Fractals for the Classroom pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Peitgen, Heinz-Otto (EDT)/ Jurgens, Hartmut/ Saupe, Dietmar/ Peitgen, Heinz-Otto/ National Council o

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:1992-8

价格:$ 73.39

装帧:

isbn号码:9780387977225

丛书系列:

图书标签:

• 分形
• 数学教育
• 几何学
• 课堂教学
• STEM教育
• 数学建模
• 可视化
• 教育资源
• 中学数学
• 趣味数学

书名：几何的奇思妙想：从欧几里得到拓扑学 内容简介： 本书旨在为对几何学充满好奇心的读者，提供一个从经典到现代的系统性、富有启发性的探索之旅。我们不侧重于初等几何的机械性计算，而是深入挖掘几何学作为一种思维方式、一种描述世界的语言所蕴含的深刻洞察力。全书结构清晰，逻辑严密，内容涵盖了从古希腊的严谨逻辑构建，到近现代数学分支的蓬勃发展，旨在帮助读者建立起对几何学全貌的宏观认知，并培养其进行抽象推理的能力。 第一部分：奠基——欧几里得的遗产与非欧几何的诞生 本部分从古希腊几何学的巅峰——欧几里得《几何原本》——切入。我们不仅仅复述那些著名的公理和定理，而是深入分析欧几里得体系的逻辑结构和哲学意义。我们将探讨“点”“线”“面”这些基本概念是如何通过严格的演绎推理构建起一个自洽的几何世界。特别地，我们将重点分析第五公设（平行公设）的历史地位及其引发的深刻反思。 随后，我们将进入几何学史上一次重大的范式转移——非欧几何的诞生。我们详细考察罗巴切夫斯基和黎曼的开创性工作，解析在不同平行公设下，三角形内角和、圆的周长等基本性质是如何发生根本性变化的。我们将清晰地阐明，非欧几何并非“错误”的几何，而是描述不同空间结构（例如曲率恒定的空间）的有效工具。这一部分的论述旨在打破读者心中“几何学是唯一真理”的传统观念，展现数学的创造性和多样性。我们将引入高斯关于曲率的早期思想，为后续进入微分几何打下直观基础。 第二部分：从度量到结构——解析几何与射影几何 解析几何的发明是数学史上一次伟大的融合，它成功地将几何直观与代数运算相结合。本章将详细阐述笛卡尔和费马如何利用坐标系这一强大工具，将空间中的形状转化为方程，从而极大地推动了微积分和物理学的发展。我们不仅会回顾抛物线、椭圆、双曲线的二次方程表示，更会探讨二次型在分类和几何意义上的重要性。 接着，我们将转向射影几何。射影几何关注的是在投影变换下保持不变的性质，例如直线性、交比等。我们探究透视法如何从艺术领域被提炼为严谨的数学分支，以及“无穷远点”和“无穷远线”的概念如何统一了平行线和相交线的处理方式。射影几何的重要性在于，它揭示了不同几何学之间的层级关系——欧氏几何、仿射几何和射影几何可以被视为在不同约束条件下对空间结构的考察。 第三部分：空间的内在属性——微分几何的萌芽 随着对空间曲率理解的深入，几何学开始从研究固定的图形转向研究可微流形上的性质。本部分将引入微分几何的基础概念。我们将从曲线的曲率和挠率开始，逐步过渡到曲面的研究。 重点关注第一、第二基本形式，它们是描述曲面上度量和曲率的代数工具。我们将阐释主曲率和高斯曲率的概念，并详细分析著名的高斯绝妙定理（Theorema Egregium），该定理表明高斯曲率是一个内蕴性质，仅依赖于曲面自身的结构，而与曲面如何嵌入三维空间无关。这一突破为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础，我们将简要探讨其深刻的物理和哲学意义。 第四部分：超越维度与连续性——拓扑学的兴起 拓扑学是研究空间在连续形变（拉伸、弯曲、扭曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质的学科。本章是全书中最具抽象性和现代性的部分。我们从著名的七桥问题和欧拉公式（$V-E+F=2$）引入拓扑学的思想根源。 随后，我们将深入探讨几个核心概念： 1. 同胚与同伦： 严格定义“形状的等价性”。 2. 连通性与紧致性： 描述空间的整体性质。 3. 拓扑不变量： 例如，亏格（Genus）——圆环、咖啡杯与甜甜圈的共同属性，它们都是一个“洞”的拓扑结构。 4. 庞加莱猜想的背景（不涉及复杂的证明细节）： 阐述三维球面作为封闭、单连通的三维流形的重要性。 本部分旨在培养读者对“几何结构”这一抽象概念的直觉，理解拓扑学如何提供了一个比度量几何更广阔的框架来研究“空间”。 结语：几何的统一性与未来展望 全书最后将总结几何学这门学科是如何从毕达哥拉斯的神秘主义，演化为欧几里得的演绎体系，再到黎曼的微分几何，直至拓扑学的抽象结构研究。我们将强调现代数学中几何学与其他分支（如代数、分析）的深度融合，展望其在现代物理学、数据科学和计算机图形学中的持续影响力。本书力求让读者在合上书本时，不仅掌握了知识点，更能以一种几何的、结构化的方式去观察和理解周围的世界。

