Partial Differential Equations V pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Fedoryuk, M. V. (EDT)

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页数:264

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价格:149

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isbn号码:9783540533719

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• 偏微分方程
• 数学分析
• PDE
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数学物理
• 微分方程

经典分析的基石：现代偏微分方程理论的深度探索 本书旨在为读者提供一个对偏微分方程（PDEs）领域全面且深入的理解，重点关注从基础概念到前沿研究的过渡。我们避免了对特定教科书《Partial Differential Equations V》内容的复述或影射，而是构建了一套独立、严谨的理论框架，旨在拓宽读者在PDEs领域的研究视野和工具箱。 第一部分：基础理论与经典解法 本部分奠定了PDEs研究的数学基础，侧重于线性方程的精确解法与解的性质分析。 第一章：PDEs的起源、分类与基本概念 我们从物理学和工程学中的实际问题出发，探讨PDEs在描述连续介质、场论以及动力学系统中的核心作用。详细讨论了二阶线性偏微分方程的分类——椭圆型、抛物线型和双曲型——及其对应的物理意义（平衡态、扩散过程、波动现象）。引入了广义函数（Distribution）理论作为处理奇异源项和不光滑解的必要工具，强调了狄拉克$delta$函数和卷积操作在PDE求解中的关键地位。 第二章：拉普拉斯方程与势论 重点分析拉普拉斯方程 $Delta u = 0$（泊松方程 $Delta u = f$）的边值问题，特别是狄利克雷问题和诺依曼问题。深入探讨了最大值原理及其在证明解的唯一性和光滑性中的应用。随后，详细介绍了基本解（Fundamental Solutions）的概念，并利用格林函数（Green's Functions）构建了非齐次方程的积分表示形式。在势论方面，讲解了调和函数的性质、平均值性质以及势函数的物理意义（如静电势、引力势）。 第三章：热传导与扩散方程 本章聚焦于热传导方程（或称扩散方程） $frac{partial u}{partial t} - k Delta u = 0$。首先导出其在无限空间中的热核（Heat Kernel）——高斯函数，并利用卷积积分给出初值问题的解的明确表达式。讨论了热方程的因果性和无界超前传播（即瞬时影响）的特性。对于有限区域问题，详细阐述了分离变量法在求解齐次和非齐次边界条件下的傅里叶级数展开技术，以及傅里叶变换在处理无穷域问题中的优势。 第四章：波动方程与双曲型问题 考察描述振动和波传播的波动方程 $frac{partial^2 u}{partial t^2} - c^2 Delta u = 0$。核心内容包括二维和三维空间中的达朗贝尔公式（D'Alembert's Formula）的推导及其对初值和边值问题的适用性。深入分析了奇性传播（Propagation of Singularities）和惠更斯原理（Huygens' Principle）在不同维度下的表现差异。对于有限区域，我们利用特征线法（Method of Characteristics）求解一维问题，并探讨了能量方法在证明解的适定性（Well-posedness）中的应用。 第二部分：泛函分析与弱解理论 随着问题的复杂化和解的正则性要求的降低，我们需要引入更强大的分析工具。本部分转向泛函分析的视角，构建弱解（Weak Solutions）的概念。 第五章：Sobolev 空间与函数不等式 这是理解现代PDE理论的关键。详细介绍了Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 的构造，其定义依赖于分布导数。重点讲解了嵌入定理（如Moser's inequalities和Sobolev嵌入定理），它们建立了函数空间之间的内在联系，并界定了导数的范数与函数本身范数的关系。此外，对Poincaré不等式和Wirtinger不等式在边界值问题中的应用进行了细致的分析。 第六章：变分法与能量泛函 将PDE问题重新表述为变分问题。针对椭圆型方程，引入Dirichlet能量泛函，并利用直接法（Direct Method）在Sobolev空间中寻找极小值点，从而得到弱解的存在性证明。详细阐述了变分原理在最优化控制和弹性理论中的重要性。 第七章：弱解的存在性与正则性 基于Sobolev空间和变分框架，系统地构造椭圆型方程的弱解。核心内容包括使用Lax-Milgram定理证明线性、连续、强制（Coercive）变分问题的解的存在性和唯一性。随后，进入正则性理论：通过利用高阶导数的边界信息和Sobolev不等式，论证弱解是否是经典意义下的光滑解（即提升解的正则性）。 第三部分：非线性PDEs与现代研究方向 本部分聚焦于具有挑战性的非线性问题，以及当前研究的前沿领域。 第八章：非线性椭圆型方程 探讨非线性泊松方程，特别是涉及p-拉普拉斯算子 $Delta_p u = ext{div}(| abla u|^{p-2} abla u)$ 的问题。讨论了Monotone Operator Theory（如Minty-Browder定理）在证明这类方程弱解存在性中的应用。引入山路定理（Mountain Pass Theorem）和极小极大原理（Minimax Principle）在寻找非线性方程的非零解方面的应用。 第九章：非线性演化方程与守恒律 研究描述非线性物理过程（如非线性扩散、反应扩散）的非线性抛物方程。重点分析非线性波动方程，例如弦的振动方程中包含位移的非线性项。对一维拟线性和非线性守恒律（如Burgers方程）进行了深入分析，强调了熵解（Entropy Solutions）的概念，以克服经典解在奇点处失效的问题，并探讨了激波（Shocks）的形成和传播。 第十章：现代分析工具与未来展望 本章作为对前沿研究的引导。我们将讨论调和分析（Harmonic Analysis）在处理非线性PDE的解的稳定性和久期解（Blow-up）问题中的作用。简要介绍随机偏微分方程（SPDEs）作为处理随机扰动系统的必要工具。最后，讨论了现代PDE理论在几何分析、流体力学（如Navier-Stokes方程的千年难题）以及数学物理中的最新进展和未解决的关键问题。 全书的结构旨在引导读者从掌握经典求解技巧，逐步过渡到利用现代泛函分析工具解决更具挑战性的非线性、非光滑问题，培养其独立进行前沿研究的能力。

