述。书中用了一个整章的篇幅来讲解什么是数学上的‘证明’，它不是简单地罗列步骤，而是探讨了归纳法、演绎法、反证法等不同证明思想的哲学基础和适用场景。这种对方法论层面的深入剖析，使我理解到数学不仅仅是工具，更是一种思维的艺术。虽然这本书的阅读速度相对较慢，需要读者投入足够的时间去消化每一个论点，但这种慢工出细活的体验，恰恰是构建扎实基础所必需的。读完之后，你会感觉自己的逻辑线条被重新梳理过，清晰、有力，并且充满了对数学世界的敬畏之情。

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