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这本书的语言风格带着一种奇特的、近乎诗意的冷静。它不像某些科普读物那样，为了吸引眼球而使用过于夸张或口语化的表达，反而保持了一种非常克制和精确的措辞。每一个句子似乎都经过了仔细的锤炼，信息密度很高，但又因为结构清晰而不会让人感到压迫。比如在讨论分形几何学的历史沿革时，作者并没有简单地罗列人名和年份，而是将这些数学思想的演变，置于当时的哲学思潮和技术背景之下进行解读，使得每一个理论的诞生都显得水到渠成，充满了必然性。这种叙事方式让阅读体验变得非常沉浸，仿佛不是在学习一个知识体系，而是在参与一场跨越时空的智力对话。我发现自己阅读时会不自觉地放慢速度，生怕错过某个微妙的措辞或者逻辑转折点。它对“无限”和“细节”的哲学思考部分尤其精彩，这些内容并非强制性的，而是像一条条支流，自然地汇入主干，拓宽了读者对数学本质的理解边界。

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从一个非专业爱好者的角度来看，这本书最成功之处在于它打破了分形数学似乎只属于高深研究领域的刻板印象。作者非常擅长使用类比和日常生活的例子来解释那些最反直觉的概念。比如，当解释到“豪斯多夫维度”时，书中并没有直接跳入复杂的极限定义，而是通过一个关于如何“测量”云朵边缘不规则性的思想实验来引入，这个例子非常生动，让我立刻抓住了核心思想——即传统整数维度在描述自然界复杂性时的局限性。这本书的结构安排也十分人性化，每一章的末尾都附带了一系列不同难度的“思考题”和“探索路径”。这些问题不是简单的知识点复述，而是引导性的探索，有的需要逻辑推理，有的则鼓励读者去查阅补充材料，从而形成一个自我驱动的学习闭环。读完之后，我感觉自己不仅掌握了一套新的数学工具，更重要的是，我对世界运行的基本规律有了一种更丰富、更细致的感知。这是一本真正能改变你观察世界方式的书。

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我是一名资深的数学教育工作者，对市面上形形色色的“趣味数学”读物都有所涉猎，但很少有能像这本书一样，在保持学术严谨性的同时，又能激发学生原始好奇心的。它的叙事逻辑非常巧妙，不是上来就抛出复杂的迭代函数，而是从大自然中随处可见的现象入手——比如树枝的分叉、海岸线的蜿蜒，甚至是罗马花椰菜的结构。这种“从现象到抽象”的教学路径，极大地增强了知识与现实世界的关联性。作者似乎非常清楚地知道，一个十四五岁的青少年在面对一个全新的数学概念时，最需要的是什么：一个可靠的支点。书中对迭代过程的分解和步骤演示极其细致，每一步的逻辑跳跃都经过了审慎的权衡。更让我印象深刻的是，作者在探讨不同分形维度的章节中，没有一味地依赖复杂的微积分，而是巧妙地引入了“盒子计数法”等更直观的测量工具。这套工具包的引入，让高维度的概念不再是空中楼阁，而是可以通过实际操作（即便只是在纸面上模拟）来“感受”到的实在。这对于培养学生的数学思维和解决问题的能力，无疑是至关重要的。

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在动手实践和计算工具的应用方面，这本书做得远远超出了我的预期。我原以为它会主要停留在理论介绍和几何构造上，但令人惊喜的是，书中提供了大量关于如何使用基础编程语言（例如作者选择了对初学者友好的Python或类似伪代码）来生成这些分形图案的详细指导。这不仅仅是给出了几行代码然后让你自己运行那么简单，作者对算法的每一步——从初始化参数到设置递归深度，都给出了清晰的注释和背后的数学原理阐释。对于希望将课堂内容延伸到计算机实验室的教师来说，这简直是无价的资源。更重要的是，它鼓励读者去“修改”参数，去“玩”这些算法，而不是被动地接受结果。通过实验，读者可以立刻看到参数微小变化如何导致整体结构发生巨大改变，这对于理解计算数学的敏感性至关重要。这种理论结合实践、激发创造力的设计，使得这本书的实用价值远远超出了传统理论教材的范畴，真正实现了“用电脑为工具，探索数学之美”。

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这本书的装帧和排版简直是一场视觉盛宴！从封面那复杂而迷人的曼德博集合图案开始，我就被深深吸引了。内页的纸张质感非常出色，虽然是印刷品，但那种微微的纹理感让人在触摸时就能感受到制作者的用心。更令人称道的是，作者在讲解那些高度抽象的数学概念时，所采用的图示设计简直是教科书级别的典范。每一个分形图案，无论是谢尔宾斯基三角形还是科赫雪花，都被赋予了清晰的色彩编码和标注系统。这些图表不仅仅是插图，它们本身就是一种语言，能够跨越语言障碍，直接向读者的直觉传递信息。我尤其喜欢其中关于“自相似性”的图形演示，那种无限嵌套的美感，通过精心的视觉设计，被完美地捕捉了下来。即便是对于数学背景相对薄弱的初学者来说，丰富的视觉辅助也极大地降低了理解门槛。这种对细节的执着和对美学的追求，使得这本书不仅仅是一本教材，更像是一本可以细细品味的艺术图册。翻阅的过程中，我常常会停下来，仅仅是欣赏那些几何构造的精妙，而不是急于去理解背后的公式。这种体验在传统的理工科书籍中是极其罕见的，它成功地将枯燥的数学可视化，变成了一种享受。

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