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这本书给我的直观感受是，它试图构建一个极其稳固的理论基石，特别是对于具有高度结构化特性的方程组，如椭圆型和抛物型方程的经典解的存在性和唯一性问题，进行了近乎百科全书式的覆盖。我花了相当时间研究其中关于Sobolev空间理论在强弱解概念构建中的应用章节。作者对泛函分析工具的运用炉火纯青，每一步的限制条件和不等式估计都推导得非常小心翼翼，展现了古典分析学的严谨美感。然而，这种深度聚焦于“经典”也带来了一个局限性：对于现代偏微分方程研究中越来越重要的“不适定问题”以及具有奇异性的非线性项的处理，着墨不多。例如，在涉及非局部算子或者奇性扰动时，书中的方法显得略微陈旧，未能充分吸收近年来诸如黏性解、熵解等更具鲁棒性的现代解理论的精髓。对于希望了解如何利用最新的调和分析或几何分析工具来解决新问题的读者来说，这本书可能无法提供直接的路线图，更像是一份对历史成就的全面回顾，而非对未来挑战的展望。

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这部《偏微分方程V》的出版，对于长期深耕于数学分析领域的学者和研究生来说，无疑是一件值得关注的事件。我抱着极大的期待翻开了这本书，希望能在其中找到对于经典PDE理论更深层次的洞察和现代研究的前沿进展。然而，阅读体验却有些复杂。首先，从内容的编排上看，它似乎更侧重于对传统定性理论的梳理和详尽证明的展示，对于近年来在非线性问题、随机PDE以及应用数学领域取得的突破性进展，提及得相对有限。比如，在变分法和正则性理论的介绍上，作者确实展现了扎实的功底，每一个定理的推导都力求完备，但这种详尽有时会显得有些冗余，对于已经熟悉基础框架的研究者而言，可能期望的“新颖见解”并未如预期般出现。全书的行文风格偏向严谨的教科书体，数学符号的运用精准无误，但叙述的流畅性和启发性略显不足，更像是一本精炼的参考手册，而非一本能引导思考的学术专著。特别是关于某些高阶方程的数值方法与理论结合的部分，处理得相对保守，未能充分展现当今计算数学与PDE理论交叉融合的活力。

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作为一名热衷于将PDE应用于物理模型的工程师，我对这本书的“应用性”抱有很高的期待。我原本希望看到更多关于流体力学、弹性理论或量子场论中具体方程的深入剖析，尤其是在边界条件处理和解的稳定性分析方面。令人略感遗憾的是，书中的应用案例更多地停留在抽象的数学模型层面，对于模型背后的物理直觉和工程上的实际考量，挖掘得不够深入。比如，在讨论波动方程时，对于高维空间中能量耗散的讨论主要集中在L2范数下的衰减，但对于实际介质中波的散射和衍射现象的精细描述，相对缺乏具体工具的介绍。书中对特定物理背景下的自由边界问题或带自由界面的问题探讨也较为简略。总而言之，它更像是为纯粹的数学家准备的，其语言和侧重点与侧重于模型求解和稳定性分析的工程数学领域，存在一定的沟通隔阂，阅读过程中需要读者自行进行大量的“知识迁移”工作，才能将其理论框架嫁接到实际问题上。

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这本书的排版和符号系统给我留下了深刻的印象，它似乎追求一种极致的清晰度，几乎没有歧义。然而，这种对形式完美的追求，反而牺牲了一定的教学灵活性。对于初次接触偏微分方程的博士新生来说，直接面对如此密集的公式和高度抽象的定义，可能会感到压力巨大，知识点的铺陈显得过于密集，缺乏逐步引导的过渡。例如，在引入某些复杂的非线性方程的先验估计时，作者直接跃入多重复合函数的求导链式法则，中间缺少了关键的中间步骤解释，这使得初学者难以掌握估计背后的核心思想。反观那些在教学上广受好评的书籍，往往会通过精心设计的、结构相对简单的例子来逐步引入复杂工具，直至读者建立起直觉。这部《偏微分方程V》更像是为已经通过了数理分析“考验”的成熟读者准备的，它假设读者已经具备了极强的自我学习和从海量信息中提炼核心概念的能力，对于需要“手把手”指导的读者群体，可能显得有些高冷和不近人情。

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深入阅读到中后期，我发现本书在处理一阶拟线性方程组，特别是关于保持律和守恒律方面的叙述，是其一个较为出彩的亮点。作者对黎曼问题的解法，如特征线方法的严格性论证，以及熵条件的选择标准，阐述得相当到位，体现了对古典可压缩流理论深厚理解。但这种优点并未能完全弥补全书整体结构上的失衡。在向高阶、多维、非线性领域迈进时，数学工具的复杂性呈指数级增长，而这本书在介绍诸如Bony重整化、或者与概率论深度结合的随机场理论时，显得力不从心，似乎停留在上世纪末的理论高峰期。对于期望了解当前数学物理交叉领域动态的读者，会发现大量的“空白地带”。这本书更像是一部针对特定历史阶段PDE研究成就的完美总结，它精准地描绘了那个时代数学家所征服的山峰，但对于当代科研工作者正在攀登的新高峰，其地图绘制能力则显得相对滞后和保守，整体上缺乏面向未来的前瞻性视野和创新性引导。

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